Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau: – Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B. – Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn 12  số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Biết giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Phương án dùng hai loại vitamin A, B thoả mãn các điều kiện trên để có số tiền phải trả là ít nhất là:

Câu hỏi:

Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:
– Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.
– Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B.
Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn $\frac{1}{2}$  số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.
Biết giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Phương án dùng hai loại vitamin A, B thoả mãn các điều kiện trên để có số tiền phải trả là ít nhất là:

A. 500 đơn vị vitamin A và 500 đơn vị vitamin B;

B. 600 đơn vị vitamin A và 400 đơn vị vitamin B;

C. 600 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B;

D. 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi x là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày. (x ≥ 0)
Gọi y là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày. (y ≥ 0)
Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên x ≤ 600 và y ≤ 500.
Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B nên:
400 ≤ x + y ≤ 1000.
Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn  số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên:
 $\left\{\begin{array}{l}y\ge \frac{1}{2}x\\ y\le 3x\end{array}\right.$ .
Ta có hệ bất phương trình giữa x và y:
$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x\le 600\\ y\le 500\\ x+y\ge 400\\ x+y\le 1000\\ y\ge \frac{1}{2}x\\ y\le 3x\end{array}\right.$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
– Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600:
+ Vẽ đường thẳng d₁: x = 600 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
+ Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta được 0 ≤ 600 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x ≤ 600.
Vậy miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa điểm O.
* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

– Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≤ 500: là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂: y = 500) chứa điểm O.
– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≥ 400: là nửa mặt phẳng bờ d₃ (kể cả bờ d₃: x + y = 400) không chứa điểm O.
– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + y ≤ 1000: là nửa mặt phẳng bờ d₄ (kể cả bờ d₄: x + y = 1000) chứa điểm O.
– Miền nghiệm D₅ của bất phương trình y ≥ $\frac{1}{2}$ x: là nửa mặt phẳng bờ d₅ (kể cả bờ d₅: $y=\frac{1}{2}x$ ) chứa điểm M(0; 50).
– Miền nghiệm D₆ của bất phương trình y ≤ 3x: là nửa mặt phẳng bờ d₆ (kể cả bờ d₆: y = 3x) không chứa điểm M (0; 50).
Ta có đồ thị sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của đa giác ABCDEF với:
A(100; 300), B $\left(\frac{500}{3};500\right)$, C(500; 500), D(600, 400), E(600, 300), F $\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right)$
Số tiền trả cho x đơn vị vitamin A và y đơn vị vitamin B là: F (x; y) = 9x + 7,5y.
Để có số tiền phải trả là ít nhất thì F(x; y) phải nhỏ nhất.
Tại A(100; 300): F = 9.100 + 7,5. 300 = 3150;
Tại B $\left(\frac{500}{3};500\right)$: F = 9.  + 7,5. 500 = 5250;
Tại C(500; 500): F = 9. 500 + 7,5. 500 = 8250;
Tại D(600, 400): F = 9. 600 + 7,5. 400 = 8400;
Tại E(600, 300): F = 9. 600 + 7,5. 300 = 7650;
Tại F $\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right)$: F = 9.   + 7,5.  = 3400;
Vậy F(x; y) nhỏ nhất là 3150 khi x =100 và y = 300.
Vậy mỗi người sẽ dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo các điều kiện số lượng sử dụng và chi phí phải trả là ít nhất.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

   A. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6>0\\ 2x+y+4>0\end{array}\right.$

   B. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6>0\\ 2x+y+4<0\end{array}\right.$

   C. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4>0\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   D. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4<0\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   Thay điểm O(0; 0) vào từng đáp án ta có :
   Đáp án A, B sai vì 0 + 3.0 – 6 < 0 không thỏa mãn bất phương trình x + 3y – 6 > 0.
   Đáp án D sai vì 2.0 + 0 + 4 > 0 không thỏa mãn bất phương trình 2x + y + 4 < 0.
   Đáp án C 0 + 3.0 – 6 < 0 thỏa mãn, 2.0 + 0 + 4 > 0 thỏa mãn
   Vậy đáp án đúng là C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình x+3y−2≥02x+y+1≤0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3y-2\ge 0\\ 2x+y+1\le 0\end{array}\right.$

