Tính chất đường phân giác của tam giác

Tài liệu Tính chất đường phân giác của tam giác gồm các nội dung chính sau:

I. Phương pháp giải

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn;

– phương pháp giải chi tiết từng dạng bài tập.

II. Một số ví dụ/ Ví dụ minh họa

– gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.

III. Bài tập vận dụng

– gồm ? bài tập vận dụng (?có đáp án ? có lời giải chi tiết) giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây: Tính chất đường phân giác của tam giác (ảnh 1)

Tính chất đường phân giác của tam giác

I. Phương pháp giải

1. Định lý

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

$\begin{array}{l} Δ A B C \\ \hat{B A D} = \hat{C A D} \end{array}\} \Rightarrow \frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} .$

2. Chú ý

* Định lý vẫn đúng với đối với đường phân giác góc ngoài của tam giác. $\begin{array}{l} Δ A B C (A B \neq A C) \\ \hat{B A E} = \hat{C A E} \end{array}\} \Rightarrow \frac{E B}{E C} = \frac{A B}{A C} .$ Tính chất đường phân giác của tam giác (ảnh 3)

* Các định lý trên có định lý đảo

$\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A D$ là đường phân giác trong của tam giác.

$\frac{E B}{E C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A E$ là đường phân giác ngoài của tam giác.

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM cắt phân giác CD tại P. Chứng minh rằng: $\frac{P C}{P D} - \frac{A C}{B C} = 1.$

Giải

Dựa vào định ý Ta-lét: $\frac{P C}{P D} - \frac{A C}{B C} = 1 \Leftrightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{A C}{B C} + 1.$

CD là phân giác của $Δ A B C$ nên $\frac{D A}{D B} = \frac{A C}{B C} \Leftrightarrow \frac{D A}{D B} + 1 = \frac{A C}{B C} + 1$

$\Leftrightarrow \frac{A B}{D B} = \frac{A C}{B C} + 1$ . Vì vậy chỉ cần chứng minh: $\frac{P C}{P D} = \frac{A B}{D B} .$

Cách 1

Tính chất đường phân giác của tam giác (ảnh 4)

Vẽ $D K // B M$ ( K thuộc AM ), theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{P C}{P D} = \frac{M C}{M K} = \frac{M A}{M K} = \frac{A B}{D B} .$

Cách 2.

Vẽ $D I // A C$ ( I thuộc BM ),

Theo định lý Ta-lét, ta có:

$\frac{P C}{P D} = \frac{M C}{D I} = \frac{M A}{D I} = \frac{A B}{D B} .$

Cách 3.

Vẽ $A N // B M$ ( N thuộc tia CD )

Do MA = MC suy ra PC = PN

Mặt khác $\frac{N D}{P D} = \frac{D A}{D B}$ (do $A N // B P$ ),

Suy ra $\frac{P N}{P D} = \frac{N D}{P D} + 1 = \frac{D A}{D B} + 1 = \frac{A B}{D B}$

Cách 4.

Vẽ $A H // C D$ ( H thuộc tia BM ),

Ta có: $Δ A M H = Δ C M P (c . g . c)$

Suy ra $P C = A H \Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{A H}{P D} .$

Mặt khác, do $P D // A H$ nên theo hệ quả định lý Ta-lét, ta có: $\frac{A H}{P D} = \frac{A B}{D B} \Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{A B}{D B} .$

Cách 5.

Trên tia đối cỉa tia MB , lấy điểm E sao cho MB = ME . Suy ra ABCE là hình bình hành. Suy ra $A B // C E$ và $A B = C E$ .

Theo hệ quả của định lý Ta-lét, ta có: $\frac{P C}{P D} = \frac{C E}{B P} = \frac{A B}{D B} .$

Xem thêm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy