Cho tam giác ABC. a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: MB→=12BC→, AN→=3NB→, CP→=PA→. b) Biểu thị mỗi vectơ MN→, MP→ theo hai vectơ BC→, BA→. c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC.
a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$ .
b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$ .
c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Trả lời:

a) Ta có: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ $\vec{M B}$ cùng hướng với vectơ $\vec{B C}$ sao cho $| \vec{M B} | = \frac{1}{2} . | \vec{B C} |$ hay MB = $\frac{1}{2}$ BC.
Lại có: $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ $\vec{A N}$ cùng hướng với vectơ $\vec{N B}$ sao cho $| \vec{A N} | = 3 | \vec{N B} |$ hay AN = 3NB.
Có:
$\vec{C P} = \vec{P A}$ $\Leftrightarrow \vec{P A} - \vec{C P} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{P A} + (- \vec{C P}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{P A} + \vec{P C} = \vec{0}$
⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.
Media VietJack

b) Vì AN = 3NB nên BN = $\frac{1}{4}$ BA, do đó: $\vec{B N} = \frac{1}{4} \vec{B A}$ .
Ta có: $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ .
Vì MB = $\frac{1}{2}$ BC nên $M C = \frac{3}{2} B C$ , do đó: $\vec{M C} = \frac{3}{2} \vec{B C}$ .
P là trung điểm của AC nên $\vec{C P} = \frac{1}{2} \vec{C A}$ .
Nên ta có: $\vec{M P} = \vec{M C} + \vec{C P} = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C A}$

$= (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$ .
Vậy $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ và $\vec{M P} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$ .
c) Theo câu b ta có:
$\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ $= \frac{1}{2} (\vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}) = \frac{1}{2} \vec{M P}$ .
Do đó: $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{M P}$ .
Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Cho vectơ a→. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ a→+a→, (−a→)+(−a→) (Hình 1).

Câu hỏi:

Cho vectơ $\vec{a}$ . Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a} + \vec{a}, (- \vec{a}) + (- \vec{a})$ (Hình 1).

Trả lời:

+) Ta có: $A B = | \vec{A B} | = | \vec{a} |$ ; $B C = | \vec{B C} | = | \vec{a} |$
AC = AB + BC = $| \vec{a} | + | \vec{a} | = 2. | \vec{a} |$
Có: $\vec{a} + \vec{a} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$
Do đó: $| \vec{a} + \vec{a} | = | \vec{A C} | = A C = 2. | \vec{a} |$ .
Vậy vectơ $\vec{a} + \vec{a}$ có độ dài là $2. | \vec{a} |$ và có cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ (theo hướng đi từ trái qua phải).
+) Ta có: $D E = | \vec{D E} | = | - \vec{a} | = | \vec{a} |$ ; $E F = | \vec{E F} | = | - \vec{a} | = | \vec{a} |$
DF = DE + EF = $| \vec{a} | + | \vec{a} | = 2. | \vec{a} |$
Có: $(- \vec{a}) + (- \vec{a}) = \vec{D E} + \vec{E F} = \vec{D F}$
Do đó: $| (- \vec{a}) + (- \vec{a}) | = | \vec{D F} | = D F = 2. | \vec{a} |$ .
Vậy vectơ $(- \vec{a}) + (- \vec{a})$ có độ dài là $2. | \vec{a} |$ và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho hai vectơ a→, b→ và một điểm M như Hình 3. a) Hãy vẽ các vectơ MN→=3a→, MP→=−3b→. b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: |3b→|, |−3b→|, |2a→+2b→|.

Câu hỏi:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$ .
b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $| 3 \vec{b} |, | - 3 \vec{b} |, | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} |$ .

Trả lời:

a) Ta có: $\vec{M N} = 3 \vec{a}$ nên vectơ $\vec{M N}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng $3. | \vec{a} |$ .
Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\vec{a}$ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ thỏa mãn MN = $3. | \vec{a} |$ .
Lại có: $\vec{M P} = - 3 \vec{b}$ nên vectơ $\vec{M P}$ ngược hướng với vectơ $\vec{b}$ và có độ dài bằng $| - 3 | . | \vec{b} | = 3. | \vec{b} |$ .
Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\vec{b}$ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ $\vec{b}$ thỏa mãn $M P = 3. | \vec{b} |$ .

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là $\sqrt{2}$ .
Ta có vectơ $\vec{a}$ có độ dài là $| \vec{a} | = 2$ , vectơ $\vec{b}$ có độ dài là $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ .
Ta có: $| 3 \vec{b} | = 3. | \vec{b} | = 3. \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ; $| - 3 \vec{b} | = | - 3 | . | \vec{b} | = 3 \sqrt{2}$ .
Lại có: $2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 (\vec{a} + \vec{b})$ (1).
Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với $\vec{b} = \vec{B A}, \vec{a} = \vec{A C}$ .

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A C} + \vec{B A} = \vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 \vec{B C}$ .
Nên $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 \vec{B C} | = 2 | \vec{B C} | = 2 B C$ .
Ta có: $\hat{B A C} = 45 ° + 90 ° = 135 °$
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cosA
= ${(\sqrt{2})}^{2}$ + 2² – 2 . $\sqrt{2}$ . 2 . cos135° = 10
Suy ra BC = $\sqrt{10}$ .
Vậy $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 \vec{B C} | = 2 | \vec{B C} | = 2 B C = 2 \sqrt{10}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA→+MB→+MC→=3MG→.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Trả lời:

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .
Với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} = \vec{M G} + \vec{G A}$ , $\vec{M B} = \vec{M G} + \vec{G B}$ , $\vec{M C} = \vec{M G} + \vec{G C}$ .
Khi đó:
$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \vec{G C})$
$= 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$ $= 3 \vec{M G} + \vec{0} = 3 \vec{M G}$ .
Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ , ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$
$\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M G} = \vec{0}$
$\Leftrightarrow (\vec{M A} - \vec{M G}) + (\vec{M B} - \vec{M G}) + (\vec{M C} - \vec{M G}) = \vec{0}$
$\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc b→ của tàu B theo vectơ vận tốc a→ của tàu A.

Câu hỏi:

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của tàu A.

Trả lời:

Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là $\vec{a}$ và vectơ vận tốc của tàu B là $\vec{b}$ là hai vectơ ngược hướng.
Ta có: $| \vec{a} | = 20$ hải lí/giờ, $| \vec{b} | = 50$ hải lí/giờ.
Suy ra: $\frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} \Rightarrow | \vec{b} | = \frac{5}{2} | \vec{a} |$ .

Vì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $| \vec{b} | = \frac{5}{2} | \vec{a} |$ .
Do vậy $\vec{b} = - \frac{5}{2} \vec{a}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho hai vectơ a→ và b→ cùng phương, b→ khác 0→ và cho c→=|a→||b→|.b→. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ a→ và c→

Câu hỏi:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ và cho $\vec{c} = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b}$ . So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$

Trả lời:

Vì $| \vec{a} | \geq 0, | \vec{b} | > 0$ (độ dài của vectơ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ ).
Nên $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} \geq 0$ .
Mà $\vec{c} = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b}$ nên vectơ $\vec{c}$ cùng hướng với vectơ $\vec{b}$ .
Do đó vectơ $\vec{c}$ cùng phương với $\vec{b}$ , mà vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ .
Nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng phương.
Ta lại có: $| \vec{c} | = | \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b} | = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . | \vec{b} | = | \vec{a} |$ .
Vậy hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng độ dài và cùng phương.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy