Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng): a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B. b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Câu hỏi:

Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.
b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Trả lời:

a)
* Nhà máy A:
+ Số trung bình mức lương hàng tháng:
$\overline{x_A}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$.
+ Giá trị 4 và 5 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy A là 4 và 5.
+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.
Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q_2A = 5.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 4; 4; 4; 5. Do đó Q_1A = 4.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 6; 47. Do đó Q_3A = 5,5.
+ Phương sai mẫu:
$S_A^2=\frac{1}{8}$(4² + 5² + 5² + 47² + 5² + 6² + 4² + 4²) – 10² = 196.
+ Độ lệch chuẩn: S_A = $\sqrt{S_A^2}=\sqrt{196}=14$.
* Nhà máy B:
+ Số trung bình mức lương hàng tháng:
$\overline{x_B}=\frac{2+9+9+8+10+9+9+11+9}{9}\approx 8,4$.
+ Giá trị 9 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy B là 9.
+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.
Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2B = 9.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 8; 9; 9. Do đó Q_1B = 8,5.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 9; 10; 11. Do đó Q_3B = 9,5.
+ Phương sai mẫu:
$S_B^2=\frac{1}{9}$(2² + 8² + 9² + 9² + 9² + 9² + 9² + 10² + 11²) – 8,4² = 6,55.
+ Độ lệch chuẩn: S_B = $\sqrt{S_B^2}=\sqrt{6,55}\approx 2,6$.
b)
+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy A là: ∆_QA = 5,5 – 4 = 1,5.
Ta có: Q_3A + 1,5∆_QA = 5,5 + 1,5 . 1,5 = 7,75 và Q_1A – 1,5∆_QA = 4 – 1,5 . 1,5 = 1,75.
Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy A là 47.
+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy B là: ∆_QB = 9,5 – 8,5 = 1.
Ta có: Q_3B + 1,5∆_QB = 9,5 + 1,5 . 1 = 11 và Q_1B – 1,5∆_QB = 8,5 – 1,5 . 1 = 7.
Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy B là 2.
+ Quan sát các số liệu tính được ở câu a), ta thấy
– Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân ở nhà máy A cao hơn nhà máy B.
– Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở nhà máy A cao hơn nhà máy B nên mức lương hằng tháng của công nhân nhà máy A có độ phân tán cao hơn nhà máy B, do đó mức lương của công nhân nhà máy B ổn định hơn nhà máy A.
– Mức lương xuất hiện nhiều nhất trong mẫu A là 4 và 5 triệu đồng, nhà máy B là 9 triệu đồng.
Do đó, ta có thể khẳng định công nhân nhà máy A có mức lương cao hơn (đều và ổn định hơn).


 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu và Lâm Đồng (đơn vị: độ C)  Theo bạn, địa phương nào có thời tiết ôn hòa hơn?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu và Lâm Đồng (đơn vị: độ C)
    
   

   Theo bạn, địa phương nào có thời tiết ôn hòa hơn?

   Trả lời:

   Địa phương có thời tiết ôn hòa hơn là nơi nhiệt độ thay đổi ít hơn hay chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng ít hơn.
   Quan sát biểu đồ ta thấy các cột màu cam (thể hiện nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lâm Đồng) hầu như ngang bằng nhau hơn so với các cột màu xanh (thể hiện nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu) nên ta có thể dự đoán thời tiết ở Lâm Đồng ôn hòa hơn.
   Để biết được điều đó có chính xác không, ta cùng học qua bài học

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Thời gian hoàn thành bài chạy 5 km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:  a) Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm. b) Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thời gian hoàn thành bài chạy 5 km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:
    
   

   a) Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm.
   b) Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?

   Trả lời:

   a) Ở nhóm 1, người chạy nhanh nhất để hoàn thành 5 km là người có thời gian chạy ít nhất và thời gian chạy đó là 17 phút, người chạy chậm nhất là người có thời gian chạy nhiều nhất và thời gian chạy đó là 47 phút.
   Vậy độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là: 47 – 17 = 30 phút.
   Ở nhóm 2, người chạy nhanh nhất để hoàn thành 5 km là người có thời gian chạy ít nhất và thời gian chạy đó là 29 phút, người chạy chậm nhất là người có thời gian chạy nhiều nhất và thời gian chạy đó là 32 phút.
   Vậy độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là: 32 – 29 = 3 phút.
   b) Quan sát qua thời gian chạy của các thành viên trong hai nhóm thì ta thấy nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn vì thời gian chạy của các thành viên ở xung quang từ 29 đến 32 và độ chênh lệch thời gian giữa người chạy nhanh nhất và chậm nhất thấp.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau: a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7. b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:
   a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.
   b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.

   Trả lời:

   a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.
   + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 – 2 = 17.
   + Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q₂ = 10.
   + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó Q₁ = 3,5.
   + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó Q₃ = 14.
   + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 14 – 3,5 = 10,5.
   b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.
   + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 – 1 = 18.
   + Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q₂ = $\frac{1}{2}(9+10)=9,5$.
   + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó Q₁ = 5.
   + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó Q₃ = 15.
   + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 15 – 5 = 10.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học). a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng. b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).
   

   a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng.
   b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.

   Trả lời:

   a)
   * Tỉnh Lai Châu:
   Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.
   + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 24,7 – 14,2 = 10,5.
   + Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:
   Q₂ = $\frac{1}{2}(21,0+22,7)=21,85$.
   + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0.
   Do đó Q₁ = $\frac{1}{2}(18,6+18,8)=18,7$.
   + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.
   Do đó Q₃ = $\frac{1}{2}(23,6+24,2)=23,9$.
   + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 23,9 – 18,7 = 5,2.
   * Tỉnh Lâm Đồng:
   Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.
   + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R’ = 20,3 – 16,0 = 4,3.
   + Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:
   Q’₂ = $\frac{1}{2}(18,6+18,7)=18,65$.
   + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6.
   Do đó Q’₁ = $\frac{1}{2}(17,4+17,5)=17,45$.
   + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.
   Do đó Q’₃ = $\frac{1}{2}(19,5+19,8)=19,65$.
   + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆’_Q = 19,65 – 17,45 = 2,2.
   b) Xét về cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của cả hai tỉnh, ta thấy: 10,5 > 4,3 hay R > R’ và 5,2 > 2,2 hay ∆_Q > ∆’_Q.
   Điều đó có nghĩa là trong một năm, nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi hơn.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.

   Trả lời:

   Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.
   + Vì cỡ mẫu là n = 9 lá số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 10.
   + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 3; 9; 9. Do đó Q₁ = 6.
   + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 12; 12; 37. Do đó Q₃ = 12.
   + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 12 – 6 = 6.
   Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 12 + 1,5 . 6 = 21 và Q₁ – 1,5∆_Q = 6 – 1,5 . 6 = – 3.
   Do đó mẫu có một giá trị ngoại lệ là 37.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====