Tài liệu Phân tích đa thức thành nhân tử gồm các nội dung sau:
I. Phương pháp giải
– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn
II. Một số ví dụ
– Gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng cho dạng bài trên có lời giải chi tiết
III. Bài tập vận dụng
– Gồm 11 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. Phương pháp giải
1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức khác.
2. Các phương pháp thường dùng:
– Đặt nhân tử chung
– Dùng hằng đẳng thức
– Nhóm các hạng tử
– Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặt biệt khác (xem chuyên đề 6)
II. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
Giải
Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy các đa thức trên đều có nhân tử chung
Bước 1. Chọn hệ số là ƯCLN của các hệ số.
Bước 2. Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. Nếu trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trước nó.
Trình bày lời giải.
\[\begin{array}{l}b)5{x^2}y\left( {x – 7} \right) – 5xy\left( {7 – x} \right)\\ = 5{x^2}y\left( {x – 7} \right) + 5xy\left( {x – 7} \right)\\ = 5xy\left( {x – 7} \right)\left( {x + 1} \right)\end{array}\]
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\[a)100{x^2} – 9{y^2}\]
\[b)\,9{\left( {a + b} \right)^2} – 4{\left( {a – 2b} \right)^2}\]
\[c)8{x^3} + 27{y^3}\]
\[d)125 – 75x + 9{x^2} – {x^3}\]
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Trình bày lời giải
\[a)100{x^2} – 9{y^2} = \left( {10x – 3y} \right)\left( {10x + 3y} \right)\]
\[b)9{\left( {a + b} \right)^2} – 4{\left( {a – 2b} \right)^2}\]
\[\begin{array}{l} = \left[ {3\left( {a + b} \right) – 2\left( {a – 2b} \right)} \right]\left[ {3\left( {a + b} \right) + 2\left( {a – 2b} \right)} \right]\\ = \left( {a – 7b} \right)\left( {5a – b} \right)\end{array}\]
\[c)8{x^3} + 27{y^3} = \left( {2x + 3y} \right)\left( {4{x^2} – 6xy + 9{y^2}} \right)\]
\[d)125 – 75x + 15{x^2} – {x^3} = {\left( {5 – x} \right)^3}\]
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\[a)x\left( {a + b} \right) + a + b\]
\[b)3{a^2}x – 3{a^2}y + abx – aby\]
\[c)ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c\]
Giải
Tìm cách giải. Mỗi đa thức trên không có nhân tử chung, không xuất hiện hằng đẳng thức. Quan sát kỹ nhận thấy nếu nhóm các hạng tử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung.
Trình bày lời giải
\[a)x\left( {a + b} \right) + a + b = \left( {a + b} \right)\left( {x + 1} \right)\]
\[\begin{array}{l}b)\,3{a^2}x – 3{a^2}y + abx – aby\\ = 3{a^2}\left( {x – y} \right) + ab\left( {x – y} \right)\\ = a\left( {x – y} \right)\left( {3a + b} \right)\end{array}\]
\[\begin{array}{l}c)\,ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c\\ = x\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {a + b + c} \right)\end{array}\]
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\[a){a^2} – {b^2} – 4a + 4b\]
\[b){\left( {xy + 4} \right)^2} – {\left( {2x + 2y} \right)^2}\]
\[c){\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right)^2} – {a^2}{b^2} – {b^2}{c^2} – {c^2}{a^2}\]
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức.
Vậy chúng ta có thể nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức
Trình bày lời giải
\[a)\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right) – 4\left( {a – b} \right) = \left( {a – b} \right)\left( {a + b – 4} \right)\]
\[b)\left( {xy + 4 + 2x + 2y} \right)\left( {xy + 4 – 2x – 2y} \right)\]
\[ = \left( {x\left( {y + 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right)} \right)\left( {x\left( {y – 2} \right) – 2\left( {y – 2} \right)} \right)\]
\[ = \left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {y – 2} \right)\]
\[c)\left( {{a^2} + {b^2} + ab – ab} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right) – {c^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\]
\[ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right){\left( {a + b} \right)^2} – {c^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\]
\[\begin{array}{l} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} – {c^2}} \right]\\ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)\end{array}\]
Ví dụ 5: Cho các số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn
\[{a^2}\left( {b + c} \right) = {b^2}\left( {c + a} \right) = 2012\]
Tính giá trị biểu thức \[M = {c^2}\left( {a + b} \right)\]
Giải
Tìm cách giải. Từ giả thiết chúng ta không thể tính giá trị cụ thể của a, b, c. Do vậy bằng việc quan sát và nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa a, b và c. Từ đó tìm được giá trị biểu thức M.
Trình bày lời giải
Ta có :
\[\begin{array}{l}{a^2}\left( {b + c} \right) = {b^2}\left( {c + a} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2}b + {a^2}c – {b^2}c – {b^2}a = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow ab\left( {a – b} \right) + c\left( {{a^2} – {b^2}} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\]
Vì \[a \ne b\] nên:
\[ \Rightarrow ab + bc + ca = 0\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {b – c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \Rightarrow {b^2}a + {b^2}c – b{c^2} – a{c^2}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {b^2}a + {b^2}c = b{c^2} + a{c^2}\\ \Rightarrow {c^2}\left( {a + b} \right) = {b^2}\left( {a + c} \right)\end{array}\]
Vậy \[M = 2012\]
III. Bài tập vận dụng
3.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
\[a)ab\left( {x – 2} \right) – {a^2}\left( {x – 2} \right)\]
\[b)4{x^3}{y^2} – 8{x^2}{y^3} + 12{x^3}y\]
Hướng dẫn giải – đáp số
\[a)ab\left( {x – 2} \right) – {a^2}\left( {x – 2} \right) = a\left( {x – 2} \right)\left( {a + b} \right)\]
\[b)4{x^3}{y^2} – 8{x^2}{y^3} + 12{x^3}y = 4{x^2}y\left( {xy – 2{y^2} + 3x} \right)\]
3.2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
\[a){\left( {xy + 1} \right)^2} – {\left( {x + y} \right)^2}\]
\[b){\left( {a + b + c} \right)^2} + {\left( {a + b – c} \right)^2} – 4{c^2}\]
\[c){\left( {{a^2} + 9} \right)^2} – 36{a^2}\]
Hướng dẫn giải – đáp số
\[\begin{array}{l}a){\left( {xy + 1} \right)^2} – {\left( {x + y} \right)^2}\\ = \left( {xy + 1 – x – y} \right)\left( {xy + 1 + x + y} \right)\end{array}\]
\[ = \left[ {x\left( {y – 1} \right) + 1 – y} \right]\left[ {x\left( {y + 1} \right) + y + 1} \right]\]
\[ = \left( {x – 1} \right)\left( {y – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\]
\[b){\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {a + b – c + 2c} \right)\left( {a + b – c – 2c} \right)\]
\[ = {\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b – 3c} \right)\]
\[ = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + a + b – 3c} \right)\]
\[\begin{array}{l} = \left( {a + b + c} \right)\left( {2a + 2b – 2c} \right)\\ = 2\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)\end{array}\]
\[\begin{array}{l}c){\left( {{a^2} + 9} \right)^2} – 36{a^2}\\ = \left( {{a^2} + 9 – 6a} \right)\left( {{a^2} + 9 + 6a} \right)\\ = {\left( {a – 3} \right)^2}{\left( {a + 3} \right)^2}\end{array}\]
3.3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
\[a)3a – 3b + {a^2} – 2ab + {b^2}\]
\[b){a^2} + 2ab + {b^2} – 2a – 2b + 1\]
\[c)4{b^2}{c^2} – {\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)^2}\]
Hướng dẫn giải – đáp số
\[a)3\left( {a – b} \right) + {\left( {a – b} \right)^2} = \left( {a – b} \right)\left( {3 + a – b} \right)\]
\[b){\left( {a + b} \right)^2} – 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b – 1} \right)^2}\]
\[c)\left( {2bc + {b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)\left( {2bc – {b^2} – {c^2} + {a^2}} \right)\]
\[ = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} – {a^2}} \right]\left[ {{a^2} – {{\left( {b – c} \right)}^2}} \right]\]
\[ = \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c – a} \right)\left( {a + b – c} \right)\left( {a – b + c} \right)\]
3.4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
\[a){x^2} – 4xy + 4{y^2} – 9{a^2}\]
\[b)xy\left( {{a^2} + {b^2}} \right) – ab\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]
\[c){x^2}\left( {a – b} \right) – 2xy\left( {a – b} \right) + a{y^2} – b{y^2}\]
\[d)8x{y^3} – x{\left( {x – y} \right)^3}\]
Hướng dẫn giải – đáp số
