20 Bài tập Phân thức đại số (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Phân thức đại số

A. Bài tập Phân thức đại số

Bài 1. Trong các biểu thức sau biểu thức nào là phân thức?

$\frac{\sqrt{x}-2}{2\text{x}+3};\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5.$

Hướng dẫn giải

Trong các biểu thức trên có $\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5$là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{\text{x}}-2}{2\text{x}+3}$không phải là phân thức vì $\sqrt{\text{x}}$không phải là đa thức.

Bài 2. Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) x² + 3y – 1;

b) $\frac{2\text{x}+7}{5\text{x}-15}$

Hướng dẫn giải

a) Phân thức x² + 3y – 1 xác định với mọi giá trị của x.

b) Phân thức $\frac{2\text{x}+7}{5\text{x}-15}$xác định khi 5x – 15 ≠ 0 hay x ≠ 3.

Bài 3. Tìm giá trị của phân thức:

a) $\text{A}=\frac{2\text{x}-y}{4x^2-y^2}$ tại x = 5, y = 2;

b) $B=\frac{6{\text{x}}^2+12x+6}{x+1}$ tại x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức A là 4x² – y² ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn 4x² – y² ≠ 0)

Ta có 

Khi x = 5, y = 2 thì 4x² – y² = 96 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định nên ta có:

$A=\frac{1}{2.5+2}=\frac{1}{12}.$

b) Điều kiện xác định của phân thức B là x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Ta có 

Khi x = 3 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có:

B = 6 . (3 + 1) = 6 . 4 = 24.

Bài 4. Hai phân thức $\frac{a^{3}b+a{b}^3}{ab(a-b)}$ và $\frac{a^2+b^2}{a-b}$ có bằng nhau không?

Hướng dẫn giải

Ta có:

•(a³b + ab³) . (a – b) = a³b(a – b) + ab³(a – b) = a⁴b – a³b² + a²b³ – ab⁴

•ab(a – b) . (a² + b²) = (a²b – ab²) . (a² + b²)

= a²b(a² + b²) – ab²(a² + b²)

= a⁴b + a²b³ – a³b² – ab⁴

Do đó (a³b + ab³) . (a – b) = ab(a – b) . (a² + b²)

Vậy $\frac{a^{3}b+a{b}^3}{ab(a-b)}=\frac{a^2+b^2}{a-b}.$

Bài 5. Rút gọn phân thức sau:

a) $\frac{6\text{a}{b}^3{c}^2}{12{\text{a}}^{2}bc}$.

b) $\frac{5{\text{x}}^5-5\text{x}}{x^2+1}$.

Hướng dẫn giải

Bài 6. Rút gọn phân thức sau:

a) $\frac{36x{y}^2}{16x^2{y}^3}$;

b) $\frac{6x-3y}{4x^2-y}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{36x{y}^2}{16x^2{y}^3}=\frac{9.4x{y}^2}{14xy.4x{y}^2}=\frac{9}{4xy}$;

b) $\frac{6x-3y}{4x^2-y^2}=\frac{3\left(2x-y\right)}{\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}=\frac{3}{\left(2x+y\right)}$

Bài 7. Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{3}{x+2y}$ và $\frac{-1}{x-2y}$;                         

b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2}{x^2-16}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MTC là: (x + 2y)(x – 2y) .

$\frac{3}{x+2y}=\frac{3.\left(x-2y\right)}{\left(x+2y\right)\left(x-2y\right)}=\frac{3x-6y}{x^2-4y^2}$;

$\frac{-1}{x-2y}=\frac{3}{x+2y}=\frac{-1.\left(x+2y\right)}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}=\frac{-x+2y}{x^2-4y^2}$.

b) Ta có: x² – 16 = (x – 4)(x + 4) .

Chọn MTC là (x – 4)(x + 4).

$\frac{2}{x+4}=\frac{2\left(x-4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=\frac{2x-8}{x^2-16}$; $\frac{2}{x^2-16}$.

Bài 8. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) $\frac{2x}{5x+5}$;

b) $\frac{7x}{y^2+4}$;   

c) $\frac{x-1}{x+1}$;                

d) $\frac{x+y}{x-y}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{2x}{5x+5}$ là 5x + 5 ≠ 0 hay 5x ≠ −5 hay x ≠ −1 .

b) Điều kiện xác định của phân thức$\frac{7x}{y^2+4}$ là: y² + 4 ≠  0 (luôn đúng vì y² + 4 > 0 với mọi y).

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-1}{x+1}$ là: x + 1 ≠ 0 hay x  ≠ −1.

d) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$  là x – y ≠ 0 hay x ≠ y.

B. Lý thuyết Phân thức đại số

1. Khái niệm về phân thức đại số

1.1. Định nghĩa

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{P}{Q}$, trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.

P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Ví dụ:

$\frac{2x+3}{x-1}$ là một phân thức đại số vì 2x + 3 và x – 1 là các đa thức và đa thức x – 1 khác đa thức 0.

$\frac{\frac{2}{x}}{x+1}$ không là một phân thức đại số vì biểu thức $\frac{2}{x}$ không phải là đa thức.

Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức.

1.2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C, viết là $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$.

Ví dụ:

$\frac{x+2}{2x+4}=\frac{1}{2}$ vì (x + 2) . 2 = 2x + 4 và (2x + 4).1 = 2x + 4  nên (x + 2) . 2 = (2x + 4).1

2. Tính chất cơ bản của phân thức

2.1. Tính chất cơ bản

– Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{P}{Q}=\frac{P.M}{Q.M}$  với M là một đa thức khác đa thức 0.

– Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

 $\frac{P}{Q}=\frac{P:N}{Q:N}$ với N là một nhân tử chung của P và Q.

Ví dụ:

$\frac{x}{x+2}=\frac{x.3x}{\left(x+2\right).3x}=\frac{3x^2}{3x^2+6x}$

$\frac{20x^3}{4x\left(x-1\right)}=\frac{20x^3:4x}{4x\left(x-1\right):4x}=\frac{5x^2}{x-1}$

2.2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của của chúng để được phân thức mới (đơn giản hơn) thì cách làm đó được gọi là rút gọn phân thức.

Nhận xét: Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ: $\frac{x^2+3x}{x^2+6x+9}=\frac{x\left(x+3\right)}{{\left(x+3\right)}^2}=\frac{x}{x+3}$.

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Khi biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới bằng chúng và có cùng mẫu thức thì cách biến đổi đó được gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Nhận xét:

+ Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

+ Muốn quy đồng mẫu thức thành nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm MTC.

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu).

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{1}{4x+6};\frac{3}{4x-6};\frac{2}{4x^2-9}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: 4x + 6 = 2(2x + 3);

4x – 6 = 2(2x – 3);

4x² – 9 = (2x + 3)(2x – 3).

Chọn MTC là: 2(2x + 3)(2x – 3)

Vậy    $\frac{1}{4x+6}=\frac{1}{2\left(2x+3\right)}=\frac{2x-3}{2\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}$;

          $\frac{3}{4x-6}=\frac{3}{2\left(2x-3\right)}=\frac{3\left(2x+3\right)}{2\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}$;

          $\frac{2}{4x^2-9}=\frac{2}{\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)}=\frac{4}{2\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}$.

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

– Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điểu kiện xác định của phân thức.

Ví dụ:

Điều kiện của phân thức $\frac{2x}{x-1}$ là x – 1 ≠ 0  hay x ≠ 1 .

– Cho phân thức $\frac{P}{Q}$. Giá trị của biểu thức $\frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến sao cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức $\frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến đó.

Ví dụ:

Tính giá trị của phân thức $\frac{2x}{x-1}$ với điều kiện x – 1 ≠ 0  tại x = 2.

Thay x = 2 vào phân thức $\frac{2x}{x-1}$ ta được: $\frac{2.2}{2-1}=\frac{4}{1}=4$.

Nhận xét:

Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.

Video bài giảng Toán 8 Phân thức đại số – Chân trời sáng tạo