Giải SGK Toán 9 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Định lí Viète

Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

Khởi động trang 18 Toán 9 Tập 2: Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 m, diện tích 884 m². Làm thế nào để tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Gọi x₁, x₂ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x₁, x₂ < 60).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay x₁ + x₂ = 60.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m² hay x₁ . x₂ = 884.

Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² − 60x + 884 = 0.

Ta có ${\Delta }^{‘}={\left(-30\right)}^2-1\cdot 884=16>0;\sqrt{{\Delta }^{‘}}=\sqrt{16}=4$.

Do đó $x_1=\frac{30+4}{1}=34;x_2=\frac{30-4}{1}=26$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

1. Định lí Viète

Khám phá 1 trang 18 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình ax² + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Tính x₁ + x₂ và x₁ . x₂.

Lời giải:

Phương trình ax² + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ nên ta có:

• $x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a};$

• $x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{{\left(-b\right)}^2-\Delta }{4a^2}=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$

Vậy $x_1+x_2=-\frac{b}{a};x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$

Thực hành 1 trang 19 Toán 9 Tập 2: Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) $x^2-2\sqrt{7}x+7=0;$

b) 15x² – 2x – 7 = 0;

c) 35x² – 12x + 2 = 0.

Lời giải:

a) Ta có $\Delta ={\left(-2\sqrt{7}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 7=0$ nên phương trình có nghiệm kép x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=2\sqrt{7};x_1\cdot x_2=7.$

b) Ta có $\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 15\cdot \left(-7\right)=424>0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{2}{15};x_1\cdot x_2=\frac{-7}{15}.$

c) Ta có $\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 35\cdot 2=-136<0$ nên phương trình vô nghiệm.

Thực hành 2 trang 19 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² + 4x – 21 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2};$

b) $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2.$

Lời giải:

Phương trình x² + 4x – 21 = 0 có ∆’ = 42 – 4 . (–21) = 100 > 0

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{4}{1}=-4;x_1\cdot x_2=-\frac{21}{1}=-21.$

a) Ta có $\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1\cdot x_2}=\frac{2\cdot \left(-4\right)}{-21}=\frac{8}{21}.$

Vậy $\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{8}{21}.$

b) Ta có $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-3x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2$

= (–4)² – 3. (–21) = 79.

Vậy $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=79.$

Thực hành 3 trang 19 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) –315x² – 27x + 342 = 0;

b) 2 022x² + 2 023x + 1 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình –315x² – 27x + 342 = 0 có a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{342}{-315}=\frac{-38}{35}$.

b) Phương trình 2 022x² + 2 023x + 1 = 0 có a – b + c = 2 022 – 2 023 + 1 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=\frac{-1}{2022}$

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Khám phá 2 trang 20 Toán 9 Tập 2: Cho hai số u và v có tổng u + v = 8 và tích uv = 15.

a) Từ u + v = 8, biểu diễn u theo v rồi thay vào uv = 15, ta nhận được phương trình ẩn v nào?

b) Nếu biểu diễn v theo u thì nhận được phương trình ẩn u nào?

Lời giải:

a) Từ u + v = 8 suy ra u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn v là:

(8 – v)v = 15 hay 8v – v² = 15.

Vậy phương trình ẩn v nhận được là 8v – v² = 15.

b) Từ u + v = 8 suy ra v = 8 – u thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn u là:

u(8 – u) = 15 hay 8u – u² = 15.

Vậy phương trình ẩn u nhận được là 8u – u² = 15.

Thực hành 4 trang 20 Toán 9 Tập 2:

a) Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 44.

b) Có tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13 không?

Lời giải:

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² − 15x + 44 = 0.

Ta có: Δ = (−15)² – 4 . 1 . 44 = 49 > 0.

Do đó $x_1=\frac{15+\sqrt{49}}{2}=11;x_2=\frac{15-\sqrt{49}}{2}=4.$

Vậy hai số cần tìm là 11 và 4.

b) Để tồn tại hai số a và b phải thỏa mãn S² − 4P ≥ 0.

Ta có 72 – 4 . 13 = −3 < 0.

Suy ra không tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13.

Vận dụng trang 20 Toán 9 Tập 2: Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn trong Hoạt động khởi động (trang 18).

Lời giải:

Gọi x₁, x₂ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x₁, x₂ < 60).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay x₁ + x₂ = 60.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m² hay x₁ . x₂ = 884.

Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² − 60x + 884 = 0.

Ta có ${\Delta }^{‘}={\left(-30\right)}^2-1\cdot 884=16>0;\sqrt{{\Delta }^{‘}}=\sqrt{16}=4$.

Do đó $x_1=\frac{30+4}{1}=34;x_2=\frac{30-4}{1}=26$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

Bài tập

Bài 1 trang 21 Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) 3x² – 9x + 5 = 0;

b) 25x² – 20x + 4 = 0;

c) 5x² – 9x + 15 = 0.

d) $5x^2-2\sqrt{3}x-3=0.$

Lời giải:

a) Ta có Δ = (−9)² – 4 . 3 . 5 = 21 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{9}{3}=3;x_1\cdot x_2=\frac{5}{3}.$

b) Ta có Δ = (−20)² – 4 . 25 . 4 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{-20}{25}=\frac{-4}{5};x_1\cdot x_2=\frac{4}{25}.$

c) Ta có Δ = (−9)² – 4 . 5 . 15 = –219 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Ta có $\Delta ={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2–4\cdot 5\cdot \left(-3\right)=72>0$  nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{2\sqrt{3}}{5}=3;x_1\cdot x_2=\frac{-3}{5}.$

Bài 2 trang 21 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x² – 19x – 5 = 0;

b) 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0;

c) $\frac{3}{2}{x}^2+5x+\frac{7}{2}=0;$

d) $2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}=0$

Lời giải:

a) Phương trình 24x² – 19x – 5 = 0 có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5}{24}.$

b) Phương trình 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0 có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{4,7}{2,5}=-\frac{47}{25}.$

c) Phương trình $\frac{3}{2}{x}^2+5x+\frac{7}{2}=0$ có $a-b+c=\frac{3}{2}-5+\frac{7}{2}=0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{7}{2}:\frac{3}{2}=-\frac{7}{3}.$

d) Phương trình $2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}=0$ có $a+b+c=2-\left(2+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}=0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Bài 3 trang 21 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 29, uv = 154;

b) u + v = –6, uv = –135;

c) u + v = 5, uv = 24.

Lời giải:

a) Điều kiện để có hai số đó là: S² − 4P ≥ 0 suy ra 29² – 4 . 154 = 225 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² − 29x + 154 = 0.

Ta có $\Delta ={29}^2-4\cdot 1\cdot 154=225>0;\sqrt{\Delta }=\sqrt{225}=15.$

Suy ra $u=\frac{29+15}{2}=22;v=\frac{29-15}{2}=17.$

Vậy hai số cần tìm là 22 và 7.

b) Điều kiện để có hai số đó là: S² − 4P ≥ 0 suy ra (–6)² – 4 . (–135) = 576 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² + 6x –135 = 0.

Ta có ${\Delta }^{‘}=3^2-1\cdot \left(-135\right)=144>0;\sqrt{\Delta }=\sqrt{144}=12.$

Suy ra $u=\frac{-3+12}{1}=9;v=\frac{-3-12}{1}=-15.$

Vậy hai số cần tìm là 9 và –15 .

c) Điều kiện để có hai số đó là: S² − 4P ≥ 0 mà 5² – 4 . 24 = –71 < 0.

Vậy không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Bài 4 trang 21 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² – 19x – 5 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=x_1^2+x_2^2;$

b) $B=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2};$

c) $C=\frac{3}{x_1+2}+\frac{3}{x_2+2}.$

Lời giải:

Phương trình x² – 19x – 5 = 0 có ∆ = (–19)² – 4 . 1 . (–5) = 381 > 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{-b}{a}=19;x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=-5.$

a) Ta có $A=x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$= 19² – 2 . (–5) = 371.

Vậy $A=x_1^2+x_2^2=371.$

b) Ta có $B=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1\cdot x_2}=\frac{2\cdot 19}{-5}=-\frac{38}{5}$.

Vậy $B=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=-\frac{38}{5}$ .

c) Ta có $C=\frac{3}{x_1+2}+\frac{3}{x_2+2}=\frac{3\left(x_2+2+x_1+2\right)}{\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)}$

$=\frac{3\left(x_1+x_2+4\right)}{x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4}=\frac{3\cdot \left(19+4\right)}{-5+2\cdot 19+4}=\frac{69}{37}.$

Vậy $C=\frac{3}{x_1+2}+\frac{3}{x_2+2}=\frac{69}{37}.$

Bài 5 trang 21 Toán 9 Tập 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116 m, diện tích 805 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Gọi x₁, x₂ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x₁, x₂ < 116).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là $\frac{116}{2}=58$ (m) hay x₁ + x₂ = 58.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 805 m² hay x₁ . x₂ = 805.

Khi đó, x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² − 58x + 805 = 0

Ta có ${\Delta }^{‘}={\left(-29\right)}^2-1\cdot 805=36;\sqrt{{\Delta }^{‘}}=\sqrt{36}=6.$

Suy ra $x_1=\frac{29+6}{1}=35;x_2=\frac{29-6}{1}=23$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m và chiều rộng là 23 m.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3. Định lí Viète

Bài tập cuối chương 6

Bài 1. Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 2. Bảng tần số tương dối và biểu dồ tần số tương đối

Bài 3. Biểu diễn số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 7