\[\begin{array}{l}a)\,{x^2} – 4xy + 4{y^2} – 9{a^2}\\ = {\left( {x – 2} \right)^2} – {\left( {3a} \right)^2}\\ = \left( {x – 2 – 3a} \right)\left( {x – 2 + 3a} \right)\end{array}\]
\[\begin{array}{l}b)xy\left( {{a^2} + {b^2}} \right) – ab\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ = xy{a^2} + xy{b^2} – ab{x^2} – ab{y^2}\end{array}\]
\[ = \left( {xy{a^2} – ab{x^2}} \right) + \left( {xy{b^2} – ab{y^2}} \right)\]
\[\begin{array}{l} = ax\left( {ay – bx} \right) + by\left( {bx – ay} \right)\\ = \left( {ay – bx} \right)\left( {ax – by} \right)\end{array}\]
\[\begin{array}{l}c){x^2}\left( {a – b} \right) – 2xy\left( {a – b} \right) + a{y^2} – b{y^2}\\ = {x^2}\left( {a – b} \right) – 2xy\left( {a – b} \right) + {y^2}\left( {a – b} \right)\end{array}\]
\[\begin{array}{l} = \left( {a – b} \right)\left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} \right)\\ = \left( {a – b} \right){\left( {x – y} \right)^2}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}d)8x{y^3} – x{\left( {x – y} \right)^3}\\ = x\left[ {{{\left( {2y} \right)}^3} – {{\left( {x – y} \right)}^3}} \right]\end{array}\]
\[\begin{array}{l} = x\left( {2y – x + y} \right)\left[ {4{y^2} + 2y\left( {x – y} \right) + {{\left( {x – y} \right)}^2}} \right]\\ = x\left( {3y – x} \right)\left( {{x^2} + 3{y^2}} \right)\end{array}\]
3.5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
\[a)A = {x^2} – 4{x^2}{y^2} + {y^2} + 2xy\]
\[b)B = {x^6} – {y^6}\]
\[c)C = 4xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – 6\left( {{x^3} + {y^3} + {x^2}y + x{y^2}} \right) + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]
\[d)D = 25 – {a^2} + 2ab – {b^2}\]
Hướng dẫn giải – đáp số
\[a)A = {x^2} + 2xy + {y^2} – 4{x^2}{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – 4{x^2}{y^2}\]
\[ = \left( {x + y – 2xy} \right)\left( {x + y + 2xy} \right)\]
\[\begin{array}{l}b)B = \left( {{x^3} – {y^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\\ = \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right)\end{array}\]
\[c)C = 4xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – 6\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right) + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]
\[ = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {4xy – 6x – 6y + 9} \right)\]
\[ = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left[ {2x\left( {2y – 3} \right) – 3\left( {2y – 3} \right)} \right]\]
\[ = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {2x – 3} \right)\left( {2y – 3} \right)\]
\[d)D = 25 – \left( {{a^2} – 2ab + {b^2}} \right) = 25 – {\left( {a – b} \right)^2}\]
\[ = \left( {5 + a – b} \right)\left( {5 – a + b} \right)\]
3.6. Phân tích đa thức thành nhân tử :
\[a){x^3} + 3{x^2}y – 4x{y^2} – 12{y^3}\]
\[b){x^3} + 4{y^2} – 2xy + {x^2} + 8{y^3}\]
\[c)3{x^2}\left( {a – b + c} \right) + 36xy\left( {a – b + c} \right) + 108{y^2}\left( {a – b + c} \right)\]
\[d)a\left( {{x^2} + 1} \right) – x\left( {{a^2} + 1} \right)\]
Hướng dẫn giải – đáp số
\[a){x^3} + 3{x^2}y – 4x{y^2} – 12{y^3}\]
\[ = {x^2}\left( {x + 3y} \right) – 4{y^2}\left( {x + 3y} \right)\]
\[ = \left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 3y} \right)\]
\[b){x^3} + 8{y^3} + {x^2} – 2xy + 4{y^2}\]
\[ = \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} – 2xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} – 2xy + 4{y^2}} \right)\]
\[ = \left( {x + 2y + 1} \right)\left( {{x^2} – 2xy + 4{y^2}} \right)\]
\[c)3\left( {a – b + c} \right)\left( {{x^2} + 12xy + 36{y^2}} \right)\]
\[ = 3\left( {a – b + c} \right){\left( {x + 6y} \right)^2}\]
\[d)a{x^2} + a – x{a^2} – x\]
\[ = ax\left( {x – a} \right) – \left( {x – a} \right)\]
\[ = \left( {x – a} \right)\left( {ax – 1} \right)\]
Xem thêm