   A. (0; 1);

   B. (– 1; 1);

   Đáp án chính xác

   C. (1; 3);

   D. (– 1; 0).

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   Xét đáp A: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}0+3.1-2>0\\ 2.0+1+1>0\end{array}\right.$  không thỏa mãn hệ bất phương trình.
   Xét đáp án B: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}-1+3.1-2=0\\ 2.(-1)+1+1=0\end{array}\right.$  thỏa mãn hệ bất phương trình
   Xét đáp án C: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}1+3.3-2>0\\ 2.1+3+1>0\end{array}\right.$  không thỏa mãn hệ bất phương trình
   Xét đáp án D: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}-1+3.0-2<0\\ 2.(-1)+3+1>0\end{array}\right.$  không thỏa mãn hệ bất phương trình
   Vậy đáp án đúng là B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ: y−2x≤22y−x≥4x+y≤5là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ: $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$là:

   A. min F(x; y) = 1 khi x = 2, y = 3;

   Đáp án chính xác

   B. min F(x; y) = 2 khi x = 0, y = 2;

   C. min F(x; y) = 3 khi x = 1, y = 4;

   D. min F(x; y) = 7 khi x = 6, y = – 1.

   Trả lời:

   Đáp án Đúng là: A
   Ta tìm miền nghiệm xác định bởi hệ
   Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).
   Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2.
   Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
   Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).
   Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.
   Do đó điểm O(0; 0) không thuộc nềm nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
   Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).
   Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.
   Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
   Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.
   
   Miền nghiệm của hệ là tam giác ABC với A(1; 4), B(0; 2), C(2; 3).
   Ta tính giá trị của F(x; y) = y – x tại các giao điểm:
   Tính F(x; y) = y – x suy ra F(1; 4) = 4 – 1 = 3.
   Tính F(x; y) = y – x suy ra F(0; 2) = 2 – 0 = 2.
   Tính F(x; y) = y – x suy ra F(2; 3) = 3 – 2 = 1.
   Vậy min F(x; y) = 1 khi x = 2, y = 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình x+y−2≤02x−3y+2>0  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}\right.$  là

   A. (0; 0);

   B. (1; 1);

   C. (– 1; 1);

   Đáp án chính xác

   D. (– 1; – 1).

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   Xét đáp án A ta có: $\left\{\begin{array}{c}0+0-2<0\\ 2.0-3.0+2>0\end{array}\right.$  đáp án A thoả mãn hệ bất phương trình
   Xét đáp án B ta có : $\left\{\begin{array}{c}1+1-2=0\\ 2.1-3.1+2>0\end{array}\right.$  đáp án B thoả mãn hệ bất phương trình
   Xét đáp án C ta có : $\left\{\begin{array}{c}-1+1-2<0\\ 2.(-1)-3.1+2<0\end{array}\right.$  đáp án C không  thoả mãn hệ bất phương trình
   Xét đáp án D ta có : $\left\{\begin{array}{c}-1+(-1)-2<0\\ 2.(-1)-3.(-1)+2>0\end{array}\right.$  đáp án D thoả mãn hệ bất phương trình
   Vậy đáp án đúng là C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Cho hệ 2x+3y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}2x+3y<5\left(1\right)\\ x+\frac{3}{2}y<5\left(2\right)\end{array}\right.$ . Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

   A. $S_1\subset S_2$ ;

   Đáp án chính xác

   B. $S_2\subset S_1$;

   C. S₂ = S;

   D. S₁ ≠ S.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
   (d₁): 2x + 3y = 5
   Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 5. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₁)
   Vẽ đường thẳng (d₂):$x+\frac{3}{2}y=5$ .
   Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<5$ , thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<5$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₂).
   Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây
   
   Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có $S_1\subset S_2$ ; S₁ = S; S₂ $\ne$ S. Vậy $S_1\subset S_2$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====