Một người chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 30° (so với mặt đất). Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 8 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

Câu hỏi:

Một người chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 30° (so với mặt đất). Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 8 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy.
Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v₀ = 8 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:
\(y = – \frac{{9,8{x^2}}}{{{{2.8}^2}.co{s^2}({{30}^o})}} + \tan ({30^o}).x + 0,7 = \frac{{ – 4,9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,7\)
Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình
\(\frac{{ – 4,9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,7 = 0\) ta được x₁ ≈ –1,03 và x₂ ≈ 6,68
Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất khoảng 6,68 m.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song. Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết: – Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau. – Nhịp cầu dài 30 m. – Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.
   Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:
   – Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.
   – Nhịp cầu dài 30 m.
   – Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.
   

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   
   Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
   Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 1,5 m.
   Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
   Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:
   a.0² + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8
   Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x₁ = –15 và x₂ = 15
   Từ đó ta có:
   a.(–15)² + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2 (1)
   a.15² + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2 (2)
   Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}225a – 15b = 4,2\\225a + 15b = 4,2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{{375}}\\b = 0\end{array} \right.\)
   Vậy phương trình parabol cần tìm là: \(y = \frac{7}{{375}}{x^2} + 0,8\)
   Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:
   Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)
   Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.1,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.1,5}^2} + 0,8} \right) = 0,8841\) (m)
   Tại x = 3 và x = –3 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.3^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.3}^2} + 0,8} \right) = 1,0164\) (m)
   Tại x = 4,5 và x = –4,5 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.4,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.4,5}^2} + 0,8} \right) = 1,2369\) (m)
   Tại x = 6 và x = –6 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.6^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.6}^2} + 0,8} \right) = 1,5456\) (m)
   Tại x = 7,5 và x = –7,5 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.7,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.7,5}^2} + 0,8} \right) = 1,9425\) (m)
   Tại x = 9 và x = –9 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.9^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.9}^2} + 0,8} \right) = 2,4276\) (m)
   Tại x = 10,5 và x = –10,5 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.10,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.10,5}^2} + 0,8} \right) = 3,0009\)(m)
   Tại x = 12 và x = –12 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.12^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.12}^2} + 0,8} \right) = 3,6624\)(m)
   Tại x = 13,5 và x = –13,5 thì độ dài dây là:
   \(\frac{7}{{375}}{.13,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.13,5}^2} + 0,8} \right) = 4,4121\)(m)
   Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:
   5 + 5%.5 = 5,25 (m)
   Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:
   2.0,84 + 4 . (0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 103,194 (m).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Một cửa hàng buôn giày nhập một đôi với giá là 40 đô. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày bán được với giá x đô thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 120 – x đôi giày. Hỏi cửa hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một cửa hàng buôn giày nhập một đôi với giá là 40 đô. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày bán được với giá x đô thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 120 – x đôi giày. Hỏi cửa hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất.

   A. 80 đô;

   Đáp án chính xác

   B. 160 đô;

   C. 40 đô;

   D. 240 đô.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày
   Ta có: y = (120 – x)(x – 40) = –x² + 160x – 4800
   Xét hàm số y = –x² + 160x – 4800 có a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại
   \(x = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – 160}}{{2.( – 1)}} = 80\)
   Vậy cửa hàng bán một đôi giày giá 80 đô thì thu được nhiều lãi nhất.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A, B trên mỗi trục AA’ và BB’ với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn A’B’ trên nền cầu bằng 200 m. Độ cao ngắn nhất của dây chuyền trên cầu là OC = 5 m. Gọi Q’, P’, H’, O, I’, J’, K’ là các điểm chia đoạn A’B’ thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây chuyền: QQ’, PP’, HH’, OC, II, JJ’, KK’ gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A, B trên mỗi trục AA’ và BB’ với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn A’B’ trên nền cầu bằng 200 m. Độ cao ngắn nhất của dây chuyền trên cầu là OC = 5 m. Gọi Q’, P’, H’, O, I’, J’, K’ là các điểm chia đoạn A’B’ thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây chuyền: QQ’, PP’, HH’, OC, II, JJ’, KK’ gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo ?
   

   A. 78,75 m;

   Đáp án chính xác

   B. 36,87 m;

   C. 73,74 m;

   D. Đáp án khác.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   
   Giả sử parabol có phương trình: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
   Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A(100; 30) và có đỉnh C(0; 5). Đoạn AB chia làm 8 phần, mỗi phần 25 m.
   Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}30 = 10000a + 100b + c\\\frac{{ – b}}{{2a}} = 0\\5 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{400}}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5\)
   Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng
   OC + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃
   = \(5 + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right) = 78,75\)(m).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Một người chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 30° (so với mặt đất). Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 12 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một người chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 30° (so với mặt đất). Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 12 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

   A. 11,456 m;

   B. 12,23 m;

   C. 13 m;

   D. 13,84 m.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: D.
   Cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 12 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).
   Chọn hệ trục tọa độ Oxy
   Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v₀ = 12 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:
   \(y = \frac{{ – 9,8.{x^2}}}{{{{2.12}^2}.co{s^2}{{30}^o}}} + \tan {30^o}.x + 0,7 = – \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,7\)(với x ≥ 0)\(\)
   Khi x = 4, ta có \(y = – \frac{{49}}{{1080}}{.4^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 + 0,7 \approx 2,283\)> 1,524
   Như vậy, cầu đã vượt qua lưới. Điểm rơi của cầu là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình:
   \( – \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,7 = 0\) ta được: x_1­ ≈ 13,84 và x₂ ≈ –1,11
   Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất (giống bài toán tầm bay cao, tầm bay xa). Biết quỹ đạo của quả bóng là một parabol trong trục tọa độ Oth với t là thời gian, h là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m. Sau 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau nó ở độ cao 6 m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất (giống bài toán tầm bay cao, tầm bay xa). Biết quỹ đạo của quả bóng là một parabol trong trục tọa độ Oth với t là thời gian, h là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m. Sau 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau nó ở độ cao 6 m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t.

   A. y = 4,9t² + 12,2t + 1,2;

   B. y = –4,9t² + 12,2t + 1,2;

   Đáp án chính xác

   C. y = –4,9t² + 12,2t – 1,2;

   D. y = –4,9t² – 12,2t + 1,2.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   
   Chọn hệ trục Oth như hình
   Tại t = 0 ta có: h = 1,2
   Tại t = 1 ta có: h = 8,5
   Tại t = 2 ta có: h = 6
   Parabol có phương trình y = at² + bt + c (a ≠ 0)
   Theo bài ta có: A(0; 1,2), B(1; 8,5), C(2; 6) thuộc parabol
   Do đó, có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a = – 4,9\\b = 12,2\end{array} \right.\)
   Vậy hàm số cần tìm có dạng y = –4,9t² + 12,2t + 1,2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====