Xem các hình 156, 157, 158 và trả lời các câu hỏi sau: a) Vì sao hình năm cạnh GHIKL (h.156) không phải là đa giác lồi? b) Vì sao hình năm cạnh MNOPQ (h.157) không phải là đa giác lồi? c) Vì sao hình sáu cạnh RSTVXY (h.158) là một đa giác lồi? Hãy phát biểu định nghĩa đa giác lồi.  

Câu hỏi:

Xem các hình 156, 157, 158 và trả lời các câu hỏi sau:
a) Vì sao hình năm cạnh GHIKL (h.156) không phải là đa giác lồi?
b) Vì sao hình năm cạnh MNOPQ (h.157) không phải là đa giác lồi?
c) Vì sao hình sáu cạnh RSTVXY (h.158) là một đa giác lồi?
Hãy phát biểu định nghĩa đa giác lồi.

 

Trả lời:

a) + b) Đa giác GHIKL và MNOPQ không phải là đa giác lồi vì không nằm trong cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
c) Đa giác RSTVXY là đa giác lồi vì luôn nằm trong cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
– Định nghĩa:
Đa giác lồi vì luôn nằm trong cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Lý thuyết Toán 8 Chương 2 Hình học: Đa giác. Diện tích đa giác (mới 2023 + bài tập)

   Lý thuyết Toán 8 Chương 2 Hình học: Đa giác. Diện tích đa giác

   A. Lý thuyết

   1. Định nghĩa đa giác

   Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

   Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

   2. Mở rộng

   Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng (n – 2).180⁰.

   Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng

   Số các đường chéo của đa giác n cạnh bằng

   3. Công thức diện tích

   Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = 1/2a.h.

   Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: S = 1/2ab.

   Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S = ab.

   Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

   Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: S = 1/2(a + b)h.

   Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = ah.

   Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: S = 1/2d₁d₂.

   B. Trắc nghiệm & Tự luận

   I. Bài tập trắc nghiệm

   Bài 1: Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu chiều rộng tăng 4 lần, chiều dài giảm 2 lần ?

      A. Diện tích không đổi.

      B. Diện tích giảm 2 lần.

      C. Diện tích tăng 2 lần.

      D. Cả đáp án A, B, C đều sai.

   Công thức diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b

   Trong đó : a là chiều dài, b là chiều rộng

   Theo giả thiết: S_{ban đầu} = a.b

   Khi đó ta có: S_sau = 4b.1/2a = 2a.b = 2S_{ban đầu}

   Do đó, diện tích sau tăng lên 2 lần.

   Chọn đáp án C.

   Bài 2: Cho hình chữ nhật có chiều dài là 4 cm, chiều rộng là 1,5 cm. Diện tích của hình chữ nhật đó là ?

      A. 5( cm )   B. 6( cm² )

      C. 6( cm )   D. 5( cm² )

   Công thức diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b

   Trong đó : a là chiều dài, b là chiều rộng

   Khi đó ta có: S_hcn = 4. 1,5 = 6( cm² ).

   Chọn đáp án B.

   Bài 3: Cho hình vuông có độ dài cạnh hình vuông là 4 cm. Diện tích của hình vuông đó là?

      A. 8( cm ).   B. 16( cm )

      C. 8( cm² )   D. 16( cm² )

   Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

   Khi đó ta có S_hv = 4.4 = 16 ( cm² ).

   Chọn đáp án D.

   Bài 4: Cho tam giác vuông, có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm, 4cm. Diện tích của tam giác vuông đó là ?

      A. 24( cm² )   B. 14( cm² )

      C. 12( cm² )   D. 10( cm² )

   Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh: S = 1/2a.b.

   Khi đó ta có S = 1/2. 6. 4 = 12( cm² ).

   Chọn đáp án C.

   Bài 5: Cho hình vuông có đường chéo là 6( dm ) thì diện tích là ?

      A. 12( cm² )   B. 18( cm² )

      C. 20( cm² )   D. 24( cm² )

   Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

   Ngoài công thức này, diện tích hình vuông còn một công thức mở rộng là:

   Diện tích hình vuông bằng nửa tích của hai đường chéo

   Khi đó ta có : S = 1/2. 6. 6 = 18( cm² ).

   Chọn đáp án B.

   Bài 6: Đa giác đều là đa giác ?

      A. Có tất cả các cạnh bằng nhau.

      B. Có tất cả các góc bằng nhau.

      C. Có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

      D. Cả 3 đáp án trên đều đúng

   Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

   Chọn đáp án C.

   Bài 7: Lục giác đều có?

      A. Có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau.

      B. Có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bất kì

      C. Có 5 cạnh bằng nhau và 5 góc bằng nhau.

      D. Có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau.

   Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

   Lục giác đều là đa giác có 6 cạnh và 6 góc bằng nhau.

   Chọn đáp án A.

   Bài 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

      A. Hình vuông là đa giác đều.

      B. Tổng các góc của đa giác lồi 8 cạnh là 1080⁰.

      C. Hình thoi là đa giác đều.

      D. Số đo góc của hình bát giác đều là 135,5⁰.

   Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

   + Hình vuông là hình có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau

   ⇒ Hình vuông là đa giác đều.

   ⇒ Đáp án A đúng.

   + Hình thoi là hình có 4 cạnh bằng nhau nhưng 4 góc không bằng nhau.

   ⇒ Hình thoi không phải là đa giác đều.

   ⇒ Đáp án C sai.

   + Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là ( n – 2 ).180⁰.

   Khi đó tổng các góc của đa giác lồi 8 cạnh là ( 8 – 2 ).180⁰ = 1080⁰.

   ⇒ Đáp án B đúng.

   + Số đo của một góc của đa giác đều n cạnh là (( n – 2 ).180⁰)/n.

   Khi đó số đo của hình bát giác đều là (( 8 – 2 ).180⁰)/8 = 135⁰.

   ⇒ Đáp án D sai.

   Bài 9: Một đa giác 7 cạnh thì số đường chéo của đa giác đó là ?

      A. 12.   B. 13.

      C. 14.   D. Kết quả khác.

   Số đường chéo của đa giác n cạnh là (n( n – 3 ))/2.

   Khi đó số đường chéo của đa giác 7 cạnh là (7( 7 – 3 ))/2 = 14 (đường chéo)

   Chọn đáp án C.

   Bài 10: Một đa giác có số đường chéo bằng số cạnh của đa giác thì đa giác có số cạnh là?

      A. 5.   B. 6.

      C. 4.   D. 7.

   Số đường chéo của đa giác n cạnh là (n( n – 3 ))/2. ( n ∈ N, n ≥ 3 )

   Theo giả thiết ta có (n( n – 3 ))/2 = n ⇔ n( n – 3 ) = 2n ⇔ n² – 3n – 2n = 0

   ⇔ n² – 5n = 0 ⇔ n( n – 5 ) = 0 ⇔ 

   So sánh điều kiện ta có n = 5 thỏa mãn.

   Chọn đáp án A.

   Bài 11: Tam giác có độ dài cạnh đáy bằng a , độ dài cạnh huyền là h. Khi đó diện tích tam giác được tính bằng công thức ?

      A. a.h   B. 1/3ah

      C. 1/2ah   D. 2ah

   Ta có diện tích của tam giác: S = 1/2a.h.

   Trong đó: a là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao

   Chọn đáp án C.

   Bài 12: Diện tích tam giác S_AHB = ? với H là chân đường cao kẻ từ A.

   

      A. S_ABC – S_AHB

      B. S_AHC – S_ABC

      C. S_ABC – S_AHC

      D. S_AHC + S_ABC

   Ta có: S_AHB + S_AHC = S_ABC ⇒ S_AHB = S_ABC – S_AHC

   Chọn đáp án C.

   Bài 13: Cho Δ ABC, có đường cao AH = 2/3BC thì diện tích tam giác là ?

      A. 2/5BC².   B. 2/3BC².

      C. 1/3BC².   D. 1/3BC.

   Ta có diện tích của tam giác: S = 1/2b.h.

   Trong đó: b là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao

   

   Khi đó ta có :

   S = 1/2AH.BC = 1/2.2/3BC.BC = 1/3BC².

   Chọn đáp án C.

   Bài 14: Δ ABC có đáy BC = 6cm, đường cao AH = 4cm. Diện tích Δ ABC là ?

      A. 24cm²   B. 12cm²

      C. 24cm.   D. 14cm²

   Ta có diện tích Δ ABC là S = 1/2AH.BC = 1/2.6.4 = 12( cm² ).

   Chọn đáp án B.

   Bài 15: Cho Δ ABC vuông tại A, có đáy BC = 5cm và AB = 4cm. Diện tích Δ ABC là ?

      A. 12cm²   B. 10cm

      C. 6cm²   D. 3cm²

   Áp dụng định lý Py – ta – go ta có AB² + AC² = BC² ⇒ AC = √ (BC² – AB²)

   ⇒ AC = √ (5² – 4²) = 3cm.

   Khi đó S_ABC = 1/2AB.AC = 1/2.4.3 = 6( cm² )

   Chọn đáp án C.

   Bài 16: Cho Δ ABC, đường cao AH. Biết AB = 15cm, AC = 41cm, HB = 12cm. Diện tích của Δ ABC là ?

      A. 234( cm² )   B. 214( cm² )

      C. 200( cm² )   D. 154( cm² )

   

   Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

   + Xét Δ ABH có AH² + BH² = AB² ⇒ AH = √ (AB² – BH²)

   ⇒ AH = √ (15² – 12²) = 9 ( cm ).

   + Xét Δ ACH có AC² = AH² + HC² ⇒ HC = √ (AC² – AH²)

   ⇒ HC = √ (41² – 9²) = 40 ( cm ).

   Khi đó S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2AH( HB + HC ) = 1/2.9.( 12 + 40 ) = 234 ( cm² ).

   Chọn đáp án A.

   Bài 17: Hình thang có độ dài đáy lần lượt là 2√ 2 cm, 3cm và chiều cao là 3√ 2 cm. Diện tích của hình thang là ?

      A. 2( 2 + √ 2 )cm².

      B. 3( 2 + 3/2√ 2 )cm².

      C. 3( 3 + √ 2 )cm².

      D. 3( 2 + (√ 2 )/2 )cm²

   

   Ta có: S = 1/2( a + b ).h

   Khi đó ta có:

    = 3√ 2 .( √ 2 + 3/2 ) = 3( 2 + 3/2√ 2 )cm²

   Chọn đáp án B.

   Bài 18: Hình thang có độ dài đáy lần lượt là 6cm, 4cm và diện tích hình thang đó là 15cm². Chiều cao hình thang có độ dài là ?

      A. 3cm.   B. 1,5cm

      C. 2cm   D. 1cm

   Diện tích của hình thang là S = 1/2( a + b ).h

   ⇒ ( a + b ).h = 2S ⇔ h = (2S)/(a + b).

   Khi đó, chiều cao của hình thang là h = (2.15)/(6 + 4) = 3( cm ).

   Chọn đáp án A.

   Bài 19: Cho hình bình hành ABCD ( AB//CD ) có AB = CD = 4cm, độ dài đường cao hình bình hành là h = 2cm. Diện tích của hình bình hành là?

      A. 4( cm² )   B. 8( cm² )

      C. 6( cm² )   D. 3( cm² )

   

   Ta có : S = a.h

   Khi đó ta có: S = 4.2 = 8( cm² ).

   Chọn đáp án B.

   Bài 20: Cho hình thang vuông ABCD ( Aˆ = Dˆ = 90⁰ ), trong đó có Cˆ = 45⁰, AB = 2cm, CD = 4cm. Diện tích của hình thang vuông ABCD là

      A. 3( cm² )   B. 8( cm² )

      C. 4( cm² )   D. 6( cm² )

   

   Xét hình thang ABCD

   Từ B kẻ BH ⊥ CD, khi đó ta được hình chữ nhật ABHD ⇒ AB = DH = 2cm

   ⇒ HC = CD – DH = 4 – 2 = 2cm.

   + Xét Δ BDC có BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

   ⇒ Δ BDC là tam giác cân tại B.

   Mà BCDˆ = 45⁰ ⇒ BDCˆ = 45⁰

   ⇒ DˆBC = 180⁰ – ( BCDˆ + BDCˆ ) = 180⁰ – 90⁰ = 90⁰.

   ⇒ Δ BDC là tam giác vuông cân tại B nên BH = 1/2DC = 2cm.

   Do đó

   Chọn đáp án D.

   Bài 21: Công thức diện tích hình thoi là ?

   

      A. d₁d₂

      B. 1/2d₁d₂

      C. 2d₁d₂

      D. Cả 3 đều sai.

   Diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

   Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

   Chọn đáp án B.

   Bài 22: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 8cm, 10cm. Diện tích hình thoi là?

      A. 80cm².   B. 40cm².

      C. 18cm².   D. 9cm².

   Diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

   Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

   Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = 1/2.8.10 = 40( cm² )

   Chọn đáp án B.

   Bài 23: Hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là a√ 2 ,cm, a√ 3 cm. Diện tích của hình thoi là ?

      A. a²√ 6 ( cm² )

      B. (a²√ 6 )/3( cm² )

      C. (a²√ 6 )/2( cm² )

      D. (a²√ 5 )/2( cm² )

   Diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

   Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

   Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = 1/2. a√ 2 . a√ 3 = (a²√ 6 )/2( cm² )

   Chọn đáp án C.

   Bài 24: Cho hình thoi ABCD có AB = BC = CD = DA = 4cm và BACˆ = 60⁰. Diện tích của hình thoi ABCD là ?

      A. 8( cm² )   B. 8√ 3 ( cm² )

      C. 16( cm² )   D. 16√ 3 ( cm² )

   Xét hình thoi ABCD có BACˆ = 60⁰.

   Ta có ⇒ Δ ABD đều

   ⇒ AB = AD = BD = 4cm

   Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

   Áp dụng định lí Py – ta – go ta có:

   AH² + HB² = AB² ⇒ AH = √ (AB² – HB²)

   ⇒ AC = 2AH = 4√ 3 ( cm )

   Do đó S_ABCD = 1/2AC.BD = 1/2.4√ 3 .4 = 8√ 3 ( cm² )

   Chọn đáp án B.

   Bài 25: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 40cm và đường chéo BD = 8cm. Diện tích của hình thoi là ?

      A. 16( cm² )

      B. 8√ 21 ( cm² )

      C. 16√ 21 ( cm² )

      D. 8( cm² )

   

   Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

   ⇒ HB = HD = 4( cm )

   Theo giải thiết ta có:

   P_ABCD = AB + BC + CD + DA = 40

   ⇒ AB = BC = CD = DA = 10( cm )

   Áp dụng định lý Py – ta – go ta có :

   AH² + HB² = AB² ⇒ AH = √ (AB² – HB²) = √ (10² – 4²) = 2√ 21 ( cm )

   ⇒ AC = 2AH = 4√ 21 ( cm )

   Do đó S_ABCD = 1/2.BD.AC = 1/2.4√ 21 .8 = 16√ 21 ( cm² )

   Chọn đáp án C.

   II. Bài tập tự luận

   1. Nhận biết – Thông hiểu

   Bài 1: Cho đa giác đều có 14 cạnh. Tính :

   a) Tổng số đo góc của đa giác đó

   b) Số đo một góc của đa giác

   c) Số đường chéo của đa giác.

   Hướng dẫn:

   a) Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là ( n – 2 ).180⁰.

   Tổng số đo của đa giác 14 cạnh là ( 14 – 2 ).180⁰ = 2160⁰.

   b) Số đo của một góc của đa giác đều n cạnh là

   Số đo một góc của đa giác 14 cạnh là

   c) Số đường chéo của đa giác n cạnh là

   Số đường chéo của đa giác 14 cạnh làđường chéo

   Bài 2: Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu :

   a) Chiều dài tăng hai lần, chiều rộng không đổi

   b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần.

   c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần.

   Hướng dẫn:

   Gọi chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật lần lượt là a,b

   Diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b.

   a) Nếu chiều dài tăng lên 2 lần, chiều rộng không đổi thì khi đó chiều dài, chiều rộng mới là là 2a và b

   Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 2a.b = 2S.

   ⇒ Diện tích hình chữ nhật tăng lên 2 lần.

   b) Nếu chiều dài và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chiều dài, chiều rộng mới là 3a,3b

   Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 3a.3b = 9S.

   ⇒ Diện tích hình chữ nhật tăng lên 9 lần.

   c) Nếu chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm đi 4 lần thì chiều dài, chiều rộng mới là 4a, 1/4b

   Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 4a. 1/4b = ab = S.

   ⇒ Diện tích hình chữ nhật không đổi.

   Bài 3: Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật biết rằng

   a) Bình phương độ dài một cạnh là 16cm và diện tích hình chữ nhật là 28cm².

   b) Tỉ số các cạnh là 4:9 và diện tích của nó là 144cm².

   Hướng dẫn:

   Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là a,b ( a > 0, b > 0 ). Khi đó diện tích của hình chữ nhật là S_hcn = a.b

   a) Theo bài ra ta có: x.y = 28    ( 1 ) và x² = 16 = 4² ⇔ x = 4 (vì x > 0 ), trường hợp y² = 16 tương tự.

   Thay x = 4 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: 4y = 28 ⇔ y = 7.

   Với x = 4,y = 7 thỏa mãn yêu cầu điều kiện.

   Vậy hai kích thức của hình chữ nhật là 4cm, 7cm

   b) Theo bài ra ta có x/y = 4/9    ( 2 ) và x.y = 144    ( 3 )

   Nhân theo vế đẳng thức ( 2 ) với ( 3 ) ta được x² = 8² ⇔ x = 8 (vì x > 0 )

   Thay x = 8 vào đẳng thức ( 3 ) ta được 8y = 144 ⇔ y = 18.

   Với x = 8,y = 18 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

   Vậy kích thức của hình chữ nhật là 8cm,18cm.

   Bài 4: Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy là a, cạnh bên bằng b. Từ đó hãy tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

   Hướng dẫn:

   

   Xét Δ ABC cân tại A có AB = AC = b, BC = a.

   Từ A kẻ AH ⊥ BC.

   Ta có BH = HC = 1/2BC = a/2

   Khi đó ta có: S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2.a.AH

   Áp dụng định lý Py – to – go ta có:

   AC² = AH² + HC² ⇒ AH = √ (AC² – HC²) .

   

   Khi đó S_ABC = 1/2AH.BC

   

   Do đó diện tích của tam giác đều các cạnh bằng a là

   Bài 5: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm ), đường cao AH = 20 ( cm ). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

   Hướng dẫn:

   

   Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm )

   ⇒ BH = CH = 15( cm ).

   Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:

   AB = √ (AH² + HB²) = √ (20² + 15²) = 25( cm )

   Kẻ BK ⊥ AC, giờ ta phải tính BK = ?

   Ta có : S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2.20.30 = 300 ( cm² )

   Mặt khác S_ABC = 1/2BK.AC = 1/2.BK.25

   Do đó, ta có 1/2BK.25 = 300 ⇔ BK = (2.300)/25 = 24( cm ).

   Bài 6: Tính diện tích mảnh đất hình thang ABED có AB = 23cm, DE = 31cm và diện tích hình chữ nhật ABCD là 828cm².

   Hướng dẫn:

   

   Theo bài ra ta có S_ABCD = AB.BC = 23.BC = 828 ⇒ BC = 36 ( cm )

   Khi đó ta có

   Vậy diện tích hình thang ABED là 972( cm² )

   Bài 7: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 10cm, 12cm. Tính diện tích của hình thoi đó ?

   Hướng dẫn:

   Công thức diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

   Trong đó d₁,d₂ là độ dài của hai đường chéo.

   Khi đó diện tích hình thoi cần tìm là: S = 1/2.10.12 = 60( cm² )

   Vậy diện tích hình thoi cần tìm là 60( cm² )

   2. Vận dung – Vận dụng cao

   Bài 1: Tìm số cạnh của một đa giác, biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.

   Hướng dẫn:

   

   Nhận thấy: Hình vuông và hình ngũ giác đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán

   Ta chứng minh đa giác có số cạnh lớn hơn 5 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán bằng phương pháp phản chứng.

   Giả sử tồn tại đa giác AA₁A₂ … A_n với n ≥ 6 có các đường chéo có độ dài bằng nhau.

   ⇒ A₁A₄ = A₂A₅ vì chúng là các đường chéo.

   Xét tứ giác A₁A₂A₄A₅, có các đoạn thẳng A₁A₄,A₂A₅ là các đường chéo; còn A₁A₅,A₂A₄ là các cạnh của tứ giác nên tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

   Hay A₁A₅ + A₂A₄ < A₁A₄ + A₂A₅ mẫu thuẫn với giải thiết quy nạp vì A₁A₅,A₂A₄ cũng là hai đường chéo của đa giác.

   ⇒ Giả thiết đưa ra là sai.

   Vậy đa giác có số cạnh lớn hơn 5 thì không thỏa mãn yêu cầu bài.

   Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua E là một điểm bất kỳ nằm trrên đường chéo AC, kẻ hai đường chéo FG//AD và HK//AB ( F ∈ AB, G ∈ DC, H ∈ AD, K ∈ DC ). Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích.

   Hướng dẫn:

   

   Theo giả thiết ta có FG//AD, HK//AB nên HE//AF và AH//EF.

   Xét tứ giác AFEH có:

   ⇒ AFEH là hình bình hành.

   Mà Aˆ = 90⁰ ⇒ AFEH là hình chữ nhật.

   ⇒ Δ AFE = Δ AHE ( c – g – c ) → S_AFE = S_AHE.

   Tương tự: S_EKC = S_EGC; S_ABC = S_ADC

   ⇒ S_ABC – S_AFE – S_EKC = S_ADC – S_AHE – S_EGC hay S_EFBK = S_EHDG.

   Bài 3: Trung tuyến AD và BE của Δ ABC cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:

   S_DEG = 1/2S_CEG = 1/3S_CED = 1/4S_ABG = 1/6S_ABE = 1/12S_ABC.

   Hướng dẫn:

   

   Đặt S_DEG = a. Ta cần chứng minh:

   S_CEG = 2a; S_CED = 3a; S_ABG = 4a; S_ABE = 6a; S_ABC = 12a

   Đường trung tuyến AD và BE cứt nhau tại G nên G là trọng tâm của Δ ABC

   ⇒ Khoảng cách từ G đến các đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài các đường trung tuyến tương ứng.

   Ta có S_BDG = 2S_DGE = 2a (vì chung đường cao kẻ từ D xuống BE và BG = 2GE )

   S_BDG = S_CGD = 2a (vì chung đường cao kẻ từ G xuống BC và BD = DC )

   Do đó S_BDC = S_BDG + S_CGD = 2a + 2a = 4a.

   Lại có S_CEG = 1/2S_BGC = 1/2.4a = 2a (vì chung đường cao kẻ từ C xuống BE và BG = 2GE )

   + S_EDC = S_EBD = 2a + a = 3a (vì chung đường cao kẻ từ E xuống BC và BD = DC )

   + S_AGB = 2S_GBD = 4a (vì chung đường cao kẻ từ B xuống AD và AG = 2GD )

   + S_AEB = 3/2S_AGB = 3/2.4a = 6a (vì chung đường cao kẻ từ A xuống BE và BE = 3/2BG )

   + S_ABC = 2S_ABE = 2.6a = 12a.

   Bài 4: Trên 3 cạnh AB, BC, CA của Δ ABC lấy ba đoạn AD, BE, CF mỗi đoạn dài bằng 1/3 độ dài của cạnh tương ứng. Chứng minh S_ABC = 3S_DEF.

   Hướng dẫn:

   

   Đặt S_ABC = 9a. Ta có:

   + S_ABE = 1/3S_ABC = 1/3.9a = 3a (vì chung đường cao kẻ từ A xuống BC và BC = 3BE )

   + S_ADE = 1/3S_ABE = 1/3.3a = a (vì chung đường cao kẻ từ E xuống AB và AB = 3AD )

   Do đó S_BDE = S_ABE – S_ADE = 3a – a = 2a.

   Tương tự: S_ADF = S_CEF = 2a

   Vậy S_DEF = 9a – 6a = 3a hay S_ABC = 3S_DEF.

   Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

   Hướng dẫn:

   

   Gọi diện tích ABC, ABH,BCH,CAH lần lượt là S,S₁,S₂,S₃.

   Ta có S = S₁ + S₂ + S₃.

   + Các tam giác ABC và ABH có chung đáy AB nên tỉ số đường cao bằng tỉ số diện tích:

   + Tương tự:

   Khi đó ta có

   Bài 6: Chứng minh rằng với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh là a,b ?

   Hướng dẫn:

   

   Xét tam giác ABC có BC = a, AC = b

   Kẻ AH ⊥ BC thì AH và AC lần lượt là đường xiên.

   Đường vuông góc kẻ từ A ở ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng đó nên đường AH là đường ngắn nhất hay AH ≤ AC.

   Khi đó ta có:

   Mặt khác ta có:

   + 4ab = ( a + b )² – ( a – b )² ≤ ( a + b )²    ( 1 )

   + 2( a² + b² ) = ( a + b )² + ( a – b )² ≥ ( a + b )²     ( 2 )

   Từ ( 1 ) và ( 2 ), ta có: 4ab ≤ 2( a² + b² ) ⇒ 

   hay(đpcm)

   Bài 7: Tính diện tích hình thang, biết hai đường chéo của nó vuông góc với nhau và có độ dài tương ướng là 3,6dm và 6dm.

   Hướng dẫn:

   

   Xét hình thang ABCD ( AB//CD ) có AC ⊥ BD và AC = 6dm, BD = 3,6dm.

   Kẻ đường cao BH của hình thang.

   Ta có

   Kẻ BE//AC thì BD ⊥ BE thì hình thang ABEC có hai cặp cạnh đối song song → ABEC là hình bình hành.

   

   Do đó, ta có: CD + AB = CD + CE = DE

   Khi đó ta có

   ⇒ S là diện tích của tam giác DBE vuông tại B.

   Khi đó S = 1/2BD.BE = 1/2.3,6. 6 = 10,8( dm² )

   Vậy diện tích của hình thang là 10,8( dm² )

   Bài 8: Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài toán có mấy đáp án ?

   Hướng dẫn:

   

   Xét hình bình bình ABCD có AB = CD = 8( cm ) và AD = BC = 6( cm )

   Từ A kẻ các đường cao AH,AK.

   Khi đó ta có:

   + S_hbh = AH.CD = 8.AH

   + S_hbh = AK.BC = 6.AK

   Mà một hình bình hành thì chỉ có một diện tích chung nên 8.AH = 6.AK

   Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AH = 5( cm ) thì:

   8.5 = 6.AK ⇔ AK = (8.5)/6 = 20/3( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

   Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AK = 5( cm ) thì:

   8.AH = 6.5 ⇔ AH = (6.5)/8 = 15/4( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

   Vậy bài toán này có hai đáp số

   Bài 9: Tính diện tích hình thoi có cạnh là 17cm và tổng hai đường chéo là 46cm.

   Hướng dẫn:

   

   Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

   Theo giải thiết ta có: AC + BD = 46( cm )

   ⇔ ( HB + HD ) + ( HC + HA ) = 46

   ⇔ 2HB + 2HA = 46 ⇔ HA + HB = 23

   Khi đó ta có: HA + HB = 23 ⇔ ( HA + HB )² = 23²

   ⇔ HA² + 2HA.HB + HB² = 23²    ( 1 )

   Mặt khác, theo định lí Py – to – go ta có: AH² + HB² = AB² = 17²    ( 2 )

   Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có: 17² + 2HA.HB = 23² ⇒ HA.HB = (23² – 17²)/2 = 120.

   Hay AC/2.BD/2 = 120 ⇔ 1/2.AC.BD = 240 ⇒ S_ABCD = 240( cm² )

   Vậy diện tích hình thoi là 240cm².

   Bài 10: Cho hình thoi ABCD có AB = 6cm, Aˆ = 60⁰. Tính diện tích của hình thoi?

   Hướng dẫn:

   

   Diện tích của hình thoi ABCD là

   S = 1/2AC.BD

   Gọi O là giao điểm của AC và BD

    ⇒ S = 2OA.OB

   Từ giả thiết ta có hình thoi ABCD có Aˆ = 60⁰ nên Δ ABD đều

   Do đó Δ ABO là nửa tam giác đều có BO = 1/2BD = 6/2 = 3( cm ).

   Áo dụng định lí Py – to – go ta có:

   AB² = AO² + BO² ⇒ AO = √ (AB² – BO²) = √ (6² – 3²) = 3√ 3 ( cm )

   Khi đó ta có: S = 2OA.OB = 2.3√ 3 .3 = 18√ 3 ( cm² )

   Vậy diện tích hình thoi là 18√ 3 ( cm² )

2. Giải SGK Toán 8 Ôn tập chương 2 Hình học

   Giải bài tập Toán lớp 8 Ôn tập chương 2 Hình học

   Trả lời câu hỏi giữa bài

   Câu hỏi 1 trang 131 Toán 8 Tập 1: Xem các hình 156, 157, 158 và trả lời các câu hỏi sau:

   a) Vì sao hình năm cạnh GHIKL (h.156) không phải là đa giác lồi?

   b) Vì sao hình năm cạnh MNOPQ (h.157) không phải là đa giác lồi?

   c) Vì sao hình sáu cạnh RSTVXY (h.158) là một đa giác lồi?

   Hãy phát biểu định nghĩa đa giác lồi.

   

   

   

   Trả lời:

   a) Đa giác GHIKL nằm ở hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng IH (hoặc bờ LK) nên đa giác GHIKL không là đa giác lồi.

   b) Đa giác MNOPQ không phải là đa giác lồi vì đa giác nằm trong hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng NO (hoặc bờ PO).

   c) Đa giác RSTVXY là đa giác lồi vì luôn nằm trong cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

   Câu hỏi 2 trang 132 Toán 8 Tập 1:Điền vào chỗ trống trong các câu sau:

   a) Biết rằng tổng số đo các góc của một đa giác n cạnh là $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\mathrm{\dots }+\widehat{A_n}=\left(n-2\right){.180}^o.$

   Vậy tổng số đo các góc của một đa giác 7 cạnh là ….

   b) Đa giác đều là đa giác có ….

   c) Biết rằng số đo mỗi góc của một đa giác đều n cạnh là $\frac{\left(n-2\right){.180}^0}{n}$. Vậy:

   Số đo mỗi góc của ngũ giác đều là ….

   Số đo mỗi góc của lục giác đều là ….

   Lời giải

   Ta điền vào chỗ trống như sau:

   a) Vậy tổng số góc của đa giác 7 cạnh là:

   (7 – 2).180^o = 900^o.

   b) Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

   c) Số đo mỗi góc của ngũ giác đều là $\frac{\left(5-2\right){.180}^0}{5}=\frac{{3.180}^o}{5}={108}^o$.

   Số đo mỗi góc của lục giác đều là $\frac{\left(6-2\right){.180}^0}{6}=\frac{{4.180}^o}{6}={120}^o$.

   Câu hỏi 3 trang 132 Toán 8 Tập 1:Hãy viết công thức tính diện tích của mỗi hình trong khung sau:

   

   Lời giải

   Theo thứ tự từ trái sang phải, ta có:

   Hình 1 là hình chữ nhật nên S = ab;

   Hình 2 là hình vuông nên S = a²;

   Hình 3 là tam giác vuông với đáy là a và chiều cao tương ứng là b: $S=\frac{1}{2}ab;$

   Hình 4 là tam giác với đáy là a và chiều cao tương ứng là h: $S=\frac{1}{2}ah;$

   Hình 5 là tam giác với đáy là a và chiều cao tương ứng là h: $S=\frac{1}{2}ah;$

   Hình 6 là hình thang với độ dài hai đáy là a và b, chiều cao là h: $S=\frac{\left(a+b\right)h}{2};$

   Hình 7 là hình bình hành với đáy là a và chiều cao tương ứng là h: S = a.h;

   Hình 8 là hình thoi có độ dài hai đường chéo là d₁ và d₂: $S=\frac{1}{2}{d}_1.d_2.$

   Tương ứng ta có bảng sau:

   

   Bài tập (trang 132; 133)

   Bài 41 trang 132 Toán 8 Tập 1:Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H, I, E, K lần lượt là các trung điểm của BC, HC, DC, EC (h.159). Tính

   a) Diện tích tam giác DBE

   b) Diện tích tứ giác EHIK

   

   Lời giải:

   Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC = 6,8 cm.

   Ta có: DE = EC = $\frac{DC}{2}=\frac{12}{2}=6cm$ (Vì E là trung điểm của DC).

   EK = KC = $\frac{EC}{2}=\frac{6}{2}=3cm$ (Vì K là trung điểm của EC)

   Ta lại có: BH = HC = $\frac{BC}{2}=\frac{6,8}{2}=3,4cm$ (Vì H là trung điểm của BC).

   HI = IC = $\frac{HC}{2}=\frac{3,4}{2}=1,7cm$ (Vì I là trung điểm HC)

   a) Diện tích tam giác DBE là: 

   $S_{DBE}=\frac{1}{2}DE.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.6.6.8}=20,4\left(c{m}^2\right).$

   Vậy diện tích tam giác DBE là 20,4 cm².

   b) Diện tích EBC bằng diện tích tam giác DBE bằng 20,4 cm² vì DE = EC và chung chiều cao BC.

   Diện tích tam giác EBH là: 

   $S=\frac{1}{2}.BH.EC=\frac{1}{2}.3,4.6=10,2\left(c{m}^2\right).$

   Diện tích tam giác KCI là:

   $S=\frac{1}{2}.KC.IC=\frac{1}{2}.1,7.3=2,55\left(c{m}^2\right).$

   Ta có:

   $S_{EHIK}=S_{EBC}-S_{EBH}-S_{KIC}=20,4-5,1-2,55=12,75\left(c{m}^2\right).$

   Vậy diện tích tứ giác EHIK là 12,75 cm².

   Bài 42 trang 132 Toán 8 Tập 1: Trên hình 160 (AC // BF), hãy tìm tam giác có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

   

   Lời giải:

   Ta có: BF// AC

   ⇒ Khoảng cách từ B đến AC bằng khoảng cách từ F đến AC.

   ⇒ S_BAC = S_FAC (Chung đáy AC, chiều cao bằng nhau).

   ⇒ S_ABC + S_ADC = S_FAC + S_ADC

   hay S_ABCD = S_ADF.

   Vậy tam giác ADF có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

   Bài 43 trang 133 Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a. Một góc vuông xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F (h.161). Tính diện tích tứ giác OEBF.

   

   Lời giải:

   

   Ta có $\widehat{OAE}=\frac{\widehat{DAB}}{2}=\frac{{90}^0}{2}={45}^0$ (AO là phân giác )

   $\widehat{OBF}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{{90}^0}{2}={45}^0$ (BO là phân giác )

   $\Rightarrow \widehat{OAE}=\widehat{OBF}=45°$.

   Ta lại có $\widehat{AOE}+\widehat{EOB}={90}^0$ (hai góc phụ nhau)

   $\widehat{BOF}+\widehat{EOB}={90}^0$(hai góc phụ nhau)

   $\Rightarrow \widehat{AOE}=\widehat{BOF}=90°-\widehat{EOB}$.

   Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OBF$, có:

   $\widehat{AOE}=\widehat{BOF}\left(cmt\right)$

   OA = OB (tính chất hình vuông)

   $\begin{array}{l}\widehat{OAE}=\widehat{OBF}\left(cmt\right)\\ \Rightarrow \Delta OAE=\Delta OBF\left(g-c-g\right)\\ \Rightarrow S_{\Delta OAE}=S_{\Delta OBF}\end{array}$

   Mà $S_{\Delta OAE}+S_{\Delta OBE}=S_{\Delta AOB}$ và $S_{\Delta OFB}+S_{\Delta OBE}=S_{OEBF}$

   $\Rightarrow S_{\Delta AOB}=S_{OEBF}$

   

   Kẻ OH vuông góc AB nên $OH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$

   Diện tích tam giác vuông AOB là: $S_{AOB}=\frac{1}{2}OH.AB=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a=\frac{a^2}{4}$.

   Vậy diện tích tứ giác OEBF là $\frac{a^2}{4}.$

   Bài 44 trang 133 Toán 8 Tập 1:Gọi O là điểm nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác ABO và CDO bằng tổng diện tích của hai tam giác BCO và DAO.

   Lời giải:

   

   Gọi OH, OK lần lượt là chiều cao của tam giác AOB và tam giác DOC.

   Ta có: OK ⊥ CD, CD // AB ⇒ OK ⊥ AB

   ⇒ O, H, K thẳng hàng.

   Do đó:

   $\begin{array}{l}{S}_{AOB}+S_{COD}=\frac{1}{2}AB.OH+\frac{1}{2}CD.OK\\ =\frac{1}{2}AB.OH+\frac{1}{2}AB.OK\\ =\frac{1}{2}AB.\left(OH+OK\right)\\ =\frac{1}{2}AB.HK=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}\end{array}$

   Mà S_ABCD = S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA

   _{$\Rightarrow S_{AOC}+S_{BOD}=S_{ABCD}-S_{AOB}-S_{COD}=S_{ABCD}-\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$}

   $\Rightarrow S_{AOC}+S_{BOD}=S_{AOB}+S_{COD}$

   Vậy S_AOB + S_COD = S_BOC + S_DOA.

   Bài 45 trang 133 Toán 8 Tập 1:Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 4cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao kia.

   Lời giải:

   Gọi đường cao còn lại là h.

   

   Theo quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu thì ta có chiều cao của hình bình hành luôn nhỏ hơn cạnh không tương ứng với nó.

   ⇒ Đường cao có độ dài bằng 5cm ứng với cạnh 4cm

   ⇒ S_ABCD = 4.5 = 20

   Mà S_ABCD = h.6

   ⇒ h.6 = 20

   ⇒ h = 20 : 6 = 3,33 (cm).

   Bài 46 trang 133 Toán 8 Tập 1:Cho tam giác ABC. Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của AC, BC. Chứng minh rằng diện tích của hình thang ABNM bằng $\frac{3}{4}$ diện tích của tam giác ABC.

   Lời giải:

   

   Vẽ hai trung tuyến AN, BM của ΔABC. Ta có:

   N là trung điểm BC ⇒ $S_{ACN}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$ (chung chiều cao từ A, đáy CN = $\frac{1}{2}$.BC)

   M là trung điểm CA ⇒ $S_{MCN}=\frac{1}{2}{S}_{ACN}$ (chung chiều cao từ N, đáy CM = $\frac{1}{2}$CA).

   $\Rightarrow S_{MCN}=\frac{1}{2}{S}_{ACN}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.S_{ABC}$

   $\Rightarrow S_{ABNM}=S_{ABC}-S_{CMN}=S_{ABC}-\frac{1}{4}{S}_{ABC}$

   $=\frac{3}{4}{S}_{ABC}$ (đpcm).

   Bài 47 trang 133 Toán 8 Tập 1:Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác (h.162). Chứng minh sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau.

   

   Lời giải:

   

   Theo tính chất trung tuyến, suy ra:

   S₁ = S₂ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao kẻ từ G xuống cạnh AB) (1)

   S₃ = S₄ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao kẻ G xuống cạnh BC) (2)

   S₅ = S₆ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao kẻ từ G xuống AC) (3)

   Ta có:

   S₁ + S₂ + S₃ = S₄ + S₅ + S₆ $\left(=\frac{S_{ABC}}{2}\right)$.

   ⇔ 2S₁ + S₃= S₄ + 2S₆ (vì S₁ = S₂; S₅ = S₆)

   ⇔ 2S₁ = 2S₆ (vì S₃ = S₄)

   ⇔ S₁ = S₆ (4)

   Và S₁+ S₂ + S₆ = S₃ + S₄ +S₅ $\left(=\frac{S_{ABC}}{2}\right)$ (5)

   Kết hợp (5) với (1), (2), (3) suy ra S₂ = S₃ (6)

   Từ (4), (6) và kết hợp (1) (2) (3) ta có:

   S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

3. Lý tuyết Toán 8 Chương 2 Đại số: Phân thức đại số 2023 hay, chi tiết

   Lý tuyết Toán 8 Chương 2 Đại số: Phân thức đại số

   A. Lý thuyết

   1. Định nghĩa về phân thức đại số

   Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

   Trong đó:

   + A được gọi là tử thức (hay gọi là tử).

   + B được gọi là mẫu thức (hay gọi là mẫu).

   2. Hai phân thức bằng nhau

   Hai phân thức A/B và C/D được gọi là bằng nhau nếu: A.D = B.C

   Ta viết: A/B = C/D nếu A.D = B.C .

   3. Tính chất cơ bản của phân thức

   + Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

   A/B = (A.M)/(B.M) (M là một đa thức khác đa thức 0)

   + Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

   A/B = (A:M)/(B:M) (M là một đa thức khác đa thức 0)

   + Quy tắc đổi dấu.

   Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì nhận được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

   Ta có thể viết như sau: A/B = (-A)/(-B)

   4. Quy tắc rút gọn phân thức

   Muốn rút gọn một phân thức đại số ta cần phải:

   + Đặt điều kiện xác định cho mẫu thức.

   + Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

   + Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

   Chú ý:

   + Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.

   + Cần chú ý tính chất A = -(-A)

   5. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

   a) Quy tắc tìm mẫu thức chung

   Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể theo hướng như sau:

   + Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.

   + Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

      Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).

      Với mỗi cơ số của luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa với só mũ cao nhất.

   b) Quy đồng phân thức

   Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

   + Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

   + Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

   + Nhân tử và mẫu của mỗi phânthức với nhân tử phụ tương ứng

   6. Phép cộng các phân thức đại số

   a) Cùng mẫu số

   Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.

   Ta có thể viết như sau: A/B + C/B = (A +C)/B

   b) Khác mẫu

   Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

   Ta có thể viết như sau: A/B + C/D = (A.D)/(B.D) + (C.B)/(B.D) = (AD + BC)/BD

   7. Phép trừ các phân thức đại số

   a) Phân thức đối

   Hai phân thức được gọi là phân thức đối nếu tổng của chúng bằng 0.

   Tổng quát: A/B + (-A/B) = 0

   + Phân thức đối của phân thức A/B là -A/B

   + Phân thức đối của phân thức -A/B là A/B.

   b) Quy tắc

   Muốn trừ phân thức A/B cho phân thức C/D, ta cộng phân thức A/B cho phân thức đối của phân thức C/D.

   Ta có thể viết như sau: A/B – C/D = A/B + (-C/D)

   Kết quả của phép trừ A/B cho C/D được gọi là hiệu của A/B và C/D.

   8. Phép nhân các phân thức đại số

   Muốn nhân hai phân thức với nhân, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

   Ta có thể viết như sau: A/B .CD = (A.C)/(B.D)

   9. Phép chia các phân thức đại số

   a) Phân thức nghịch đảo

   Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

   Tổng quát: A/B là một phân thức khác 0, ta có A/B . B/A =1

   Do đó ta có:

      B/A được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức A/B.

      A/B được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức B/A.

   b) Phép chia

   Quy tắc: Muốn chia phân thức A/B cho phân thức C/D khác 0, ta nhân phân thức A/B với phân thức nghịch đảo của C/D

   Ta có thể viết: A/B : C/D = A/B . D/C với C/D≠0

   B. Trắc nghiệm & Tự luận

   I. Bài tập trắc nghiệm

   Bài 1: Điều kiện xác định của phân thức là ?

      A. x = ± 4/3.   B. x ≠ ± 4/3.

      C. – 4/3 < x < 4/3.   D. x > 4/3.

   Ta có điều kiện xác định của phân thức là 9x² – 16 ≠ 0

   ⇔ 9x² ≠ 16 ⇔ x² ≠ 16/9 ⇔ x ≠ ± 43.

   Chọn đáp án B.

   Bài 2: Giá trị của x để phân thức bằng 0 ?

      A. x = ± 4.   B. x ≠ 1.

      C. x = 0.   D. x = – 1.

   Để phân thức

   bằng 0 ⇒

   

   

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 3: Cặp phân thức nào không bằng nhau ?

   

   

   

   

   + Ta có  ⇒ 16xy.3 = 24x.2y ⇔ (16xy)/(24x) = (2y)/3.

   + Ta có ⇒ 3.16xy = 2y.24x ⇔ 3/(24x) = (2y)/(16xy).

   + Ta có ⇒ – 16xy.3 = – 2y.24x ⇔ (- 16xy)/(24x) = (- 2y)/3.

   + Ta có ⇒ – x²y.3ykhông bằng xy.3xy.

   ⇒ (- x²y)/(3xy) không bằng (xy)/(3y).

   Chọn đáp án D.

   Bài 4: Tìm biểu thức A sao cho :

      A. – 2x²y.   B. x²y⁴.

      C. – 2xy⁴.   D. – x³y.

   Ta có: ⇔ x²y³.( – 2xy² ) = x²y.A

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 5: Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số ?

      A. 1/(x² + 1)   B. (x + 1)/2

      C. x² – 5   D. (x + 1)/0

   Nhớ lại định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

   + 1/(x² + 1) có A = 1;B = x² + 1 ≠ 0 ⇒ 1/(x² + 1) là phân thức đại số.

   + (x + 1)/2 có A = x + 1;B = 2 ≠ 0 ⇒ (x + 1)/2 là phân thức đại số.

   + x² – 5 có A = x² – 5;B = 1 ⇒ x² – 5 là phân thức đại số.

   + (x + 1)/0 có A = x + 1;B = 0 ⇒ (x + 1)/0 không phải là phân thức đại số .

   Chọn đáp án D.

   Bài 6: Cho phân thức 2/(x – 1), nhân cả tử và mẫu với đa thức ( x + 1 ) ta được phân thức mới là ?

      

   Nhân cả tử và mẫu với đa thức ( x + 1 ) ta được phân thức mới là

   Ta có (áp dụng hằng đẳng thức A² – B² = ( A – B )( A + B ) )

   Chọn đáp án C.

   Bài 7: Với giá trị nào của x thì hai phân thức (x – 2)/(x² – 5x + 6) và 1/(x – 3) bằng nhau ?

      A. x = 2   B. x = 3

      C. x ≠ 2,x ≠ 3.   D. x = 0.

   + Giá trị của phân thức (x – 2)/(x² – 5x + 6) được xác định khi và chỉ khi x² – 5x + 6 ≠ 0

   ⇔ ( x – 3 )( x – 2 ) ≠ 0 hay x ≠ 2,x ≠ 3.

   + Giá trị của phân thức 1/(x – 3) được xác định khi và chỉ khi x – 3 ≠ 0 hay x ≠ 3.

   Với x ≠ 2,x ≠ 3 ta có:

   Vậy với x ≠ 2,x ≠ 3 ta có:

   Chọn đáp án C.

   Bài 8: Phân thức 2/(x + 3) bằng với phân thưc nào dưới đây ?

      

   Ta có:

   +

   ⇒ Đáp án A sai.

   +

   ⇒ Đáp án B sai.

   +

   ⇒ Đáp án C đúng.

   +

   ⇒ Đáp án D sai.

   Chọn đáp án C.

   Bài 9: Điền vào chỗ trống đa thức sao cho

      A. x² – 4x.   B. x² + 4x.

      C. x² + 4.   D. x² – 4.

   Gọi A là đa thức cần tìm thỏa mãn A( x – 4 ) = x( x² – 16 )

   Ta có: A( x – 4 ) = x( x – 4 )( x + 4 ) ⇒ A = x( x + 4 ) = x² + 4x

   Chọn đáp án B.

   Bài 10: Kết quả của rút gọn biểu thức (6x²y²)/(8xy⁵) là ?

      A. 6/8   B. (3x)/(4y³)

      C. 2xy²   D. (x²y²)/(xy⁵)

   Điều kiện xác định là x ≠ 0;y ≠ 0.

   Ta có (6x²y²)/(8xy⁵) = (2.3.xy².x)/(2.4.xy².y³) = (3x)/(4y³).

   Chọn đáp án B.

   Bài 11: Kết quả của rút gọn biểu thức (x² – 16)/(4x – x²)( x ≠ 0,x ≠ 4 ) là ?

      A. (x – 4)/x.   B. (x + 4)/(x – 4).

      C. (x + 4)/( – x)   D. (4 – x)/( – x).

   Điều kiện xác định là x ≠ 0;x ≠ 4

   Ta có 

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 12: Rút gọn biểu thức là

   

   

   

   

   Điều kiện xác định x,y ≠ 0;x² + 3x + 2 ≠ 0

   Ta có 

   

   Chọn đáp án B.

   Bài 13: Rút gọn phân thức được kết quả là ?

      A. ( – x – 2)/(x + 8)   B. (x + 2)/(x – 8)

      C. (x + 2)/(x + 8)   D. ( – x – 2)/(x – 8)

   Điều kiện xác định: 9 – ( x + 5 )² ≠ 0.

   Ta có: 

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 14: Cho kết quả sai trong các phương án sau đây ?

   

   

   

   

   Ta có:

   +

   ⇒ Đáp án A đúng.

   +

   ⇒ Đáp án B đúng.

   +

   ⇒ Đáp án C đúng.

   +

   ⇒ Đáp án D sai.

   Chọn đáp án D.

   Bài 15: Hai phân thức 1/(4x²y) và 5/(6xy³z) có mẫu thức chung đơn giản nhất là ?

      A. 8x²y³z   B. 12x³y³z

      C. 24x²y³z   D. 12x²y³z

   Ta có ⇒ Mẫu thức chung đơn giản nhất là: 12x²y³z

   Chọn đáp án D.

   Bài 16: Hai phân thức 5/(2x + 6) và 3/(x² – 9) có mẫu thức chung đơn giản nhất là ?

      A. x² – 9.   B. 2( x² – 9 ).

      C. x² + 9.   D. x – 3

   Ta có: 

   ⇒ MTC = 2( x – 3 )( x + 3 ) = 2( x² – 9 )

   Chọn đáp án B.

   Bài 17: Hai phân thức (x + 1)/(x² + 2x – 3) và (-2x)/(x² + 7x + 10) có mẫu thức chung là ?

      A. x³ + 6x² + 5x – 12

      B. x³ – 6x² + 3x – 10

      C. x³ + 6x² – 3x – 10

      D. x³ + 6x² + 3x + 10

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 18: Kết quả của phép cộng là ?

      

   Ta có: ⇒ MTC = – 2( x – 1 )( x + 1 ).

   Khi đó ta có:

   

   

   Chọn đáp án B.

   Bài 19: Kết quả của phép cộng là ?

      A. 4/(xy²)   B. (4x)/(y³)

      C. 2/(x²y²)   D. (2y)/(x²)

   Ta có

   

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 20: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      A. 3.   B. – 3.

      C. 3/(x – 5)   D. ( – 3)/(x – 5).

   Ta có:

   

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 21: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      A. 3 – x.   B. x – 3

      C. x + 3.   D. – x – 3.

   Ta có:

   

   

   Chọn đáp án B.

   Bài 22: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      A. (2x + y)/(xy)   B. (2x – y)/(xy)

      C. ( – 2x – y)/(xy)   D. (y – 2x)/(xy)

   Ta có: ⇒ MTC = – xy( 2x – y ).

   Khi đó ta có:

   

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 23: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      A. 1/(xy)   B. ( – 1)/(xy)

      C. (x – 1)/(xy)   D. (1 – x)/(xy)

   Ta có:

   

   Chọn đáp án B.

   Bài 24: Rút gọn biểu thức được kết quả ?

      A. 1/2   B. – 1/2.

      C. 1/(10x – 4)   D. – 1/(10x – 4).

   Ta có:

   

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 25: Thực hiện phép trừ phân thức được kết quả là ?

      A. – 1/x.   B. 1/(x + 3).

      C. 1/x   D. – 1/(x + 3)

   Ta có:  ⇒ MTC = 2x( x + 3 )

   Khi đó ta có: 

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 26: Thực hiện phép tính được kết quả là?

      A. 3/(x² – 1)   B. 3/(1 – x²)

      C. 3   D. – 3

   Ta có:

   

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 27: Rút gọn biểu thức được kết quả là?

      

   + ⇒ MTC = – x( 5x + 1 )( 5x – 1 ).

   Khi đó ta có:

   

   

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 28: Kết quả của phép tính là ?

      A. – (3y)/(22x²)   B. (3y)/(22x²)

      C. y/(11x²)   D. – y/(11x²)

   Ta có:

   Chọn đáp án A.

   Bài 29: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      

   Ta có: 

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 30: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      A. 5/2   B. 3/2

      C. – 3/2   D. – 5/2

   Ta có:

   

   Chọn đáp án D.

   Bài 31: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      

   Ta có:

   

   Chọn đáp án B.

   Bài 32: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

      A. (2x³ – 1)/x   B. (1 – 2x³)/x

      C. 1/x   D. – 1/x

   Ta có: 

   

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 33: Kết quả của phép chia là ?

      A. 5/(3x²y)   B. – 5/(x²y)

      C. 25/(3x²y)   D. – 25/(3x²y)

   Ta có:

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 34: Kết quả của phép tính là ?

      

   Ta có:

   

   

   Chọn đáp án C.

   Bài 35: Kết quả của phép tính là ?

      

   Ta có: 

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 36: Kết quả của phép tính được kết quả là ?

      

   Ta có:

   

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 37: Biểu thức Q nào thỏa mãn là?

      A. (2 – x)/(x²)   B. (x – 2)/(x²)

      C. (x + 2)/(x²)   D. – (x + 2)/(x²)

   Ta có:

   

   

   

   Chọn đáp án B.

   Bài 38: Biến đổi biểu thức thành phân thức đại số là ?

      A. ( x – 1 )²   B. – ( x – 1 )²

      C. ( x + 1 )²   D. – ( x + 1 )²

   Ta có:

   

   

   

   Chọn đáp án A.

   Bài 39: Với giá trị nào của x thì phân thức (5x)/(2x + 4) xác định ?

      A. x = 2.   B. x ≠ -2.

      C. x > 2.   D. x ≤ 2.

   Giá trị của phân thức (5x)/(2x + 4) xác định khi và chỉ khi 2x + 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 2.

   Chọn đáp án B.

   Bài 40: Giá trị của biểu thức tại x = 1 là ?

      A. A = 1.   B. A = – 2.

      C. A = – 1.   D. Đáp án khác.

   Tại x = 1 thì biểu thức đã cho không xác định

   Chọn đáp án D.

   II. Bài tập tự luận

   1. Nhận biết – Thông hiểu

   Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức

   

   

   

   Hướng dẫn:

   a) Phân thức xác định ⇔ x² – 4x + 4 ≠ 0

   ⇔ ( x – 2 )² ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 (vì ( x – 2 )² ≥ 0 )

   Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 2.

   b) Phân thức xác định ⇔ x² – 1 ≠ 0

   ⇔ ( x – 1 )( x + 1 ) ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 1.

   Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ ± 1.

   c) Phân thức xác định ⇔ ( x + 1 )( x – 3 ) ≠ 0

   

   Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ – 1 và x ≠ 3

   Bài 2: Chứng minh các phân thức sau bằng nhau

   

   

   Hướng dẫn:

   a) Ta có

   Vì  ⇒ 3x²y.( (- 1/3)xy² ) = – xy³.x²

   ⇒

   b) Ta có

   Vì

   ⇒ 2( x + 1 )y.x( x + 1 )²y = – xy². – 2( x + 1 )³

   ⇒

   Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

     

   Hướng dẫn:

   a) Ta có:

   

   b) Ta có:

   

   c) Ta có:

   

   

   Bài 4: Quy đồng mẫu của các phân thức sau:

   

   

   Hướng dẫn:

   a) Coi x² + 1 = (x² + 1)/1

   ⇒ Mẫu thức chung là x² – 1.

   Khi đó ta có:

   

   b) Ta có

   + x³ – 3x²y + 3xy² – y³ = ( x – y )³

   + y² – xy = y( y – x ) = – y( x – y )

   ⇒ Mẫu thức chung là -y( x – y )³.

   Khi đó ta có:

   +

   +

   Bài 5: Thực hiện phép cộng các phân thức sau:

   

   

   

   Hướng dẫn:

   a) Ta có:

   + ⇒ MTC = 2x( x + 3 )

   Khi đó ta có:

   

   

   b) Ta có:

   

   

   c) Ta có:

   

   + ⇒ MTC = – ( x – 1 )( x² + x + 1 )

   Khi đó ta có:

   

   

   

   

   Bài 6: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức với x= 14 và y= -15

   Hướng dẫn:

   Ta có:

   

   

   Với x= 14 và y= -15 , ta có: 

   2. Vận dung – Vận dụng cao

   Bài 1: Rút gọn phân thức sau:

    

   Hướng dẫn:

   a) Ta có:

   

   b) Ta có: 

   

   

   Bài 2: Xác định giá trị a, b, c để

   Hướng dẫn:

   Ta có:

   

   

   

   

   Dùng phương pháp hệ số bất định, khi đó ta có hệ:

   

   Bài 3:

   a) Rút gọn biểu thức

   b) Xác định giá trị a, b để

   Hướng dẫn:

   a) Ta có:

   

   

   

   

   

   

   Vậy

   b) Ta có: 

   

   Áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có: 

   Vậy giá trị a, b cần tìm là a= 1/4, b= -1/4

   Bài 4:

   a) Xác định giá trị a, b để

   b) Áp dụng để rút gọn biểu thức sau:

   

   Hướng dẫn:

   a) Ta có:

   

   Áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có:

   Vậy giá trị a, b cần tìm là a= 1, b= -1

   b) Áp dụng kết quả của phần a, ta có:

   

   

   

   

   Bài 5: Xác định giá trị của a, b, c để

   Hướng dẫn:

   Ta có:

   

   

   Áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có:

   Vậy giá trị a, b, c cần tìm là a= 1, b= -1, c= 0.

   Bài 6: Cho biểu thức

   a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

   b) Rút gọn biểu thức.

   c) Tính giá trị của biểu thức tại

   Hướng dẫn:

   a) Giá trị của biểu thức xác định khi mỗi giá trị của phân thức trong biểu thức đều được xác định.

   Khi đó điều kiện xác định: x² – 10x ≠ 0,x² + 10x ≠ 0,x² + 4 ≠ 0

   + x² – 10x ≠ 0 ⇔ x( x – 10 ) ≠ 0 khi x ≠ 0 và x – 10 ≠ 0 hay x ≠ 0,x ≠ 10.

   + x² + 10x ≠ 0 ⇔ x( x + 10 ) ≠ 0 khi x ≠ 0 và x + 10 ≠ 0 hay x ≠ 0,x ≠ – 10.

   + x² + 4 > 0 với mọi giá trị của x.

   Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 0,x ≠ ± 10.

   b) Ta có: 

   

   

   

   

   Vậy 

   c) Với x = 20040, ta có: A = 10/20040 = 1/2004.

   Vậy A = 1/2004 khi x = 20040.

   Bài 7: Cho biểu thức

   a) Tìm điều kiện giác trị của x để giá trị của biểu thức xác định.

   b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì giá trị của nó không phụ thuộc vào biến x

   Hướng dẫn:

   a) Giá trị của biểu thức xác định khi mỗi giá trị của phân thức trong biểu thức đều được xác định.

   Khi đó điều kiện xác định là: 2x – 2 ≠ 0;x² – 1 ≠ 0;2x + 2 ≠ 0 hay x ≠ ± 1

   Vậy với x ≠ ± 1 thì giá trị của biểu thức xác định.

   b) Ta có: 

   

   

   ⇒ Giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x

   Bài 8: Tìm giá trị của x để

   Hướng dẫn:

   Điều kiện xác định: x² – 5x ≠ 0 ⇔ x( x – 5 ) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0,x ≠ 5.

   Ta có: (x³ – 10x² + 25x)/(x² – 5x) = 0 ⇔ x³ – 10x² + 25x = 0

   ⇔ x( x² – 10x + 25 ) = 0 ⇔ x( x – 5 )² = 0

   

   So sánh điều kiện, không có giá trị nào của x thỏa mãn.

   Vậy không có giá trị x nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

   Bài 9: Cho a³ + b³ + c³ = 3abc và a + b + c ≠ 0.Tính giá trị của biểu thức

   Hướng dẫn:

   Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc ⇔ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0

   ⇔ ( a + b )³ + c³ – 3ab( a + b ) – 3abc = 0

   ⇔ ( a + b )³ + c³ – 3ab( a + b + c ) = 0

   ⇔ ( a + b + c )³ – 3( a + b )c( a + b + c ) – 3ab( a + b + c ) = 0

   ⇔ ( a + b + c )( a² + b² + c² – ab – bc – ca ) = 0

   ⇒ a² + b² + c² – ab – bc – ca = 0 (vì a + b + c ≠ 0. )

   ⇔ a² + b² + c² = ab + bc + ca.

   Khi đó ta có:

   

   

   Vậy A= 1/3

   Bài 10: Rút gọn biểu thức

   Hướng dẫn:

   Xét biểu thức tổng quát:

   Khi đó ta có: 

   

   

   Vậy

4. Giải SGK Toán 8 Ôn tập chương 2 Đại số

   Giải bài tập Toán lớp 8 Ôn tập chương 2

   Trả lời câu hỏi giữa bài

   Câu hỏi 1 trang 61 Toán 8 Tập 1: Định nghĩa phân thức đại số. Một đa thức có phải là một phân thức đại số không? Một số thực bất kì có phải là một phân thức đại số không ?

   Lời giải

   – Định nghĩa phân thức đại số:

   Phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ trong đó A, B là những đa thức và B là đa thức khác 0. A là tử thức, B là mẫu thức.

   – Một đa thức được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

   – Một số thực a bất kì cũng là một phân thức đại số vì chúng có thể viết được dưới dạng $\frac{A}{B}$ với A = a và B = 1.

   Câu hỏi 2 trang 61 Toán 8 Tập 1: Định nghĩa hai phân thức đại số bằng nhau.

   Lời giải

   Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.

   Câu hỏi 3 trang 81 Toán 8 Tập 1: Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số.

   Lời giải

   Tính chất cơ bản của phân thức đại số:

   – Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:

   $\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$ (M là một đa thức khác 0)

   Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:

   $\frac{A}{B}=\frac{A.N}{B.N}$ (N là một nhân tử chung của hai đa thức A và B)

   Câu hỏi 4 trang 81 Toán 8 Tập 1: Nêu qui tắc rút gọn một phân thức đại số. Hãy rút gọn phân thức: $\frac{8x-4}{8x^3-1}.$

   Lời giải

   Qui tắc rút gọn một phân thức đại số.

   – Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

   – Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

   Rút gọn:

   $\frac{8x-4}{8x^3-1}=\frac{8x-4}{{\left(2x\right)}^3-1^3}=\frac{4\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(4x^2-2x+1\right)}=\frac{4}{4x^2-2x+1}.$

   Câu hỏi 5 trang 81 Toán 8 Tập 1: Muốn qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau làm thế nào?

   Hãy qui đồng mẫu thức của hai phân thức: $\frac{x}{x^2+2x+1}$ và $\frac{3}{5x^2-5}$.

   Lời giải

   – Muốn qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

   + Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

   + Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

   + Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

   – Quy đồng mẫu hai phân thức trên:

   Ta có: x² + 2x + 1 = (x + 1)² và 5x² – 5 = 5(x² – 1) = 5(x – 1)(x + 1)

   MTC: 5(x – 1)(x + 1)²

   Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là 5(x – 1):

   $\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x.5\left(x-1\right)}{5\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2}=\frac{5x^2-5x}{5\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2}.$

   Nhân tử phụ của phân thức thứ hai là x + 1:

   $\frac{3}{5x^2-5}=\frac{3}{5\left(x^2-1\right)}=\frac{3}{5\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{3\left(x+1\right)}{5\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2}=\frac{3x+3}{5\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2}.$

   Câu hỏi 6 trang 81 Toán 8 Tập 1: Phát biểu các qui tắc: Cộng hai phân thức cùng mẫu thức, cộng hai phân thức khác mẫu thức. Làm tính cộng: $\frac{3x}{x^3-1}+\frac{x-1}{x^2+x+1}.$

   Lời giải

   – Qui tắc cộng hai phân thức cùng mẫu:

   Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

   – Qui tắc cộng hai phân thức khác mẫu:

   Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

   – Làm tính cộng:

   $\begin{array}{l}\frac{3x}{x^3-1}+\frac{x-1}{x^2+x+1}\\ =\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\\ =\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{x^2-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\\ =\frac{3x+x^2-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\\ =\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\\ =\frac{1}{x-1}.\end{array}$

   Câu hỏi 7 trang 61 Toán 8 Tập 1: Hai phân thức như thế nào được gọi là hai phân thức đối nhau? Tìm phân thức đối của phân thức: $\frac{x-1}{5-2x}.$

   Lời giải

   – Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

   Phân thức đối của phân thức $\frac{x-1}{5-2x}$ là phân thức $-\frac{x-1}{5-2x}$ vì: 

   $\frac{x-1}{5-2x}+\left(-\frac{x-1}{5-2x}\right)=\frac{x-1}{5-2x}+\frac{-x+1}{5-2x}=\frac{x-1-x+1}{5-2x}=0$

   Câu hỏi 8 trang 61 Toán 8 Tập 1: Phát biểu qui tắc trừ hai phân thức đại số.

   Lời giải

   Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta cộng phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$.

   Câu hỏi 9 trang 81 Toán 8 Tập 1: Phát biểu qui tắc nhân hai phân thức đại số.

   Lời giải

   Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

   Câu hỏi 10 trang 81 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức: $\frac{A}{B}$ khác 0, viết phân thức nghịch đảo của nó.

   Lời giải

   Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ khác 0 là $\frac{B}{A}$

   Câu hỏi 11 trang 81 Toán 8 Tập 1: Phát biểu qui tắc chia hai phân thức đại số.

   Lời giải

   Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$.

   Câu hỏi 12 trang 81 Toán 8 Tập 1: Giả sử $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ là một phân thức của biến x. Hãy nêu điều kiện của biến để giá trị của phân thức được xác định.

   Lời giải

   Phân thức được xác định khi biến x thỏa mãn B(x) ≠ 0.

   Bài tập (trang 61, 62)

   Bài 57 trang 61 Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

   a) $\frac{3}{2x-3}$ và $\frac{3x+6}{2x^2+x-6};$

   b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}$.

   Lời giải

   a) Cách 1: Rút gọn biểu thức chưa tối giản:

   Ta có: $\frac{3x+6}{2x^2+x-6}=\frac{3\left(x+2\right)}{\left(2x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{3}{2x-3}.$

   Vậy $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

   Cách 2: Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

   Ta có: 2x² + x – 6 = (2x – 3)(x +2)

   MTC: (2x – 3)(x +2)

   Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là x + 2: $\frac{3}{2x-3}=\frac{3\left(x+2\right)}{\left(2x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

   Mẫu thức của phân thức thứ hai là MTC nên không phải quy đồng.

   Vậy $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

   Cách 3: Sử dụng định nghĩa

   Ta có: 

   3(2x² + x – 6) = 3.2x² + 3x – 3.6 = 6x² + 3x – 18;

   (2x – 3)(3x + 6) = 2x.3x + 2x.6 – 3.3x – 3.6

   = 6x² + 12x – 9x – 18 = 6x² + 3x – 18.

   Suy ra 3(2x² + x – 6) = (2x – 3)(3x + 6).

   Do đó $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

   Vậy $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

   b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}$.

   Cách 1: Rút gọn biểu thức chưa tối giản:

   Ta có: $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}=\frac{2x\left(x+3\right)}{x\left(x^2+7x+12\right)}$

   $=\frac{2x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{2}{x+4}.$

   Vậy $\frac{2}{x+4}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}.$

   Cách 2: Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

   Ta có: 

   x³ + 7x²  + 12x = x(x² + 7x + 12) = x(x + 3)(x + 4).

   MTC: x(x + 3)(x + 4).

   Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là x(x + 3): $\frac{2}{x+4}=\frac{2x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12}.$

   Mẫu thức của phân thức thứ hai là MTC nên không phải quy đồng.

   Vậy $\frac{2}{x+4}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}.$

   Cách 3: Sử dụng định nghĩa:

   Ta có: 2(x³ + 7x² + 12x) = 2x³ + 14x² + 24x;

   (x + 4)(2x² + 6x) = x.2x² + x.6x + 4.2x² + 4.6x

   = 2x³ + 6x² + 8x² + 24x = 2x³ + 14x² + 24x;

   Suy ra 2(x³ + 7x² + 12x) = (x + 4)(2x² + 6x).

   Vậy $\frac{2}{x+4}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}.$

   Bài 58 trang 62 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

   a)$\left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{4x}{10x-5};$

   b)$\left(\frac{1}{x^2+x}-\frac{2-x}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x}+x-2\right);$

   c)$\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\frac{1}{x^2-2x+1}+\frac{1}{1-x^2}\right).$

   Lời giải

   a) $\left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{4x}{10x-5}$

   $\begin{array}{l}=\left[\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{{\left(2x-1\right)}^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right]:\frac{4x}{5\left(2x-1\right)}\\ =\left[\frac{{\left(2x+1\right)}^2-{\left(2x-1\right)}^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right]:\frac{4x}{5\left(2x-1\right)}\\ =\left[\frac{\left(2x+1-2x+1\right)\left(2x+1+2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right]:\frac{4x}{5\left(2x-1\right)}\\ =\left[\frac{2.4x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right]:\frac{4x}{5\left(2x-1\right)}\\ =\frac{8x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}.\frac{5\left(2x-1\right)}{4x}\\ =\frac{8x.5\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right).4x}\\ =\frac{10}{2x+1}.\end{array}$

   b) $\left(\frac{1}{x^2+x}-\frac{2-x}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x}+x-2\right)$

   $\begin{array}{l}=\left(\frac{1}{x\left(x+1\right)}-\frac{x\left(2-x\right)}{x\left(x+1\right)}\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{x^2}{x}-\frac{2x}{x}\right)\\ =\left[\frac{1}{x\left(x+1\right)}-\frac{2x-x^2}{x\left(x+1\right)}\right]:\left(\frac{x^2-2x+1}{x}\right)\\ =\left[\frac{1-2x+x^2}{x\left(x+1\right)}\right]:\left(\frac{x^2-2x+1}{x}\right)\\ =\frac{x^2-2x+1}{x\left(x+1\right)}:\frac{x^2-2x+1}{x}\\ =\frac{x^2-2x+1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{x^2-2x+1}\\ =\frac{\left(x^2-2x+1\right).x}{x\left(x+1\right).\left(x^2-2x+1\right)}\\ =\frac{1}{x+1}.\end{array}$

   c) $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\frac{1}{x^2-2x+1}+\frac{1}{1-x^2}\right)$

   $\begin{array}{l}\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\frac{1}{x^2-2x+1}-\frac{1}{x^2-1}\right)\\ =\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left[\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]\\ =\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left[\frac{x+1}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}-\frac{x-1}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\right]\\ =\frac{1}{x-1}-\frac{x\left(x^2-1\right)}{x^2+1}.\left[\frac{x+1-x+1}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\right]\\ =\frac{1}{x-1}-\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2+1}.\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\\ =\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}-\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\frac{x^2+1-2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{x^2-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\\ =\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{x-1}{x^2+1}.\end{array}$

   Bài 59 trang 62 Toán 8 Tập 1: a) Cho biểu thức $\frac{xP}{x+P}-\frac{yP}{y-P}$. Thay $P=\frac{xy}{x-y}$ vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

   b) Cho biểu thức $\frac{P^2{Q}^2}{P^2-Q^2}$. Thay $\frac{P^2{Q}^2}{P^2-Q^2}$ và $Q=\frac{2xy}{x^2+y^2}$ vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

   Lời giải

   a) Thay $P=\frac{xy}{x-y}$ vào biểu thức ta được: $\frac{x.\frac{xy}{x-y}}{x+\frac{xy}{x-y}}-\frac{y.\frac{xy}{x-y}}{y-\frac{xy}{x-y}}$

   Ta có: 

   $\begin{array}{l}\frac{x.\frac{xy}{x-y}}{x+\frac{xy}{x-y}}-\frac{y.\frac{xy}{x-y}}{y-\frac{xy}{x-y}}\\ =\frac{\frac{x^{2}y}{x-y}}{\frac{x\left(x-y\right)}{x-y}+\frac{xy}{x-y}}-\frac{\frac{x{y}^2}{x-y}}{\frac{y\left(x-y\right)}{x-y}-\frac{xy}{x-y}}\\ =\frac{\frac{x^{2}y}{x-y}}{\frac{x^2-xy+xy}{x-y}}-\frac{\frac{x{y}^2}{x-y}}{\frac{xy-y^2-xy}{x-y}}\\ =\frac{\frac{x^{2}y}{x-y}}{\frac{x^2}{x-y}}-\frac{\frac{x{y}^2}{x-y}}{\frac{-y^2}{x-y}}\\ =\left(\frac{x^{2}y}{x-y}:\frac{x^2}{x-y}\right)-\left(\frac{x{y}^2}{x-y}:\frac{-y^2}{x-y}\right)\\ =\left(\frac{x^{2}y}{x-y}.\frac{x-y}{x^2}\right)-\left(\frac{x{y}^2}{x-y}.\frac{x-y}{-y^2}\right)\\ =y-\left(-x\right)=y+x\end{array}$

   b) Thay $P=\frac{2xy}{x^2-y^2}$ và $Q=\frac{2xy}{x^2+y^2}$ vào biểu thức trên ta được:

   $\begin{array}{l}\frac{{\left(\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)}^2.{\left(\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)}^2}{{\left(\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)}^2-{\left(\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)}^2}\\ =\frac{{\left(\frac{2xy}{x^2-y^2}.\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)}^2}{\left(\frac{2xy}{x^2-y^2}-\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)\left(\frac{2xy}{x^2-y^2}+\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)}\\ =\frac{{\left[\frac{2xy.2xy}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]}^2}{\left(\frac{2xy}{x^2-y^2}-\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)\left(\frac{2xy}{x^2-y^2}+\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)}\\ =\frac{{\left[\frac{4x^2{y}^2}{x^4-y^4}\right]}^2}{\left[\frac{2xy\left(x^2+y^2\right)-2xy\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\left[\frac{2xy\left(x^2+y^2\right)+2xy\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]}\\ =\frac{\frac{14x^4{y}^4}{\left(x^4-y^4\right)}}{\left(\frac{2x^{3}y+2x{y}^3-2x^{3}y+2x{y}^3}{x^4-y^4}\right)\left(\frac{2x^{3}y+2x{y}^3+2x^{3}y-2x{y}^3}{x^4-y^4}\right)}\\ =\frac{\frac{16x^4{y}^4}{\left(x^4-y^4\right)}}{\left(\frac{4x{y}^3}{x^4-y^4}\right)\left(\frac{4x^{3}y}{x^4-y^4}\right)}\\ =\frac{\frac{16x^4{y}^4}{\left(x^4-y^4\right)}}{\frac{16x^4{y}^4}{{\left(x^4-y^4\right)}^2}}=1\end{array}$

   Bài 60 trang 62 Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức: $\left(\frac{x+1}{2x-2}+\frac{3}{x^2-1}-\frac{x+3}{2x+2}\right).\frac{4x^2-4}{5}$

   a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

   b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thi nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

   Lời giải

   a) Cách 1: Biểu thức trên xác định khi tất cả các phân thức đều xác định

   + $\frac{x+1}{2x-2}$ xác định ⇔ 2x – 2 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 2 ⇔ x ≠ 1.

   + $\frac{3}{x^2-1}$ xác định ⇔ x² – 1 ≠ 0 ⇔ x² ≠ 1 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ -1.

   + $\frac{x+3}{2x+2}$ xác định ⇔ 2x + 2 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ -2 ⇔ x ≠ -1

   Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 1 và x ≠ -1.

   Cách 2: Tìm mẫu chung: 2(x – 1)(x + 1)

   Khi đó điều kiện của xác định của biểu thức là mẫu thức chung khác 0.

   Suy ra: $2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne 0\iff \left\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}\right.$

   Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 1 và x ≠ -1.

   b) $\left(\frac{x+1}{2x-2}+\frac{3}{x^2-1}-\frac{x+3}{2x+2}\right).\frac{4x^2-4}{5}$

   $\begin{array}{l}=\left[\frac{\left(x+1\right).\left(x+1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{3.2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right].\frac{4x^2-4}{5}\\ =\left[\frac{x^2+2x+1}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{6}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x^2+2x-3}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right].\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\\ =\left[\frac{x^2+2x+1+6-x^2-2x+3}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right].\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\\ =\frac{10}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\\ =\frac{10.4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2.5\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\\ =4\end{array}$

   Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

   Bài 61 trang 62 Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức

   $\left(\frac{5x+2}{x^2-10x}+\frac{5x-2}{x^2+10x}\right).\frac{x^2-100}{x^2+4}$ được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại x = 20 040.

   Lời giải

   + Tìm điều kiện xác định:

   Biểu thức xác định khi tất cả các phân thức đều xác định.

   $\frac{5x+2}{x^2-10x}$ xác định ⇔ x² – 10x ≠ 0

   ⇔ x(x – 10) ≠ 0

   ⇔ x ≠ 0 và x – 10 ≠ 0

   ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 10

   $\frac{5x-2}{x^2+10x}$ xác định ⇔ x² + 10x ≠ 0

   ⇔ x(x + 10) ≠ 0

   ⇔ x ≠ 0 và x + 10 ≠ 0

   ⇔ x ≠ 0 và x ≠ -10

   $\frac{x^2-100}{x^2+4}$ luôn xác định vì x² + 4 > 0 với mọi $x\in ℝ$.

   Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 0, x ≠ 10 và x ≠ – 10.

   + Rút gọn biểu thức:

   $\begin{array}{l}\left(\frac{5x+2}{x^2-10x}+\frac{5x-2}{x^2+10x}\right).\frac{x^2-100}{x^2+4}\\ =\left[\frac{\left(5x+2\right)\left(x+10\right)}{x\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{\left(5x-2\right)\left(x-10\right)}{x\left(x-10\right)\left(x+10\right)}\right].\frac{x^2-{10}^2}{x^2+4}\\ =\left[\frac{5x^2+52x+20}{x\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{5x^2-52x+20}{x\left(x-10\right)\left(x+10\right)}\right].\frac{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}{x^2+4}\\ =\frac{10x^2+40}{x\left(x-10\right)\left(x+10\right)}.\frac{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}{x^2+4}\\ =\frac{10\left(x^2+4\right)\left(x-10\right)\left(x+10\right)}{x\left(x-10\right)\left(x+10\right)\left(x^2+4\right)}\\ =\frac{10}{x}.\end{array}$

   Thay x = 20040 vào biểu thức rút gọn, ta được: $\frac{10}{20040}=\frac{1}{2004}.$

   Bài 62 trang 62 Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị của x để biết giá trị của phân thức $\frac{x^2-10x+25}{x^2-5x}$ bằng 0.

   Lời giải

   + Điều kiện xác định:

   x² – 5x ≠ 0 ⇔ x(x – 5) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 5.

   + Ta có:

   $\frac{x^2-10x+25}{x^2-5x}=0$

   ⇒ x² – 10x + 25 = 0

   ⇔ (x – 5)² = 0

   ⇔ x – 5 = 0

   ⇔ x = 5 (Không thỏa mãn điều kiện xác định).

   Vậy không có giá trị nào của x để giá trị phân thức trên bằng 0.

   Bài 63 trang 62 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:

   a)$\frac{3x^2-4x-17}{x+2}$

   b)$\frac{x^2-x+2}{x-3}$

   Lời giải

   a)$\frac{3x^2-4x-17}{x+2}$

   $=\frac{3x^2+6x-10x-17}{x+2}$

    (Tách -4x = 6x – 10x để nhóm với 3x² xuất hiện x + 2)

   $\begin{array}{l}=\frac{3x^2+6x-10x-20+3}{x+2}\\ =\frac{3x\left(x+2\right)-10\left(x+2\right)+3}{x+2}\\ =\frac{3x\left(x+2\right)}{x+2}-\frac{10\left(x+2\right)}{x+2}+\frac{3}{x+2}\\ =3x-10+\frac{3}{x+2}\end{array}$

   Vì $x\in \mathbb{Z}$ để $3x-10+\frac{3}{x+2}\in \mathbb{Z}$ ⇔ x + 2 ∈ Ư(3) = {1; -1; 3; -3}

   + x + 2 = 1 ⇔ x = -1

   + x + 2 = -1 ⇔ x = -3

   + x + 2 = 3 ⇔ x = 1

   + x + 2 = -3 ⇔ x = -5

   Vậy với x = 1; x = -1; x = -3 hoặc x = -5 thì phân thức có giá trị nguyên.

   b) $\frac{x^2-x+2}{x-3}$

   Có thể thực hiện phân tích tử thức như ý a) hoặc làm theo cách dưới đây:

   Thực hiện chia x² – x + 2 cho x – 3, ta được:

   

   Khi đó ta có x² – x + 2 = (x – 3)(x + 2) + 8

   $\Rightarrow \frac{x^2-x+2}{x-3}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)+8}{x-3}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{x-3}+\frac{8}{x-3}=x+2+\frac{8}{x-3}$

   Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên để $\frac{x^2-x+2}{x-3}\in \mathbb{Z}$ thì  $\frac{8}{x-3}\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ x – 3 ∈ Ư(8) = {-1; 1; 2; -2; 4; -4; 8; -8}.

   + x – 3 = 1 ⇔ x = 4

   + x – 3 = -1 ⇔ x = 2

   + x – 3 = 2 ⇔ x = 5

   + x – 3 = -2 ⇔ x = 1

   + x – 3 = 4 ⇔ x = 7

   + x – 3 = -4 ⇔ x = -1

   + x – 3 = 8 ⇔ x = 11

   + x – 3 = -8 ⇔ x = -5.

   Vậy với x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11} thì giá trị phân thức là số nguyên.

   Bài 64 trang 62 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của phân thức trong bài tập 62 tại x = 1,12 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thức ba.

   Lời giải

   Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ 5.

   $\frac{x^2-10x+25}{x^2-5x}=\frac{x^2-2.x.5+5^2}{x\left(x-5\right)}=\frac{{\left(x-5\right)}^2}{x\left(x-5\right)}=\frac{x-5}{x}.$

   Thay x = 1,12 vào biểu thức đa rút gọn, ta được:

   $\frac{1,12-5}{1,12}\approx -3,464.$

5. Sách bài tập Toán 6 (Kết nối tri thức) Ôn tập chương 2 trang 45, 46

   Giải SBT Toán lớp 6 Ôn tập chương 2 trang 45, 46

   Câu hỏi (Trắc Nghiệm)

   • Bài 1 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

     (A) Một số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3;

     (B) Nếu hai số đều chia hết cho 9 thì tổng của hai số đó cũng chia hết cho 9;

     (C) Nếu hai số đều không chia hết cho 9 thì tổng của hai số đó cũng không chia hết cho 9;

     (D) Một số chẵn thì luôn chia hết cho 2.

     Lời giải:

     Xét đáp án C. 

     Ta lấy 1 ví dụ hai số đều không chia hết cho 9 là: 2 và 16

     Nhưng tổng hai số là 2 + 16 = 18 chia hết cho 9.

     Do đó khẳng định (C) là sai.

     Bài 2 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Số nào trong các số sau là số nguyên tố?

     (A) 2 020;     (B) 1 143;      (C) 3 576;     (D) 461.

     Lời giải:

     

     Cách 1: Tra bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000 ta thấy 461 là số nguyên tố.

     Cách 2: 

     (A) Vì 2 020 có chữ số tận cùng là 0 nên 2020 ⁝ 2 do đó 2 020 là hợp số.

     (B) Vì 1 143 có tổng các chữ số 1 + 1 + 4 + 3 = 9, vì 9 ⁝ 3 nên 1 143 là hợp số.

     (C) Vì 3 576 có tổng các chữ số 3 + 5 + 7 + 6 = 21, vì 21 ⁝ 3 nên 3 576 là hợp số.

     Bài 3 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Số nào trong các số sau không là số nguyên tố?

     (A) 17;           (B) 97;

     (C) 2 335;      (D) 499.

     Lời giải:

     Vì 2 335 có chữ số tận cùng là 5 nên 2 335 chia hết cho 5. Nên ngoài hai ước là 1 và 2 335 còn có thêm ước là 5. Do đó 2 335 không là số nguyên tố.

     Đáp án cần chọn là: C

     Bài 4 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Trong các số sau, số nào chia hết cho 9?

     (A) 2 549;      (B) 1 234;

     (C) 7 895;       (D) 9 459.

     Lời giải:

     (A). 2 549 có tổng các chữ số 2 + 5 + 4 + 9 = 20 ⋮̸ 9 nên 2 549 ⋮̸  9

     (B). 1 234 có tổng các chữ số 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ⋮̸ 9 nên 1 234 ⋮̸  9

     (C). 7 895 có tổng các chữ số 7 + 8 + 9 + 5 = 29 ⋮̸ 9 nên 7 895 ⋮̸  9

     (D) 9 459 có tổng các chữ số 9 + 4 + 5 + 9 = 27 ⁝ 9 nên 9 459 ⁝ 9

     Đáp án cần chọn là: D

     Bài 5 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Trong các số sau, số nào chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 5?

     (A) 23 454;              (B) 34 515;

     (C) 54 321;              (D) 93 240.

     Lời giải:

     Trong các số trên các số không chia hết cho 5 là: 23 454 và 54 321 vì không có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

     +) 23 454 có tổng các chữ số 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 18 ⁝ 9 nên 23 454 ⁝ 9

     +) 54 321 có tổng các chữ số 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 ⋮̸ 9 nên 54 321 ⋮̸ 9

     Đáp án cần chọn là: A

     Bài 6 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

     (A) Ước chung của hai số tự nhiên a và b là ước của ước chung lớn nhất của chúng;

     (B) Bội chung của hai số tự nhiên a và b là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng;

     (C) ƯCLN(a, b) là ước của BCNN(a, b);

     (D) Nếu a không chia hết cho c và b không chia hết cho c thì BCNN(a; b) cũng không chia hết cho c.

     Lời giải:

     (D) Ta có: 5 không chia hết cho 10

                        4 không chia hết cho 10

     BCNN(4; 5) = 20 nhưng lại chia hết cho 10. Do đó khẳng định D là sai.

     Đáp án cần chọn là: D

   • Bài tập

     Bài 2.56 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Các tổng sau là số nguyên tố hay hợp số?

     a) 2. 7. 12 + 49. 53;

     b) 3. 4. 5 + 2 020. 2 021. 2 022.

     Lời giải:

     a) Vì 7 ⁝ 7 nên (2. 7. 12) ⁝ 7

                 49  7 nên (49. 53) ⁝ 7

     Do đó (2. 7. 12 + 49. 53) ⁝ 7 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng)

     Nên ngoài hai ước là 1 và chính nó, tổng trên còn có thêm ước là 7.

     Vậy tổng trên là hợp số.

     b) Vì 4 ⁝ 4 nên (3. 4. 5) ⁝ 4

                 2 020 ⁝ 4 nên (2 020. 2 021. 2 022) ⁝ 4

     Do đó (3. 4. 5 + 2 020. 2 021. 2 022) ⁝ 4 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng)

     Nên ngoài hai ước là 1 và chính nó, tổng trên còn có thêm ước là 4.

     Vậy tổng trên là hợp số.

     Bài 2.57 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Thực hiện phép tính rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:

     a) 12² : 6 + 2.7; 

     b) 5.4² – 36 : 3²

     Lời giải:

     a) 12² : 6 + 2.7

     = 144: 6 + 14

     = 24 + 14

     = 38

     

     Vậy 38 = 2. 19

     b) 5.4² – 36 : 3²

     = 5. 16 – 36: 9

     = 80 – 4

     = 76

     

     Vậy 76 = 2².19

     Bài 2.58 trang 45 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Số học sinh khối lớp 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 300 học sinh, khi xếp thành các hàng 10; 12 và 15 người đều thừa 5 em. Tính số học sinh khối lớp 6.

     Lời giải:

     Gọi x là số học sinh khối lớp 6 của trường (học sinh; x ∈ N, 200 ≤ x ≤ 300)

     Khi xếp thành hàng 10 thừa 5 em thì x chia 10 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 10

     Khi xếp thành hàng 12 thừa 5 em thì x chia 12 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 12

     Khi xếp thành hàng 15 thừa 5 em thì x chia 15 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 15

     Do đó (x – 5) là bội chung của 10; 12 và 15

     Ta có: 10 = 2. 5;    12 = 2².3;    15 = 3. 5

     BCNN(10; 12; 15) = 2².3.5 = 60

     Khi đó (x – 5) ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360;…}

     Ta có bảng sau:

     x – 5	0	60	120	240	300	360
     x	5	65	125	245	305	365

     Vì số học sinh trong trường khoảng từ 200 đến 300 học sinh nên 200 ≤ x ≤ 300. 

     Do đó x = 245

     Vậy số học sinh trong trường là 245 em.

     Bài 2.59 trang 46 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Cho A = 27 220 + 31 005 + 510. Không thực hiện phép tính, hãy xét xem A có:

     a) chia hết cho 2 không?

     b) chia hết cho 5 không?

     c) Chia hết cho 3 không?

     d) chia hết cho 9 không?

     Lời giải:

     a) Vì 27 220 ⁝ 2; 510 ⁝ 2 nhưng 31 005 ⋮̸ 2 nên tổng (27 220 + 31 005 + 510) ⋮̸ 2 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng) hay A ⋮̸ 2

     Vậy A không chia hết cho 2.

     b) Vì 27 220 ⁝5;   31 005 ⁝ 5;  510 ⁝ 5 nên tổng (27 220 + 31 005 + 510) ⁝ 5 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng) hay A ⁝ 5

     Vậy A chia hết cho 5.

     c) Vì 31 005 ⁝ 3; 510 ⁝ 3 nhưng 27 220 ⋮̸ 3 nên tổng (27 220 + 31 005 + 510) ⋮̸ 3 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng) hay A ⋮̸ 3.

     Vậy A không chia hết cho 3.

     d) Vì A không chia hết cho 3 nên A cũng không chia hết cho 9.

     Bài 2.60 trang 46 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Hai số có BCNN là 2³.3⁴.5³ và ƯCLN là 3².5. Biết một trong hai số là 2³.3².5, tìm số còn lại.

     Lời giải:

     Ta có tích của hai số cần tìm chính là tích của ƯCLN và BCNN của hai số đó.

     Gọi hai số đó là a và b.

     Ta có: a. b = ƯCLN(a, b). ƯCLN(a, b)

     Mà ƯCLN(a, b) = 3².5; BCNN(a, b) = 2³.3⁴.5³

     Do đó: a. b = (3².5). (2³.3⁴.5³) = 2³.(3².3⁴).(5.5³) = 2³.3⁶.5⁴

     Biết một trong hai số là 2³.3².5, ta giả sử a = 2³.3².5

     Khi đó: (2³.3².5). b = 2³.3⁶.5⁴

                               b = (2³.3⁶.5⁴): (2³.3².5)

                               b = (2³ : 2³).(3⁶ : 3²).(5⁴ : 5)

                                b = 3^6-2.5^4-1

                                b = 3⁴.5³

     Vậy số còn lại là 3⁴.5³.

     Bài 2.61 trang 46 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Nếu ta nhân số 12 345 679 với một số a bất kì có một chữ số, rồi nhân kết quả đó với 9 thì ta được số có 9 chữ số, mỗi chữ số đều là a, chẳng hạn khi a = 3 thì

     12 345 679. 3 = 37 037 037;

     37 037 037. 9 = 333 333 333.

     Em hãy giải thích tại sao.

     Lời giải:

     Ta nhân số 12 345 679 với một số a bất kì có một chữ số, rồi nhân kết quả đó với 9, ta được: 12 345 679. a. 9 = (12 345 679. 9). a 

     +) Ta có: 12 345 679. 9 = 12 345 679. (10 – 1) = 12 345 679. 10 – 12 345 679. 1

      = 123 456 790 – 12 345 679 = 111 111 111

     Do đó: 12 345 679. a. 9 = (12 345 679. 9). a = 111 111 111. a = (do a có một chữ số)

     Bài 2.62 trang 46 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Tìm các số tự nhiên n sao cho 6 ⁝ (n+1).

     Lời giải:

     Vì  nên (n + 1) ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6}

     Ta có bảng sau:

     n + 1	1	2	3	6
     n	0	1	2	5

     Vì n là số tự nhiên nên n ∈ {0; 1; 2; 5}

     Vậy n ∈ {0; 1; 2; 5}.

     Bài 2.63 trang 46 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Biết hai số 2³.3^a và 2^b.3⁵ có ước chung lớn nhất là 2².3⁵ và bội chung nhỏ nhất là 2³.3⁶. Hãy tìm giá trị của các số tự nhiên a và b.

     Lời giải:

     Gọi x = 2³.3^a  và y = 2^b.3⁵

     Ta có tích của hai số là tích của ƯCLN và BCNN của hai số đó.

     Ta có: x. y = ƯCLN(x, y). BCNN(x, y)

     Vì ước chung lớn nhất của hai số là   và bội chung nhỏ nhất của hai số là 2³.3⁶.

     

     Vì thế 3 + b = 5. Suy ra b = 5 – 3 = 2

              a + 5 = 11. Suy ra a = 11 – 5 = 6

     Vậy a = 6; b = 2.

     Bài 2.64 trang 46 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

     

     Lời giải:

     a) Ta có 14 = 2. 7;     21 = 3. 7

     BCNN(14, 21) = 2. 3. 7 = 42

     Ta có thể chọn mẫu chung của hai phân số  là 42

     Khi đó:

     

     b)

     Ta có: 15 = 3. 5;                12 = 2².3

     BCNN(15, 12) = 2².3.5 = 60

     Ta có thể chọn mẫu chung của hai phân số  là 60

     Khi đó: