Giải SGK Toán 8 Bài 3: Thể tích của hình hộp chữ nhật

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Thể tích của hình hộp chữ nhật

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 101 SGK Toán toán 8 Tập 2: Quan sát hình hộp chữ nhật (h.84):

– A’A có vuông góc với AD hay không ? Vì sao ?

– A’A có vuông góc với AB hay không ? Vì sao ?

Lời giải:

– A’A có vuông góc với AD vì là hai cạnh kề nhau của hình chữ nhật AA’D’D

– A’A có vuông góc với AB vì là hai cạnh kề nhau của hình chữ nhật AA’B’B

Câu hỏi 2 trang 102 SGK Toán lớp 8 Tập 2: Tìm trên hình 84 các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Ở hình 84:

– Đường thẳng AB có nằm trong mặt phẳng (ABCD) hay không ? Vì sao ?

– Đường thẳng AB có vuông góc với mặt phẳng (ADD’A’) hay không ? Vì sao ?

Lời giải:

– Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) : AA’, BB’, CC’, DD’

– Đường thẳng AB có nằm trong mặt phẳng (ABCD) vì hai điểm A, B thuộc mặt phẳng (ABCD)

– Đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AD và AA’ của mặt phẳng (ADD’A’) nên AB vuông góc với mặt phẳng (ADD’A’).

Câu hỏi 3 trang 102 SGK Toán lớp 8 Tập 2: Tìm trên hình 84 các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’D’)

Lời giải:

Các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’D’): (AA’B’B), (BB’C’C), (CC’D’D), (DD’A’A).

Bài tập (trang 103; 104; 105)

Bài 10 trang 103 SGK Toán lớp 8 tập 2: 1) Gấp hình 87a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật hay không?

2) Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như 87b.

a) Đường thẳng BF vuông góc với những mặt phẳng nào?

b) Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau, vì sao?

Lời giải:

1. Gấp hình 33.a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật.

2. a) Trong hình hộp ABCD.EFGH thì:

+) BF vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau EF và FG của mặt phẳng (EFGH) nên BF vuông góc với mặt phẳng (EFGH).

+) BF vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB và BC của mặt phẳng (ABCD) nên BF vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau vì mặt phẳng (AEHD) chứa đường thẳng EH vuông góc với mặt phẳng (CGHD).

Bài 11 trang 104 SGK Toán lớp 8 tập 2: a) Tính các kích thước của một hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tích của hình hộp này là 480cm³.

b) Diện tích toàn phần của một hình lập phương là 486m². Thể tích của nó là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

a) Vì a, b, c tỉ lệ với 3; 4; 5 nên  ta có:

$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=t(\text{}t>0)$

Suy ra: a = 3t; b = 4t; c = 5t.

Vì thể tích hình hộp là 480cm³ nên a.b.c = 480  

Hay 3t.4t .5t = 480

$\iff 60t^3=480\iff t^3=8\iff t=2$

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là: 6cm; 8cm; 10cm.

b) Hình lập phương là hình có 6 mặt bằng nhau. Mỗi mặt là hình vuông.

Diện tích mỗi mặt là: 486 : 6 = 81 m²

Suy ra độ dài mỗi cạnh là: $\sqrt{81}=9m$.

Thể tích hình lập phương là: V = 9³ = 729 (m³ ).

Bài 12 trang 104 SGK Toán lớp 8 tập 2: A, B, C và D là những đỉnh của hình hộp chữ nhật cho ở hình 88. Hãy điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

AB	6	13	14
BC	15	16		34
CD	42		70	62
DA		45	75	75

Kết quả bài 12 minh họa công thức quan trọng $DA\text{}=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2}$

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh hệ thức: DA² = AB² + BC² + CD².

+ Vì ΔBCD vuông tại C suy ra: BD² = BC² + CD² (định lý Py – ta – go)

+ Vì ΔABD vuông tại B suy ra: AD² = AB² + BD² (định lý Py – ta – go)

Mà BD² = BC² + CD² ⇒ AD² = AB² + BC² + CD² .

Vậy AD² = AB² + BC² + CD² .

Áp dụng hệ thức trên để tính các cạnh còn thiếu trong bảng ta có:

+ Cột 1: AB = 6; BC = 15; CD = 42

⇒ AD² = AB² + BC² + CD² = 6² + 15² + 42² = 2025

⇒ AD = 45.

+ Cột 2: AB = 13; BC = 16; AD = 45

⇒ CD² = AD² – AB² – BC² = 45² – 13² – 16² = 1600

⇒ CD = 40.

+ Cột 3: AB = 14; CD = 70; DA = 75

⇒ BC² = DA² – CD² – AB² = 75² – 70² – 14² = 529

⇒ BC = 23

+ Cột 4: BC = 34; CD = 62; DA = 75

⇒ AB² = DA² – BC² – CD² = 75² – 34² – 62² = 625

⇒ AB = 25.

Vậy ta có kết quả như bảng sau:

AB	6	13	14	25
BC	15	16	23	34
CD	42	40	70	62
DA	45	45	75	75

Bài 13 trang 104 SGK Toán lớp 8 tập 2: a) Viết công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (h.89).

b) Điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

Chiều dài	22	18	15	20
Chiều rộng	14
Chiều cao	5	6	8
Diện tích đáy		90		260
Thể tích			1320	2080

Lời giải:

a) Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ là:

   V = NM.NP.NB

b) Ta có công thức:

Thể tích = chiều dài $\times$chiều rộng $\times$ chiều cao.

Diện tích một đáy = chiều dài $\times$ chiều rộng.

+ Cột 1: Chiều dài = 22; chiều rộng = 14; chiều cao = 5.

Thể tích = 22.14.5 = 1540

Diện tích một đáy = 22.14 = 308.

+ Cột 2: Chiều dài = 18; chiều cao = 6; diện tích một đáy = 90

Chiều rộng = 90 : 18 = 5

Thể tích = 18.5.6 = 540.

+ Cột 3: chiều dài = 15; chiều cao = 8; thể tích = 1320

Chiều rộng = 1320 : 15 : 8 = 11

Diện tích một đáy = 11.15 = 165

+ Cột 4 : chiều dài = 20; diện tích một đáy = 260; thể tích = 2080

Chiều rộng = 260 : 20 = 13

Chiều cao = 2080 : 260 = 8.

Vậy ta có bảng hoàn chỉnh dưới đây:

Chiều dài	22	18	15	20
Chiều rộng	14	5	11	13
Chiều cao	5	6	8	8
Diện tích đáy	308	90	165	260
Thể tích	1540	540	1320	2080

Bài 14 trang 104 SGK Toán lớp 8 tập 2: Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2m. Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể 120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m.

a) Tính chiều rộng của bể nước.

b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể.

Hỏi bể cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

a) Thể tích nước đổ vào:

120 . 20 = 2400 (l) = 2,4 (m³)

Chiều rộng của bể nước:

2,4 : (2 .0,8) = 1,5(m)

b) Thể tích của bể nước:

2400 + 60 . 20 = 3600 (l) = 3,6 (m³)

Chiều cao của bể nước:

3,6 : (2 . 1,5) = 1,2 (m)

Bài 15 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2: Một cái thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu của nước là 4dm. Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm và chiều cao 0,5dm vào thùng. Hỏi nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đêximet? (giả thiết toàn bộ gạch ngập trong nước và chúng hút nước không đáng kể).

Lời giải:

Thể tích của nước trong thùng:

7. 7. 4 = 196 (dm³)

Thể tích của 25 viên gạch:

25. (2. 1 . 0,5) = 25 (dm³)

Thể tích của nước và gạch:

196 + 25 = 221 (dm³)

Mực nước sau khi thả gạch vào cao:

221 : (7 . 7) ≈ 4,51 (dm)

Nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng là:

7 – 4,51 = 2,49 (dm).

Bài 16 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2: Thùng chứa của một xe chở hàng đông lạnh có dạng như hình 90. Một số mặt là những hình chữ nhật, chẳng hạn (ABKI), (DCC’D’), … . Quan sát hình và trả lời các câu hỏi sau:

Hình 90

a) Những đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABKI)?

b) Những đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (DCC’D’)?

c) Mặt phẳng (A’D’C’B’) có vuông góc với mặt phẳng (DCC’D’) hay không?

Lời giải:

a) Những đường thẳng song song với mặt phẳng (ABKI) là A’B’; D’C’; DC; GH; A’D’; B’C’; DG; CH.

b) Những đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (DCC’D’) là A’D’; B’C’; DG; CH; AI; BK.

c) Ta có: A’D’ ⊥ (CDD’C’) mà A’D’ nằm trong mặt phẳng (A’D’C’B’) nên (A’B’C’D’) ⊥ (CDD’C’).

Bài 17 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH (h.91).

a) Kể tên các đường thẳng song song với mp(EFGH).

b) Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào?

c) Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào?

Hình 91

Lời giải:

a) Những đường thẳng song song với mặt phẳng (EFGH) là: AB; BC; CD; DA.

b) Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng: (CDHG); (EFGH); (DCFE)

c) Đường thẳng AD song song với những đường thẳng: BC, FG, EH

Bài 18 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2: Đố: Các kích thước của môt hình hộp chữ nhật là 4cm, 3cm và 2cm. Một con kiến bò theo mặt của hình hộp đó từ Q dến P (h.92).

a) Hỏi con kiến bò theo đường nào là ngắn nhất?

b) Độ dài ngắn nhất đó là bao nhiêu xentimet?

Hình 92

Lời giải:

Vì con kiến phải bò theo mặt của hình hộp từ Q đến P tức phải bò trên “một mặt phẳng”. Ta vẽ hình khai triển của hình hộp chữ nhật và trải phẳng như sau:

Khi đó, P sẽ có hai vị trí là P₁ và P₂. Và quãng đường ngắn nhất sẽ là một trong hai đoạn thẳng QP₁ hoặc QP₂.

Hình chữ nhật có chiều dài: (2 + 3) = 5 và chiều rộng là 4 thì có đường chéo QP₁ dài: $Q{P}_1=\sqrt{4^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}}{5}^2}=\sqrt{41}$.

Hình chữ nhật có chiều dài: 4 + 2 = 6 và chiều rộng 3 có đường chéo QP₂ với độ dài: $Q{P}_2=\sqrt{6^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}}{3}^2}=\sqrt{45}$.

Vì $\sqrt{41}<\sqrt{45}$ nên đường đi ngắn nhất  là QP₁ và có độ dài là $\sqrt{41}$cm.