Tài liệu Giải toán bằng cách lập phương trình gồm các nội dung sau:
I. Phương pháp giải
– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn, các bước làm bài
II. Một số ví dụ
– Gồm10 ví dụ minh họa đa dạng cho dạng bài trên có đáp án và lời giải chi tiết.
II. Bài tập vận dụng
– Gồm 31 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các bài tập Giải toán bằng cách lập phương trình
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. Phương pháp giải
Bước 1: Lập phương trình:
– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
II. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Quãng đường AD gồm ba đoạn AB; BC và CD. Lúc 7 giờ sáng một người đi ô tô từ A với vận tốc 60km/h đến B lúc 7giờ 30phút, sau đó đi tiếp trên đoạn đường BC vận tốc 50km/h. Cùng lúc 7 giờ sáng một người đi xe máy đi từ C với vận tốc 35km/h để đến D. Biết thời gian người đi xe máy đến D nhiều hơn thời gian người đi ô tô từ B đến c là 1 giờ 24 phút và quãng đường BC ngắn hơn quãng đường CD là 40km. Tính quãng đường AD.
* Tìm cách giải: Đây là bài toán chuyển động đều. Có ba đại lượng: Quảng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t). Quan hệ giữa các đại lượng như sau:
Đoạn đường AD gồm ba đoạn. Đoạn AB đã biết độ dài (do biết vận tốc đi 60km/h và thời gian đi là 0,5 giờ) nên chỉ cần tính đoạn BD. Do đó ta chọn ẩn sổ x (km) là độ dài đoạn BD.
Do quãng đường BC ngắn hơn quãng đường CD là 40km mà tổng hai đoạn đường là x km nên độ dài đoạn CD là km và BC là km.
Ta phải tìm thời gian đi của xe máy trên đoạn đường CD và thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC để lập phương trình.
Giải
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là 7 giờ 30 phút – 7 giờ = 30 phút = 0,5 h. Ta có quãng đường AB dài là 60. 0,5 = 30(km).
Gọi quãng đường BD là x(km); x > 40. Do đoạn CD dài hơn BC là 40km; tổng hai đoạn đường là x (km) nên:
– Đoạn đường BC dài \[\frac{{x – 4{\rm{0}}}}{x}\] (km); đoạn đường CD dài \[\frac{{x + 4{\rm{0}}}}{2}\](km)
– Thời gian ô tô đi trên đoạn BC là
\[\frac{{x – 4{\rm{0}}}}{x}:5{\rm{0}}\] (h).
– Thời gian ô tô đi trên đoạn CD là
\[\frac{{x + 4{\rm{0}}}}{2}:35\] (h).
1 giờ 24 phút = 1,4 giờ
Theo bài ra ta có phương trình:
\[\frac{{x + 4{\rm{0}}}}{{7{\rm{0}}}} – \frac{{x – 4{\rm{0}}}}{{1{\rm{00}}}} = 1,4{\rm{ }}\left( 1 \right)\]
– Giải phương trình:
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1{\rm{0}}x + 4{\rm{00}} – 7x + 28{\rm{0}} = 98{\rm{0}}\]
\[ \Leftrightarrow 3x = 3{\rm{00}}\]
\[ \Leftrightarrow x = 1{\rm{00}}\]
Giá trị này phù hợp với điều kiện của ấn vậy:
Quãng đường BD dài 100 km và quãng đường AD dài 100 + 30 = 130 (km).
Chú ý: Cách khác: Gọi thời gian xe máy đi từ C đến D là x (giờ) thì thời gian ô tô đi từ B đến C là \[x – 1,4\](giờ). Quãng đường CD dài 35x (km), quãng đường BC dài \[\left( {x – 1,4} \right).5{\rm{0}}\]. Ta có phương trình \[\left( {x – 1,4} \right).5{\rm{0}} = 35x – 4{\rm{0}}\]
Giải phương trình được x = 2 (bạn đọc tính tiếp).
Ví dụ 2. Trên quãng sông AB dài 48km, một ca nô xuôi từ A đến B rồi quay trở lại và đỗ tại một địa điểm C ở chính giũa A và B. Thời gian ca nô cả xuôi và ngược dòng hết tất cả 3 giờ 30 phút. Tính vận tốc riông của ca nô biết rằng một bè nứa thả trôi trên sông đó 15 phút trôi được 1 km.
* Tìm cách giải: – Đây là bài toán chuyển động đều liên quan đến chuyến động xuôi, ngược dòng nước (hoặc xuôi gió, ngược gió). Nếu gọi vận tốc khi xuôi là vx; vận tốc khi ngược là vn ; vận tốc riêng của động cơ là vr và là vận tốc của dòng nước (hoặc giỏ) thì \[{v_x} = {v_r} + {v_{dn}};{v_n} = {v_r} – {v_{dn}}\] và\[{v_x} – {v_n} = 2{v_{dn}}\] .
Quãng sông ca nô xuôi là 48km và ngược là 48: 2 = 24km. Vận tốc bè nứa trôi chính là vận tốc dòng nước.
Chọn ẩn số x là vận tốc riêng của ca nô, ta tìm thời gian xuôi và ngược để lập phương trình.
Giải
15 phút = 0,25 giờ; 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ.
Vận tốc bè nứa trôi là 1: 0,25 = 4 (km/h) chính là vận tốc dòng nước.
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h); x > 4. Thì vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + 4 (km/h), vận tốc ca nô khi ngược dòng là x – 4 (km/h).
Thời gian ca nô xuôi dòng là \[\frac{{48}}{{x + 4}}\] (h) và ngược dòng là \[\frac{{24}}{{x – 4}}\] (h).
Theo bài ra ta có phương trình: \[\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{24}}{{x – 4}} = 3,5{\rm{ }}\left( 1 \right)\]
* Giải phương trình (1): biến đổi thành:
\[48x – 192 + 24x + 96 = 3,5{x^2} – 56\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3,5{x^2} – 72x + 4{\rm{0}} = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow 7{x^2} – 144x + 8{\rm{0}} = {\rm{0}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7{x^2} – 14x – 4x + 80 = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {7x – 4} \right) = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2{\rm{0}}\\x = \frac{4}{7}\end{array} \right.\end{array}\]
Trong hai giá trị trên x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 20km/h.
Ví dụ 3. Hai xưởng sản xuất cùng làm một sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ nhất làm trong 5 ngày nhiều hơn số sản phẩm xưởng thứ hai làm trong 6 ngày là 140 sản phẩm. Biết rằng năng suất lao động của xưởng thứ nhất hơn xưởng thứ hai là 65 sản phẩm/ngày. Tính năng suất lao động của mỗi xưởng.
* Tìm cách giải: Bài toán thuộc loại toán Năng suất lao động. Có ba đại lượng:
– Khối lượng công việc: (K)
– Thời gian hoàn thành công việc (t)
– Năng suất lao động: (lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian) (N).
Quan hệ giữa các dại lượng như sau:
K = Nt; t = K : N và N = K: t.
Trong bài năng suất lao động mỗi xưởng là số sản phẩm mỗi xưởng làm trong một ngày, ta chọn ẩn X từ một trong hai năng suất lao động này. Khối lượng công việc của mỗi xưởng chính là số sản phẩm xưởng thứ nhất làm trong 5 ngày, xưởng thứ hai làm trong 6 ngày. Lập phương trình từ việc so sánh hai khối lượng công việc.
Giải
Gọi năng suất lao động của xưởng thứ nhất là x (sản phẩm /ngày); (\[x \in \mathbb{N}\]; x > 65) thì năng suất lao động của xưởng thứ hai là \[\left( {x – 65} \right)\] (sản phẩm/ngày). Trong năm ngày xưởng thứ nhất làm được 5x (sản phẩm), trong sáu ngày xưởng thứ hai làm được \[6\left( {x – 65} \right)\] (sản phẩm).
Theo bài ra ta có phương trình: \[x – 6\left( {x – 65} \right) = 14{\rm{0}}\]. (1)
Giải phương trình:
(1) \[ \Leftrightarrow 5x – 6x + 39{\rm{0}} = 14{\rm{0}}\]
\[ \Leftrightarrow x = 25{\rm{0}}\] (thỏa mãn điều kiện).
Vậy: Năng suất lao động của xưởng thứ nhất là 250 sản phẩm /ngày
Năng suất lao động của xưởng thứ hai là 250 – 65 = 185 (sản phẩm /ngày).
Ví dụ 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn trong thời gian 4 giờ 48 phút thì bể đầy. Nếu vòi thử nhất chảy một mình trong 3 giờ, rồi vòi thứ hai chảy tiếp một mình trong 4 giờ nữa thì đầy được \[\frac{{17}}{{24}}\] bể. Hỏi nêu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể sẽ đầy?
* Tìm cách giải. – Đây là bài toán về công việc đồng thời (làm chung, làm riêng một công việc) – là một dạng đặc biệt của toán năng suất lao động. Khối lượng công việc ở đây không được cho dưới dạng số lượng cụ thể là bao nhiêu. Bởi vậy ta có thể quy ước công việc cần hoàn thành là 1. Tùy nội dung bài toán cụ thể mà ta quy ước một đại lượng nào đó làm đơn vị (1 bể nước, 1 con mương, 1 cánh đồng, 1 con đường, …). Đơn vị của năng suất lao động sẽ là 1 công việc / 1 đơn vị thời gian. Năng suất lao động chung bằng tổng năng suất lao động riêng của từng cá thể.
– Ở bài toán trên, công việc cụ thể là 1 bể nước (lượng nước làm đầy 1 bể). Nếu một vòi chảy một mình sau a giờ đầy bể thì năng suất (lượng nước chảy trong 1 giờ) là \[\frac{1}{a}\]bể/giờ. Nếu một vòi khác chảy một mình sau b giờ đầy bể thì năng suất là \[\frac{1}{b}\] bể/giờ. Năng suất chung là \[\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\] (bể/giờ).
Giải
Hai vòi chảy chung trong 4 giờ 48 phút = \[\frac{{24}}{5}\] giờ đầy bể vậy 1 giờ hai vòi chảy chung được \[\frac{5}{{24}}\] bể nước. Gọi thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x giờ\[\left( {x > \frac{{24}}{5}} \right)\] , thì 1 giờ vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{x}\] bể nước
Vòi thứ nhất chảy một mình 1 giờ được \[\left( {\frac{5}{{24}} – \frac{1}{x}} \right)\]bể nước.
Ta có phương trình
\[3\left( {\frac{5}{{24}} – \frac{1}{x}} \right) + \frac{4}{x} = \frac{{17}}{{24}}{\rm{ }}\left( 1 \right)\]
Giải phương trình:
(1) \[ \Leftrightarrow 15x – 72 + 96 = 17x \Leftrightarrow 2x = 24 \Leftrightarrow x = 12\].
Giá trị này phù họp với điều kiện của ẩn.
Vậy thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ.
Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là
\[1:\left( {\frac{5}{{24}} – \frac{1}{{12}}} \right) = 1:\frac{1}{8} = 8\] (giờ).
Ví dụ 5. Năm ngoái sô kg thóc thu hoạch của thửa ruộng thứ nhất bằng \[\frac{3}{4}\] số kg thóc thu hoạch của thửa thứ hai. Năm nay nhờ cải tiến kỹ thuật thửa thứ nhất thu hoạch tăng 20%; thửa thứ hai thu hoạch tăng 30% do đó cả hai thửa thu hoạch được 1320kg. Tìm số tạ thóc mỗi thửa thu hoạch trong năm nay.
* Tìm cách giải: Đây là dạng toán liên quan đến tỷ số và tỷ số %. Thu hoạch tăng a% tức là đã thu hoạch được (100 + a)%. Ta phải tìm số thóc mỗi thửa thu hoạch trong năm nay. Ẩn sổ ta nên chọn là số thóc thu hoạch của một trong hai thửa năm trước vì các đại lượng quan hệ: tỷ số giữa sổ thóc thu hoạch của hai thửa ruộng là của năm trước và tỷ số % tăng là so với năm trước.
Giải
Gọi số thóc thu hoạch năm ngoái của thửa thứ hai là x (kg) (x > 0)
Số thóc thu hoạch năm ngoái của thửa thứ nhất là \[\frac{3}{4}x\] (kg)
Số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ hai là 130% x (kg)
Số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ nhất \[12{\rm{0\% }}.\frac{3}{4}x\] (kg)
Theo bài ra ta có phương trình:
\[12{\rm{0\% }}.\frac{3}{4}x + 13{\rm{0}}\% x = 132{\rm{0 }}\left( 1 \right)\]
Giải phương trình:
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{12{\rm{0}}}}{{1{\rm{00}}}}.\frac{3}{4}.x + \frac{{13{\rm{0}}}}{{1{\rm{00}}}}x = 132{\rm{0}}\]
\[ \Leftrightarrow 9x + 13x = 132{\rm{00}} \Leftrightarrow 22x = 132{\rm{00}} \Leftrightarrow x = 6{\rm{00}}\]
Giá trị này của x thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy số thóc thửa thứ hai thu hoạch trong năm nay là 130%.600 = 780 (kg) = 7,8 (tạ), số thóc thửa thứ nhất thu hoạch trong năm nay là 1320 – 780 = 540 (kg) = 5,4(tạ).
Chú ý: Ta có thể chọn x là số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ nhất. Khi đó ta có phương trình:
\[\frac{{x.1{\rm{00}}}}{{12{\rm{0}}}} = \frac{3}{4}.\frac{{\left( {132{\rm{0}} – x} \right).1{\rm{00}}}}{{13{\rm{0}}}}\]
Giải được x = 540 (bạn đọc tự giải).
Xem thêm