Bài tập cuối chương 6 – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 6

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 85 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,4; P(B) = 0,8 và P(A | B) = 0,25.

a) Xác suất của biến cố A giao B là

A. 0,1.

B. 0,2.

C. 0,25.

D. 0,4.

b) Xác suất của B với điều kiện A là:

A. 0,2.

B. 0,25.

C. 0,5.

D. 0,75.

c) Xác suất của biến cố A với điều kiện A ∪ B là:

A. 0,4.

B. 0,5.

C. 0,8.

D. 1.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: B

Ta có: P(AB) = P(B).P(A | B) = 0,8.0,25 = 0,2.

b) Đáp án đúng là: C

Ta có: P(B | A) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,4}}=\mathrm{0,5.}$

c) Đáp án đúng là: A

Bài 2 trang 85 SBT Toán 12 Tập 2: Toàn thể nhân viên của một công ty được hỏi ý kiến về một dự thảo chính sách phúc lợi mới. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty. Gọi A là biến cố “Nhân viên đó là nam giới” và B là biến cố “Nhân viên đó ủng hộ dự thảo chính sách phúc lợi mới”.

a) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là

A. $\frac{9}{16}.$

B. $\frac{15}{19}.$

C. $\frac{21}{50}.$

D. $\frac{7}{16}.$

b) Xác suất của biến cố B với điều kiện A là:

A. $\frac{9}{16}.$

B. $\frac{15}{19}.$

C. $\frac{21}{50}.$

D. $\frac{7}{16}.$

c) Xác suất xảy ra ít nhất một trong hai biến cố A và B là:

A. 0,45.

B. 0,67.

C. 0,8.

D. 0,92.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Ta có:

Tổng số nhân viên nam của công ty là: 45 + 12 = 57.

Tổng số nhân viên nữ của công ty là: 35 + 8 = 43.

Tất cả số nhân viên của công ty là: 57 + 43 = 100.

Do đó, P(A) = 0,57; P($\overline{A}$) = 0,43; P(B) = 0,8 P(A ∩ B) = 0,45.

Vậy $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,45}}{\mathrm{0,8}}=\frac{9}{16}.$

b) Đáp án đúng là: B

Ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,45}}{\mathrm{0,57}}=\frac{15}{19}.$

c) Đáp án đúng là: D

TH1: Nhân viên được chọn là nam và ủng hộ dự thảo chính sách mới: P₁ = 0,45.

TH2: Nhân viên được chọn là nam và không ủng hộ dự thảo chính sách mới: P₂ = 0,12.

TH3: Nhân viên đó là nữ và ủng hộ dự thảo chính sách mới: P₃ = 0,35.

Vậy xác suất xảy ra ít nhất một trong hai biến cố A và B là:

0,45 + 0,12 + 0,35 = 0,92.

Bài 3 trang 85 SBT Toán 12 Tập 2: Bạn Lan có 2 con xúc xắc cân đối, 1 con có màu xanh và 1 còn có màu đỏ. Lan gieo đồng thời 2 con xúc xắc.

a) Xác suất của biến cố con xúc xắc màu xanh xuất hiện mặt 1 chấm, biết rằng tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 5 là

A. $\frac{1}{3}.$

B. $\frac{1}{5}.$

C. $\frac{1}{4}.$

D. $\frac{1}{6}.$

b) Xác suất của biến cố con xúc xắc màu đỏ xuất hiện mặt 6 chấm, biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là

A. $\frac{13}{36}.$

B. $\frac{1}{6}.$

C. $\frac{1}{2}.$

D. $\frac{6}{11}.$

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố “Con xúc xắc màu xanh xuất hiện 1 chấm”. Do đó P(A) = $\frac{1}{6}$

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 5”. Do đó P(B) = $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

Ta có: P(AB) = $\frac{1}{36}$

Do đó, P(A | B) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{9}=\frac{1}{4}.$

b) Đáp án đúng là: D

Gọi C là biến cố “Xúc xắc màu đỏ xuất hiện mặt 6 chấm” nên P(C) = $\frac{1}{6}$

Gọi D là biến cố “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm” nên P(D) = $\frac{11}{36}$

Do đó, P(CD) = $\frac{1}{6}$

Vậy P(C | D) = $\frac{P\left(CD\right)}{P\left(D\right)}=\frac{1}{6}:\frac{11}{36}=\frac{6}{11}.$

Bài 4 trang 86 SBT Toán 12 Tập 2: Cho sơ đồ hình cây dưới đây:

a) Xác suất của biến cố B với điều kiện A không xảy ra là 0,6.

b) Xác suất cả hai biến cố A và B đều không xảy ra là 0,3.

c) Xác suất của biến cố B là 0,9.

d) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là $\frac{1}{19}.$

Lời giải:

a) Quan sát sơ đồ hình cây, ta thấy xác suất của biến cố B với điều kiện A không xảy ra là 0,6.

