Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1 trang 103 SBT Toán 12 Tập 1: Thời gian bù giờ của 64 trận bóng đá trong một giải đấu được ghi lại ở bảng sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline{x}$ = $\frac{2,5.5+3,5.19+4,5.24+5,5.10+6,5.6}{64}$ ≈ 4,3906.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

s² = $\frac{1}{64}\left(5.2,5^2+19.3,5^2+24.4,5^2+10.5,5^2+6.6,5^2\right)-4,{3906}^2$ ≈ 1,13.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: s ≈ $\sqrt{1,13}$ ≈ 1,06.

Bài 2 trang 103 SBT Toán 12 Tập 1: Thầy giáo cho các bạn học sinh lớp 8 vận dụng khái niệm tam giác đồng dạng để thực hành đo chiều cao của cột cờ. Kết quả đo của các bạn trong lớp được biểu diễn ở bảng sau:

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải:

Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Cỡ mẫu là: n = 9 + 15 + 12 + 4 = 40

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}$ = $\frac{4,95.9+5,05.15+5,15.12+5,25.4}{40}$ ≈ 5,0775.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

s² = $\frac{\left(9.4,{95}^2+15.5,{05}^2+12.5,{15}^2+4.5,{25}^2\right)}{40}-5,{0775}^2$ ≈ 0,0085.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: s = $\sqrt{0,0085}$ ≈ 0,09.

Bài 3 trang 104 SBT Toán 12 Tập 1: Chiều cao của một số cây giống sau khi nảy mầm được 4 tuần được biểu diễn ở bảng sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Cỡ mẫu là: n = 12 + 21 + 25 + 12 + 9 = 79.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}$ = $\frac{12.16,45+21.16,95+25.17,45+12.17,95+9.18,45}{79}$ ≈ 17,3551.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s² = $\frac{\left(12.16,{45}^2+21.16,{95}^2+25.17,{45}^2+12.17,{95}^2+9.18,{45}^2\right)}{79}-17,{3551}^2$ ≈ 0,36.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s ≈ $\sqrt{0,36}$ = 0,6.

Bài 4 trang 104 SBT Toán 12 Tập 1: Bác Xuân biểu diễn thời gian tập thể dục mỗi ngày của mình trong 120 ngày liên tiếp ở biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dưới đây.

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu ở biểu đồ trên.

b) Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Ta có bảng tần số ghép nhóm là:

b) Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\overline{x}$ = $\frac{48.7,5+36.22,5+18.37,5+12.52,5+6.67,5}{120}$ = 24.

Phương sai của mẫu số của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s² = $\frac{7,5^2.48+22,5^2.36+37,5^2.18+52,5^2.12+67,5^2.6}{120}-{24}^2$ = 312,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s = $\sqrt{312,75}$ ≈ 17,68.

Bài 5 trang 105 SBT Toán 12 Tập 1: Bảng dưới đây thống kê cân nặng của một số quả cam canh được thu hoạch từ một vườn cam vào năm 2022 và năm 2023.

Hãy so sánh độ đồng đều của cân nặng và trái cam thu hoạch trong hai năm trên

a) theo khoảng biến thiên;

b) theo khoảng tứ phân vị;

c) theo phương sai.

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên của cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2022 là:

R₂₀₂₂ = 150 – 110 = 40 (g).

Khoảng biến thiên của cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2023 là:

R₂₀₂₃ = 140 – 100 = 40 (g).

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì độ đồng đều của cân nặng các trái cam thu hoạch trong hai năm không có sự khác biệt.

b) Với mẫu số liệu năm 2022, ta có:

Cỡ mẫu là: n₂₀₂₂ = 0 + 24 + 35 + 14 + 6 = 79.

Có: $\frac{n_{2022}}{4}=\frac{79}{4}=19,75$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₀ ∈ [110; 120).

Do đó, Q₁ = 110 + $\frac{19,75-0}{24}\left(120-110\right)$ = $\frac{5675}{48}$.

Có: $\frac{3n_{2023}}{4}=\frac{3.79}{4}=59,25$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₆₀ ∈ [130; 140).

Do đó, Q₃ = 130 + $\frac{59,25-\left(24+35\right)}{14}\left(140-130\right)$ = $\frac{3645}{28}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₂ = Q₃ – Q₁ = $\frac{3645}{28}$ − $\frac{5675}{48}$ ≈ 11,95.

Với mẫu số liệu năm 2023, ta có:

Cỡ mẫu: n₂₀₂₃ = 14 + 23 + 26 + 24 + 0 = 87.

Có: $\frac{n_{2023}}{4}=\frac{87}{4}=21,75$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₂ ∈ [110; 120).

Do đó, Q₁ = 110 + $\frac{21,75-14}{23}\left(120-110\right)$ = $\frac{5215}{46}$.

Có: $\frac{3n_{2023}}{4}=\frac{3.87}{4}=65,25$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₆₆ ∈ [130; 140).

Do đó, Q₃ = 130 + $\frac{65,25-\left(14+23+26\right)}{24}\left(140-130\right)$ = $\frac{2095}{16}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₃ = Q₃ – Q₁ = $\frac{2095}{16}$ − $\frac{5215}{46}$ ≈ 17,57.

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì cân nặng các trái cam thu hoạch trong năm 2022 đồng đều hơn cân nặng các trái cam thu hoạch trong năm 2023.

c) Ta có bảng số liệu các giá trị đại diện như sau:

Xét mẫu số liệu năm 2022:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_{2022}$ = $\frac{24.115+125.35+135.14+145.6}{79}$ = $\frac{9895}{79}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_{2022}^2$ = $\frac{{24.115}^2+{125}^2.35+{135}^2.14+{145}^2.6}{79}-{\left(\frac{9895}{79}\right)}^2$ ≈ 78,41.

Xét mẫu số liệu năm 2023:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_{2023}$ = $\frac{105.14+115.23+125.26+135.24}{87}$ = $\frac{3535}{29}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_{2023}^2$ = $\frac{{105}^2.14+{115}^2.23+{125}^2.26+{135}^2.24}{87}-{\left(\frac{3535}{29}\right)}^2$ ≈ 106,76.

Do $s_{2023}^2$ > $s_{2022}^2$ nên khi so sánh theo phương sai thì cân nặng các cam thu hoạch năm 2022 đồng đều hơn cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2023.

Bài 6 trang 105 SBT Toán 12 Tập 1: Chị yến thống kê lại thời gian chạy cự li 200 m của mình ở một số lần luyện tập trong năm 2022 và 2023 như sau:

a) Hãy tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán thời gian chạy mỗi năm của chị Yến (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?

Lời giải:

a) Ta có bảng số liệu các giá trị đại diện như sau:

Xét mẫu số liệu năm 2022:

Cỡ mẫu là n₂₀₂₂ = 11 + 15 + 7 + 5 = 38.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R₂₀₂₂ = 24,2 – 23,7 = 0,5 (giây).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{38}{4}$ = 9,5.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₀ ∈ [23,7; 23,8).

Do đó, Q₁ = 23,7 + $\frac{9,5-0}{11}.\left(23,8-23,7\right)$ = $\frac{5233}{220}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.38}{4}$ = 28,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₂₉ ∈ [23,9; 24).

Do đó, Q₃ = 23,9 + $\frac{28,5-\left(11+15\right)}{7}\left(24-23,9\right)$ = $\frac{3351}{140}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₂ = Q₃ – Q₁ = $\frac{3351}{140}$ − $\frac{5233}{220}$ ≈ 0,149.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline{x}}_{2022}$ = $\frac{23,75.11+23,85.15+23,95.7+24,15.5}{38}$ = $\frac{4537}{190}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_{2022}^2$ =  $\frac{23,{75}^2.11+23,{85}^2.15+23,{95}^2.7+24,{15}^2.5}{38}-{\left(\frac{4537}{190}\right)}^2$ ≈ 0,016.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: s₂₀₂₂ ≈ $\sqrt{0,016}$ ≈ 0,126.

Xét mẫu số liệu năm 2023:

Cỡ mẫu là: n₂₀₂₃ = 28 + 18 + 4 = 50.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R₂₀₂₃ = 24 – 23,7 = 0,3 (giây).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{50}{4}$ = 12,5.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [23,7; 23,8).

Do đó, Q₁ = 23,7 + $\frac{12,5-0}{28}.\left(23,8-23,7\right)$ = $\frac{13297}{560}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.50}{4}$ = 37,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [23,8; 23,9).

Do đó, Q₃ = 23,8 + $\frac{37,5-28}{18}\left(23,9-23,8\right)$ = $\frac{8587}{360}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₃ = Q₃ – Q₁ = $\frac{13297}{560}$ − $\frac{8587}{360}$ ≈ 0,108.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline{x}}_{2023}$ = $\frac{23,75.28+23,85.18+23,95.4}{50}$ = $\frac{11901}{500}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_{2023}^2$ = $\frac{23,{75}^2.28+23,{85}^2.18+23,{95}^2.4}{50}-{\left(\frac{11901}{500}\right)}^2$≈ 0,004.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s₂₀₂₃ ≈ $\sqrt{0,004}$ ≈ 0,063.

b) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên, theo khoảng tứ phân vị hoặc theo phương sai, độ lệch chuẩn thì ta luôn có thời gian chạy năm 2023 đồng đều hơn thời gian chạy năm 2022.

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

– Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2 , là một số được tính theo công thức sau: $s^2=\frac{m{(x_1-\overline{x})}^2+...+m_k{(x_k-\overline{x})}^2}{n}$ Trong đó, $n=m_1+...+m_k$; $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$ với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm $\left[a_i;a_{i+1}\right)$ và $\overline{x}=\frac{m_1{x}_1+...+m_k{x}_k}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. – Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s=\sqrt{s^2}$.

2. Ý nghĩa

– Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

– Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Sơ đồ tư duy Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Tích phân

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân