Một người đứng ở điểm A trên bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Câu hỏi:

Một người đứng ở điểm A trên bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Trả lời:

Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.
Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).
Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC – CD = 0,8 – x (km).
Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có:
AD² = AC² + CD² = (0,3)² + x² = 0,09 + x²
 $\Rightarrow AD=\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}$ (km)
Do đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là $\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}$  km, mà vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là $t_1=\frac{\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{6}$  (giờ).
Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 – x (km) và vận tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là  $t_2=\frac{\mathrm{0,8}-x}{10}$ (giờ).
Tổng thời gian người đó chèo thuyền là  t₁ + t₂ = t = 0,12 (giờ).
Khi đó ta có phương trình:  $\frac{\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{6}+\frac{\mathrm{0,8}-x}{10}=\mathrm{0,12}$
$\iff \frac{5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{30}+\frac{3\left(\mathrm{0,8}-x\right)}{30}=\mathrm{0,12}$
$\iff 5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}+\mathrm{2,4}-3x=\mathrm{3,6}$
$\iff 5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}=\mathrm{1,2}+3x$ (1)
Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(0,09 + x²) = (1,2 + 3x)²
⇔ 2,25 + 25x² = 1,44 + 7,2x + 9x²
⇔ 16x² – 7,2x + 0,81 = 0
⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0)
Suy ra x = 0,225 km = 225 m.
Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225 m. 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (Hình 31). Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình Làm thế nào để tìm được giá trị của x?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (Hình 31).
   
   Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình
   Làm thế nào để tìm được giá trị của x?

   Trả lời:

   Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình $\sqrt{{\left(8-40x\right)}^2+{\left(7-40x\right)}^2}=5$  (1).
   Điều kiện xác định: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² ≥ 0.
   Sau bài học này, ta sẽ giải được phương trình trên như sau:
   Bình phương hai vế ta có: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² = 25
   ⇔ 1 600x² – 640x + 64 + 1 600x² – 560x + 49 = 25
   ⇔ 3 200x² – 1 200x + 88 = 0
   ⇔ 400x² – 150x + 11 = 0
   Phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = 0,1, x₂ = 0,275.
   Thử lại với điều kiện, ta thấy x = 0,1 thỏa mãn.
   Vậy x = 0,1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Giải phương trình: 3×2−4x+1=x2+x−1 (1).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-4x+1}=\sqrt{x^2+x-1}$ (1).

   Trả lời:

   Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x² – 4x + 1 = x² + x – 1 (2).
   Ta có: (2) ⇔ 2x² – 5x + 2 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ .
   Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.
   Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Giải phương trình: 3x−5=x−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $\sqrt{3x-5}=x-1$

   Trả lời:

   Ta có: $\sqrt{3x-5}=x-1$  (1).
   Trước hết ta giải bất phương trình x – 1 ≥ 0 (2).
   Ta có: (2) ⇔ x ≥ 1.
   Bình phương hai vế của (1) ta được 3x – 5 = (x – 1)² (3).
   Ta có: (3) ⇔ 3x – 5 = x² – 2x + 1 ⇔ x² – 5x + 6 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.$ .
   Do đó phương trình (3) có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.
   Hai giá trị trên đều thỏa mãn x ≥ 1.
   Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Giải các phương trình sau: a) 2×2−3x−1=2x+3  ; b) 4×2−6x−6=x2−6 ; c) x+9=2x−3 ; d) −x2+4x−2=2−x .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các phương trình sau:
   a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$  ;
   b) $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ ;
   c) $\sqrt{x+9}=2x-3$ ;
   d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ .

   Trả lời:

   a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$  (1)
   Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x² – 3x – 1 = 2x + 3
   ⇔ 2x² – 3x – 1 – 2x – 3 = 0
   ⇔ 2x² – 5x – 4 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{array}\right.$

   Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).
   Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$  và$x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$ .
   b)  $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ (2)
   Bình phương hai vế của (2) ta được: 4x² – 6x – 6 = x² – 6
   ⇔ 4x² – x² – 6x – 6 + 6 = 0
   ⇔ 3x² – 6x = 0
   ⇔ 3x(x – 2) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

   Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).
   Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
   c)   $\sqrt{x+9}=2x-3$(3)
   Trước hết ta giải bất phương trình 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{3}{2}$ .
   Bình phương cả hai vế của (3) ta được: x + 9 = (2x – 3)²
   ⇔ x + 9 = 4x² – 12x + 9
   ⇔ 4x² – 12x + 9 – x – 9 = 0
   ⇔ 4x² – 13x = 0
   ⇔ x(4x – 13) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 4x-13=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{13}{4}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có giá trị x =$\frac{13}{4}$  thỏa mãn x ≥$\frac{3}{2}$ .
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =$\frac{13}{4}$ .
   d)   $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ (4)
   Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.
   Bình phương hai vế của (4) ta được: – x² + 4x – 2 = (2 – x)²
   ⇔ – x² + 4x – 2 = 4 – 4x + x²
   ⇔ 2x² – 8x + 6 = 0
   ⇔ x² – 4x + 3 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Giải các phương trình sau: a) 2−x+2x=3 ; b) −x2+7x−6+x=4 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các phương trình sau:
   a) $\sqrt{2-x}+2x=3$ ;
   b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$ .

   Trả lời:

   a) $\sqrt{2-x}+2x=3$
    $\iff \sqrt{2-x}=3-2x$ (1) 
   Ta giải bất phương trình: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$ .
   Bình phương hai vế của (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)²
   ⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x²
   ⇔ 4x² – 11x + 7 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên ta thấy x = 1 thỏa mãn x ≤ $\frac{3}{2}$ .
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
   b)   $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$  (2)$\iff \sqrt{-x^2+7x-6}=4-x$

   Ta giải bất phương trình: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.
    Bình phương hai vế của (2) ta được: – x² + 7x – 6 = (4 – x)²
   ⇔ – x² + 7x – 6 = 16 – 8x + x²
   ⇔ 2x² – 15x + 22 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{11}{2}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có x = 2 thỏa mãn x ≤ 4.
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====