b) Quan sát sơ đồ hình cây, ta thấy xác suất cả hai biến cố A và B đều không xảy ra là 0,4.

c) Ta có: P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline{A}$).P(B |$\overline{A}$) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 = 0,57.

d) Ta có: P(A | B) = $\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,1.0,3}}{\mathrm{0,57}}=\frac{1}{19}$

Bài 5 trang 86 SBT Toán 12 Tập 2: Ông Khải lần lượt rút ra một cách ngẫu nhiên 2 lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Lá bài rút ra không được trả lại. Gọi A là biến cố “Lá bài đầu tiên rút ra là chất cơ” và B là biến cố “Lá bài thứ hai rút ra là lá Q”.

a) Xác suất của biến cố A là 0,25.

b) Xác suất của biến cố A giao B là 0,25.

c) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là 0,25.

d) A và B là hai biến cố độc lập.

Lời giải:

a) Có số lá bài chất cơ là: 52 : 4 = 13 (lá bài).

Do đó P(A) = $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

b) Ta có: P(B) = $\frac{4}{52},$ P(A ∩ B) = $\frac{1}{52}$

c) Ta có: P(A | B) = $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{1}{52}:\frac{4}{52}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

d)  A và B là hai biến cố độc lập nếu P(AB) = P(A).P(B).

Nhận thấy: P(AB) = P(A ∩ B) = $\frac{1}{52}$

                   P(A).P(B) = $\frac{1}{4}.\frac{4}{52}=\frac{1}{52}$

Vậy P(AB) = P(A).P(B).

Do đó, hai biến cố A và B độc lập.

B. Tự luận

Bài 1 trang 86 SBT Toán 12 Tập 2: Ông Hải rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Gọi A là biến cố “Lá bài được chọn là lá K” và B là biến cố “Lá bài được chọn là chất cơ”. Tính P(A), P(A | B) và P(A | $\overline{B}$).

Lời giải:

Xác suất lá bài được chọn là lá K là P(A) = $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

Xác suất lá bài được chọn là quân K cơ là: P(A ∩ B) = $\frac{1}{52}$

Xác nhận của bài được chọn là lá K, biết rằng lá đó có chất cơ là:

P(A | B) = $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{1}{52}:\frac{13}{52}=\frac{1}{13}.$

Xác suất lá bài được chọn là lá K, nhưng không phải chất cơ là P(A ∩ $\overline{B}$) = $\frac{3}{52}$

Xác suất lá bài được chọn là lá K, biết rằng đó không phải là chất cơ là:

$P\left(\overline{B}\right)=\frac{52-13}{52}=\frac{3}{4}$

Xác suất lá bài được chọn là lá K, biết rằng đó không phải chất cơ là:

$P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{P\left(A\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}=\frac{3}{52}:\frac{3}{4}=\frac{1}{13}.$

Bài 2 trang 86 SBT Toán 12 Tập 2: Một xạ thủ lần lượt bắn 2 viên đạn vào một bia. Xác suất trúng bia của viên thứ nhất là 0,7; của viên thứ hai là 0,8 và của cả 2 viên là 0,6. Gọi A là biến cố “Viên đạn thứ nhất trúng bia”, B là biến cố “Viên đạn thứ hai trúng bia”.

a) Tính P(A | B) và P(B | A).

b) Hai biến cố A và B có độc lập không, tại sao?

Lời giải:

a) Xác suất trúng bia của viên thứ nhất, biết rằng viên thứ hai trúng bia là:

P(A | B) = $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,8}}=\mathrm{0,75}$

Xác suất trúng bia của viên thứ hai, biết rằng viên thứ nhất trúng bia là:

P(B | A) = $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,7}}=\frac{6}{7}\approx \mathrm{0,857.}$

b) Xác suất của biến cố A giao B là P(A ∩ B) = 0,6.

Mặt khác, P(A)P(B) = 0,7.0,8 = 0,56.

Do P(A ∩ B) ≠ P(A)P(B) nên hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 3 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Một vận động viên bóng bàn thắng 60% các séc đấu anh ta được ra bóng trước và 45% các séc đấu anh ta không được ra bóng trước. Trong một séc đấu, trọng tài gieo một đồng xu cân đối để xác định ai là người ra bóng trước. Tính xác suất vận động viên đó thắng séc đấu.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Vận động viên bóng bàn thắng séc đấu” và B là biến cố “Vận động viên bóng bàn được ra bóng trước”.

Do trong một séc đấu, trọng tài gieo một đồng xu cân đối để xác định ai là người ra bóng trước nên P(B) = P($\overline{B}$) = 0,5.

Do vận động viên bóng bàn thắng 60% các séc đấu anh ta được ra bóng trước và 45% các séc đấu anh ta không được ra bóng trước nên P(A | B) = 0,6 và P(A |$\overline{B}$) = 0,45.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất để vận động viên đó thắng séc đấu là:

P(A) = P(B)P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$) = 0,5.0,6 + 0,5.0,45 = 0,525.

Bài 4 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Một doanh nghiệp có 30% số nhân viên trên 40 tuổi. Tỉ lệ nhân viên trên 40 tuổi có bằng đại học là 40%. Tỉ lệ nhân viêt không quá 40 tuổi có bằng đại học là 60%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên của doanh nghiệp.

a) Tính xác suất nhận viên được chọn có bằng đại học.

b) Biết nhân viên đó có bằng đại học, tính xác suất để nhân viên đó trên 40 tuổi.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố “Nhân viên được chọn có bằng đại học” và B là biến cố “Nhân viên được chọn trên 40 tuổi”.

Do doanh nghiệp có 30% số nhân viên trên 40 tuổi nên

P(B) = 0,3 và P($\overline{B}$) = 1 – 0,3 = 0,7.

Do tỉ lệ nhân viên trên 40 tuổi có bằng đại học là 40% và tỉ lệ nhân viên không quá 40 tuổi có bằng đại học là 60% nên P(A | B) = 0,4 và P(A |$\overline{B}$) = 0,6.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất nhân viên được chọn có bằng đại học là

P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$) = 0,3.0,4 + 0,7.0,6 = 0,54.

b) Theo công thức Bayes, xác suất để nhân viên được chọn trên 40 tuổi, biết rằng nhân viên đó có bằng đại học là:

P(B | A) = $\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,3.0,4}}{\mathrm{0,54}}=\frac{2}{9}$ ≈ 0,222.

Bài 5 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Hai xe máy X và Y cùng sản suất một sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X và máy Y lần lượt là 95% và 90%. Một hộp chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp.

a) Tính xác suất để cả 2 sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn.

b) Biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn, tính xác suất chúng do máy Y sản xuất.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn” và B là biến cố “Cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất”.

Vì trong hộp có chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất nên P(B) = $\frac{C_9^2}{C_{10}^2}=\mathrm{0,8}$ và P($\overline{B}$) = 1 – 0,8 = 0,2.

Do tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X và máy Y lần lượt là 95% và 90% nên

P(A | B) = 0,9.0,9 = 0,81 và P(A |$\overline{B}$) = 0,9.0,95 = 0,855.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất cả hai sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn là

P(A) = P(B)P(A | B) + P($\overline{B}$)P(A |$\overline{B}$) = 0,8.0,81 + 0,2.0,855 = 0,819.

b) Theo công thức Bayes, xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất, biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn là:

P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,8.0,81}}{\mathrm{0,819}}=\frac{71}{91}$ ≈ 0,791.

Bài 6 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta quan sát một nhóm người trưởng thành trong 5 năm. Ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc. Sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm và thấy người này tử vong trong 5 năm quan sát, tính xác suất người đó thường xuyên hút thuốc.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Một người tử vong trong 5 năm quan sát” và B là biến cố “Một người thường xuyên hút thuốc”.

Do thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc nên P(B) = 0,3 và P($\overline{B}$) = 1 – 0,3 = 0,7.

Gọi tỉ lệ tử vong trong số những người không thường xuyên hút thuốc là a (0 ≤ a ≤ 1).

Do ở thời điểm sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại nên

P(A |$\overline{B}$) = a và P(A | B) = 3a.

Theo công thức xác suất toàn phần, tỉ lệ một người tử vong trong 5 năm quan sát là:

P(A) = P(B)P(A | B) + P($\overline{B}$)P(A |$\overline{B}$) = 0,3.3a + 0,7a = 1,6a.

Theo công thức Bayes, xác suất một người thường xuyên hút thuốc, biết rằng người đó tử vong trong 5 năm quan sát là:

P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,3.3}a}{\mathrm{1,6}a}$ = 0,5625.

Bài 7 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi.

a) Tính xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hợp thứ hai có cùng màu.

b) biết 2 viên bi lấy ra ở hợp thứ hai có cùng màu, tính xác suất 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng có cũng màu.

Lời giải:

a) Ta có sơ đồ hình cây sau:

Gọi A là biến cố “2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu” và B là biến cố “3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”.

Từ biểu đồ hình cây, ta có xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu là P(A) = $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{21}+\frac{10}{21}\right)=\frac{10}{21}$ ≈ 0,476.

b) xác suất của biến cố 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là P(B) = $\frac{1}{2}$

Xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu, biết rằng 3 viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có cùng màu là P(A | B) = $\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3}{7}$

Theo công thức Bayes, xác suất 3 viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có cùng màu, biết rằng 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu là:

P(B | A) $=\frac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\frac{1}{2}.\frac{3}{7}}{\frac{10}{21}}=\mathrm{0,45}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6