Giải Toán 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 20 sgk Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $x^3+3x^2+3x+1$;

b) ${\left(x+y\right)}^2-9x^2$.

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức số $4$

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& x^3+3x^2+3x+1\\ & =x^3+3x^2.1+3x{.1}^2+1^3\\ & ={\left(x+1\right)}^3\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& {\left(x+y\right)}^2-9x^2={\left(x+y\right)}^2-{\left(3x\right)}^2\\ & =\left(x+y+3x\right)\left(x+y-3x\right)\\ & =\left(4x+y\right)\left(-2x+y\right)\end{array}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 20 sgk Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: ${105}^2-25.$

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức số $3$.

$A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)$

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& {105}^2-25={105}^2-5^2\\ & =\left(105+5\right).\left(105-5\right)\\ & =110.100=11000\end{array}$

Câu hỏi và bài tập (trang 20, 21 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 43 trang 20 sgk Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2+6x+9$;

 b)$10x-25-x^2$;

c) $8x^3-\frac{1}{8}$;

d) $\frac{1}{25}{x}^2-64y^2$

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{x}^2+6x+9=x^2+2.x.3+3^2\\ ={\left(x+3\right)}^2.\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}10x-25-x^2\\ =-\left(-10x+25+x^2\right)\\ =-\left(x^2-10x+25\right)\\ =-(x^2-2.x.5+5^2)\\ =-{\left(x-5\right)}^2.\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}8x^3-\frac{1}{8}={\left(2x\right)}^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\\ =\left(2x-\frac{1}{2}\right)\left[{\left(2x\right)}^2+2x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]\\ =\left(2x-\frac{1}{2}\right)\left(4x^2+x+\frac{1}{4}\right).\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}\frac{1}{25}{x}^2-64y^2={\left(\frac{1}{5}x\right)}^2-{\left(8y\right)}^2\\ =\left(\frac{1}{5}x-8y\right)\left(\frac{1}{5}x+8y\right).\end{array}$

Bài 44 trang 20 sgk Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3+\frac{1}{27}$;

b) ${\left(a+b\right)}^3-{\left(a-b\right)}^3$;

c) ${\left(a+b\right)}^3+{\left(a-b\right)}^3$;

d) $8x^3+12x^{2}y+6x{y}^2+y^3$;

e) $-x^3+9x^2-27x+27.$

Lời giải:

a) 

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: Tổng hai lập phương.

$6)A^3+B^3=\left(A+B\right)(A^2-AB+B^2)$

Lời giải: 

$\begin{array}{l}{x}^3+\frac{1}{27}=x^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\\ =\left(x+\frac{1}{3}\right)\left[x^2-\frac{1}{3}x+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right]\\ =\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}\right)\end{array}$

b)

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: Hiệu hai lập phương, bình phương một tổng, bình phương một hiệu, hiệu hai bình phương. 

$1){\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

$2){\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

$3)A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)$

$7)A^3-B^3=\left(A-B\right)(A^2+AB+B^2)$

Lời giải: 

c)

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: Tổng hai lập phương, bình phương một tổng, bình phương một hiệu, hiệu hai bình phương. 

$1){\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

$2){\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

$3)A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)$

$6)A^3+B^3=\left(A+B\right)(A^2-AB+B^2)$

Lời giải: 

d)

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: Lập phương một tổng.

$4){\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Lời giải:

$8x^3+12{\mathrm{x}}^{2}y+6\mathrm{x}{y}^2+y^3={\left(2\mathrm{x}\right)}^3+3.{\left(2\mathrm{x}\right)}^2.y+3.2\mathrm{x}.y^2+y^3={\left(2\mathrm{x}+y\right)}^3$

e)

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: Lập phương một hiệu.

$5){\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Lời giải:

$\begin{array}{l}-x^3+9x^2-27x+27\\ =27-27x+9x^2-x^3\\ =3^3-{3.3}^2.x+\mathrm{3.3.}{x}^2-x^3\\ ={\left(3-x\right)}^3.\end{array}$

Bài 45 trang 20 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm $x$, biết:

a) $2-25x^2=0$;

b) $x^2-x+\frac{1}{4}=0$ 

Lời giải:

a) 

Phương pháp giải: – Phân tích các biểu thức ở vế trái thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: 

$A.B=0\Rightarrow A=0$ hoặc $B=0$ 

– Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

$3)A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)$

Lời giải:

$2-25x^2=0$ 

$(\sqrt{2}{)}^2-(5x{)}^2=0$

$(\sqrt{2}-5x)(\sqrt{2}+5x)=0$

$\Rightarrow \sqrt{2}-5\mathrm{x}=0$ hoặc $\sqrt{2}+5\mathrm{x}=0$

+) Với $\sqrt{2}-5\mathrm{x}=0\Rightarrow 5\mathrm{x}=\sqrt{2}$ $\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{5}$

+) Với $\sqrt{2}+5\mathrm{x}=0\Rightarrow 5\mathrm{x}=-\sqrt{2}$ $\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{2}}{5}$

Vậy $x=\frac{\sqrt{2}}{5}$ hoặc $x=\frac{-\sqrt{2}}{5}$

Cách khác:  

$\begin{array}{l}2-25x^2=0\Rightarrow 25x^2=2\\ \Rightarrow x^2=\frac{2}{25}\end{array}$

$\Rightarrow x=\sqrt{\frac{2}{25}}$ hoặc $x=-\sqrt{\frac{2}{25}}$

$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{5}$ hoặc $x=-\frac{\sqrt{2}}{5}$

b)

Phương pháp giải: – Phân tích các biểu thức ở vế trái thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: 

$A.B=0\Rightarrow A=0$ hoặc $B=0$ 

– Áp dụng hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

$2){\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

Lời giải:

$x^2-x+\frac{1}{4}=0$

$x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=0$

${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0$

$\Rightarrow x-\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

Vậy $x=\frac{1}{2}.$

Bài 46 trang 21 sgk Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:

a) ${73}^2-{27}^2$;

b) ${37}^2-{13}^2$;

c) ${2002}^2-2^2$.

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích các đa thức đó thành nhân tử.

$3)A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)$

Lời giải:

a)

${73}^2-{27}^2$

$=\left(73+27\right)\left(73-27\right)$

$=100.46=4600$

b)

${37}^2-{13}^2$

$=\left(37+13\right)\left(37-13\right)$

$=50.24=\mathrm{50.2.12}=100.12=1200$

c)

${2002}^2-2^2$

$=\left(2002+2\right)\left(2002-2\right)$

$=2004.2000=4008000$.

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

1. Các kiến thức cần nhớ: Ta sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học để thực hiện phép phân tích đa thức thành nhân tử.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

$1$ . ${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

$2$ .  ${\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

$3$ . $A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)$

$4$ . ${\left(A+B\right)}^3$$=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

$5$ . ${\left(A-B\right)}^3$$=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

$6$ . $A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)$

$7$ . $A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right)$

Ví dụ: ${\left(x+5\right)}^2-16={\left(x+5\right)}^2-4^2$$=\left(x+5+4\right)\left(x+5-4\right)$$=\left(x+9\right)\left(x+1\right)$

Chú ý: Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:

– Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không ? Nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

– Nếu không thì xét xem có thể áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích thành nhân tử hay không ?

Chú ý: Đôi khi phải dùng quy tắc dấu ngoặc sau đó mới áp dụng được hằng đẳng thức.

Ví dụ:

$\begin{array}{rl}& -4x^2-12x-9\\ & =-(4x^2+12x+9)\\ & =-\left[{\left(2x\right)}^2+2.2x.3+3^2\right]\\ & =-{\left(2x+3\right)}^2\end{array}$

2. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Ta sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

Dạng 2: Tìm $\mathbf{x}$

Phương pháp: Ta sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

Từ đó đưa về dạng tìm $x$ thường gặp như $A.B=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}$

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho để có thể sử dụng được điều kiện ở giả thiết. Từ đó tính giá trị biểu thức.