Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Tính thể tích khối chóp O.ABC

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Tính thể tích khối chóp O.ABC

A. 1372/9

B. 686/9

Đáp án chính xác

C. 524/3

D. 343/9

Trả lời:

Chọn B
Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 
Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Ta có: d(O, (P)) = OH ≤ OM
Do đó max d(O, (P)) = OM khi và chỉ khi (P) qua M nhận  làm VTPT.
Do đó (P) có phương trình: 
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

   A. 6x + 3y – 2z – 6 = 0

   B. x + 2y + 3z – 14 = 0

   Đáp án chính xác

   C. x + 3y + 2z – 11 = 0

   $\mathbf{D}.\frac{\mathrm{x}}{1}+\frac{\mathrm{y}}{2}+\frac{\mathrm{z}}{3}=3$

   Trả lời:

   Chọn B
   Gọi A (a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với abc ≠ 0. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C là
   .
   Vì M(1;2;3) ∈ (P) nên ta có: .
   Điểm M là trực tâm của tam giác ABC.
   
   
   Phương trình mặt phẳng (P) là:  <=> x + 2y + 3z – 14 = 0

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Tìm điểm M sao cho 3MA2 + 2MB2 – MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Tìm điểm M sao cho 3MA² + 2MB² – MC² đạt giá trị nhỏ nhất.

   $\mathbf{A}\mathbf{.} M\left(\frac{3}{4};\frac{1}{2};–1\right)$

   $\mathbf{B}\mathbf{.} M\left(–\frac{3}{4};\frac{1}{2};2\right)$

   $\mathbf{C}. M\left(–\frac{3}{4};\frac{3}{2};–1\right)$

   $\mathbf{D}\mathbf{.} M\left(–\frac{3}{4};\frac{1}{2};–1\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Cách 1: Giả sử
   
   
   Cách 2: Ta có:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C (0;0;c), trong đó a &gt; 0, b &gt; 0, c &gt; 0. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm I (1;2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất. Khi đó các số a, b, c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C (0;0;c), trong đó a > 0, b > 0, c > 0. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm I (1;2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất. Khi đó các số a, b, c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?

   A. a + b + c = 12

   B. a² + b = c – 6

   C. a + b + c = 18

   Đáp án chính xác

   D. a + b – c = 0

   Trả lời:

   Chọn C
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Cho tứ diện ABCD có BD = 2, hai tam giác ABD, BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 16, tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD có BD = 2, hai tam giác ABD, BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 16, tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

   A. arccos(4/15)

   B. 1

   C. arcsin(4/5)

   Đáp án chính xác

   D. arccos(4/5)

   Trả lời:

   Chọn C
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Trong không gian Oxyz, cho điểm H (2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho điểm H (2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

   A. 2x + y + z – 6 = 0

   Đáp án chính xác

   B. x + 2y + z – 6 = 0

   C. x + 2y + 2z – 6 = 0

   D. 2x + y + z + 6 = 0

   Trả lời:

   Chọn A
   Cách 1. Giả sử A (a; 0; 0) ∈ Ox, B (0;b;0) ∈ Oy, C (0;0;c) ∈ Oz.
   Khi đó mặt phẳng (P) có dạng: 
   
   Do H là trực tâm tam giác ABC nên:
   
   Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: 
   
   Cách 2. Vì tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông tại O và H là trực tâm tam giác ABC nên  (tham khảo bài tập 4, trang 105 SGK HH11).
   Suy ra  Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x + y + x + D = 0
   H ∈ (P) nên: 2.2 + 1 + 1 + D = 0 => D = -6
   Vậy phương trình mặt phẳng  là: 2x + y + z – 6 = 0

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====