Làm thế nào để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc từ 0° đến 180°?

Câu hỏi:

Làm thế nào để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc từ 0° đến 180°?

Trả lời:

Để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho góc từ 0° đến 180° ta thực hiện như sau:
Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (x₀; y₀) là tọa độ của điểm M, ta có:
+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sinα;
+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cosα;
+ tang của α là tỉ số  (x₀ ≠ 0), được kí hiệu là tanα = $\frac{y_0}{x_0}$ ;
+ côtang của α là tỉ số (y₀ ≠ 0), được kí hiệu là cotα = $\frac{x_0}{y_0}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn α, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Áp dụng cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng: sinα = y0; cosα = x0 ; tanα = y0x0  ; cotα =x0y0 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn α, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Giả sử điểm M có tọa độ (x₀; y₀). Áp dụng cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:
   sinα = y₀; cosα = x₀ ; tanα = $\frac{y_0}{x_0}$  ; cotα =$\frac{x_0}{y_0}$ .
   

   Trả lời:

   Trong tam giác HOM vuông tại H có cạnh huyền OM = 1:
   Ta có, sinα = sin$\widehat{HOM}$ = $\frac{MH}{OM}$  = $\frac{y_0}{1}=y_0$ ;
   cosα = cos$\widehat{HOM}$  =$\frac{OH}{OM}$ = $\frac{x_0}{1}=x_0$ ;
   tanα = $\frac{MH}{OH}$  = $\frac{y_0}{x_0}$ ;
   cotα  = $\frac{OH}{MH}$  = $\frac{x_0}{y_0}$.
   Vậy sinα  = y₀; cosα  = x₀ ; tanα  = $\frac{y_0}{x_0}$  ; cotα =$\frac{x_0}{y_0}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

   Trả lời:

   

   Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho$\widehat{xOM}={135}^o$ . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
   Vì  $\widehat{xOM}={135}^o$nên $\widehat{MOP}={45}^o$ , $\widehat{MON}={45}^o$ .
   Tam giác MOP là tam giác vuông cân với cạnh huyền OM = 1.
   cos $\widehat{MOP}$ = cos45° = $\frac{OP}{OM}$ =$\frac{OP}{1}=OP$
   Mà cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
   Do đó: OP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
   Tam giác MON vuông tại N có góc $\widehat{MON}={45}^o$  và cạnh huyền OM = 1
   cos $\widehat{MON}$ = cos 45° = $\frac{ON}{OM}$ =$\frac{ON}{1}=ON$
   Mà cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Do đó: ON = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
   Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .
   Vậy theo định nghĩa ta có:
   sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$  ;
   cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;
   tan135° =  – 1;
   cot135° =  – 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc xOM^  và xON^ . 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc $\widehat{xOM}$  và $\widehat{xON}$ .
    
   

   Trả lời:

   Gọi đường kính của nửa đường tròn đơn vị là AB như hình dưới.
   

   Do NM // Ox nên hai cung bị chắn giữa dây cung NM và đường kính AB bằng nhau, tức là $\stackrel{⏜}{AN}=\stackrel{⏜}{MB}$
   ⇒ $\widehat{NOA}=\widehat{xOM}=\alpha$  (hai góc ở tâm bằng nhau).
   Mặt khác  $\widehat{xON}$+ $\widehat{NOA}$  = 180° (hai góc kề bù).
   ⇒ $\widehat{xON}$  + $\widehat{xOM}$  = 180°.
   Vậy $\widehat{xON}$  + $\widehat{xOM}$  = 180°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Tính các giá trị lượng giác: sin120°; cos150°; cot135°.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính các giá trị lượng giác: sin120°; cos150°; cot135°.

   Trả lời:

   Ta có sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
   cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$  ;
   cot135° = cot(180° – 45°) = – cot45° = –1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Cho biết sinα = 12 , tìm góc α (0° ≤ α  ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biết sinα = $\frac{1}{2}$ , tìm góc α (0° ≤ α  ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

   Trả lời:

   Trên trục Oy của nửa đường tròn đơn vị lấy điểm $H\left(0;\frac{1}{2}\right)$ .
   Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với trục Ox, cắt nửa đường tròn tại hai điểm M và M’.
   

   Ta có góc α cần tìm là : $\widehat{xOM}$  và $\widehat{xOM‘}$ .
   Với α = $\widehat{xOM}$  và sinα = $\frac{1}{2}$  ⇒ α  = 30°.
   Mặt khác sin30° = sin(180° – 30°), tức là sin30° = sin150°.
   Suy ra $\widehat{xOM‘}={150}^o$  .
   Vậy α  = 30° hoặc α  = 150°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====