Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Tài liệu Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông gồm các nội dung chính sau:

I. Phương pháp giải
– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn;
– 3 trường hợp đồng dạng của tam giác vuông và phương pháp giải chi tiết từng dạng bài tập.
II. Một số ví dụ
– gồm 8 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.
III. Bài tập vận dụng
– gồm 18 bài tập vận dụng (18 bài có đáp án và có lời giải chi tiết) giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông) .

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (ảnh 1)

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

I. Phương pháp giải

1. Hai tam giác vuông đồng dạng nếu:

– Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia;

– Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia;

– Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

2. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác vuông đồng dạng.

– Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

– Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số động dạng.

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CK. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC hai tam giác ACE và CBF tương ứng vuông góc tại E; F và thỏa mãn $\hat{A C E} = \hat{C B A}; \hat{B C F} = \hat{C A B}$ . Chứng minh rằng: $C K^{2} = A E . B F$ .

Giải

* Tìm cách giải. Để chứng minh $C K^{2} = A E . B F$ chúng ta không thể vận dụng định lý Ta-lét hay xét một cặp tam giác đồng dạng là xong ngay được. Do vậy, chúng ta suy luận để tạo ra $C K^{2}$ , chúng ta cần ghép CK vào hai cặp tam giác đồng dạng. Mỗi cặp tam giác đồng dạng đó đều biểu thị CK dưới dạng biểu thức (chứa AE hoặc BF). Dễ dạng nhận thấy có hai cặp tam giác đồng dạng thỏa mãn điều kiện trên.

* Trình bày lời giải

$Δ A C K$ và $Δ C B F$ có $\hat{C K A} = \hat{B F C} = 90 °; \hat{C A K} = \hat{B C F}$ :

∆ACK # ∆CBF (g.g) $\Rightarrow \frac{C K}{C A} = \frac{B F}{B C}$ (1).

Tương tự, ta có: ∆BCK # ∆CAE (g.g)

$\Rightarrow \frac{C K}{C B} = \frac{A E}{A C}$ (2)

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được:

. $\frac{C K}{C A} . \frac{C K}{C B} = \frac{B F}{B C} . \frac{A E}{A C} \Rightarrow C K^{2} = A E . B F$

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABDC (AC > BD) vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông góc với AD tại F. Chứng minh rằng: $A B . A E + A D . A F = A C^{2}$ .

Giải

*Tìm cách giải. Để chứng minh $A B . A E + A D . A F = A C^{2}$ , ta có vế trái là một tổng nên vế phải cần tách ra một tổng: $A B . A E + A D . E F = A C . x + A C . y$ với $x + y = A C$ . Do vậy ta chọn điểm H thuộc AC khi đó $x = A H, y = H C$ và chứng minh $A B . A E = A C . A H, A D . E F = A C . C H$ . Từ đó chúng ta chỉ cần chọn điểm H sao cho ∆ABH # ∆ACE là xong. Nhận thấy tam giác ACE vuông tại E, nên tất yếu cần kẻ BH vuông góc với AC.

* Trình bày lời giải

Vẽ $B H ⊥ A C (H \in A C)$

Xét $Δ A B H$ và $Δ A C E$ có $\hat{A B H} = \hat{A E C} = 90 °; \hat{B A C}$ chung.

Suy ra $Δ A B H$ # $Δ A C E$ (g.g)

. $\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A H}{A E} \Rightarrow A B . A E = A C . A H$ (1)

Xét $Δ C H B$ và $Δ C A F$ có $\hat{B C H} = \hat{C A F}$ (so le trong); $\hat{C H B} = \hat{C F A} (= 90 °)$

Suy ra $Δ C H B$ # $Δ C A F$ (g.g) $\Rightarrow \frac{B C}{A C} = \frac{C H}{A F} \Rightarrow B C . A F = A C . C H$ (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:

$A B . A E + B C . A F = A C . A H + A C . C H \Rightarrow A B . A E + A D . A F = A C (A H + C H) = A C^{2}$

Xem thêm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy