Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với A^=600, gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm A, B, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Câu hỏi:

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với $\hat{\mathrm{A}}={60}^0$, gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm A, B, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Trả lời:

Xét tứ giác AB’HC’ ta có:$\widehat{\mathrm{B}‘\mathrm{HC}‘}={360}^0–\left(\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}\right)={360}^0–\left({60}^0+{90}^0+{60}^0\right)={120}^0\Rightarrow \widehat{\mathrm{BHC}}=\widehat{\mathrm{B}‘\mathrm{HC}‘}={120}^0$Xét $∆\mathrm{BIC}$ ta có:$\widehat{\mathrm{BIC}}={180}^0–\left(\widehat{\mathrm{BIC}}+\widehat{\mathrm{ICB}}\right)={180}^0–\left(\frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}+\frac{\hat{\mathrm{C}}}{2}\right)={180}^0–\frac{1}{2}\left({180}^0–\hat{\mathrm{A}}\right)={120}^0$Như vậy, H và I đều nằm trên cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên BC.Mặt khác, $∆\mathrm{ABC}$ nội tiếp trong đường tròn tâm O nên góc nội tiếp $\widehat{\mathrm{BAC}}$ trong đường tròn (O) có số đo là${60}^0=\widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{1}{2}\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{BOC}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{BOC}}={120}^0$Vậy O nằm trên cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên BC.Nghĩa là 5 điểm B, C, O, I, H nằm trên cùng một đường tròn chứa cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên BC.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho ∆ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích I khi A thay đổi.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $∆\mathrm{ABC}$ vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích I khi A thay đổi.

   Trả lời:

   Phần thuận: Ta có:Vì B, C cố định, A thay đổi, I luôn nhìn cạnh BC dưới một góc ${135}^0$ nên I di chuyển trên cung chứa góc ${135}^0$ dựng trên BC.Phần đảo: Lấy điểm I là giao của cung chứa góc ${135}^0$ dựng trên BC và tia phân giác trong góc $\widehat{\mathrm{ACB}}$, ta chứng minh I cũng thuộc tia phân giác trong của góc $\widehat{\mathrm{ABC}}$.Xét tam giác IBC, ta có:Nên BI là phân giác trong của $∆\mathrm{ABC}$. Hay I là tâm đường tròn nội tiếp $∆\mathrm{ABC}$ (I là giao điểm của ba đường phân giác trong)Giới hạn:- Khi $\mathrm{I}\equiv \mathrm{B}$ thì ba điểm A, B, C thẳng hàng (trái giả thiết)- Khi $\mathrm{I}\equiv \mathrm{C}$ thì ba điểm A, B, C thẳng hàng (trái giả thiết)Vậy quỹ tích điểm I là cung chứa góc dựng trên cạnh BC đối xứng nhau qua BC, bỏ đi điểm B và C.Kết luận: Quỹ tích điểm I là cung chứa góc ${135}^0$ dựng trên cạnh BC đối xứng nhau qua BC, bỏ đi điểm B và C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

   Trả lời:

   Phần thuận: Theo tính chất của tiếp tuyến ta có: $\mathrm{AT}\perp \mathrm{BT}$Do đó, A, B cố định. T nhìn AB dưới một góc vuông nên T di chuyển trên đường trong đường kính AB.Phần đảo: lấy điểm T thuộc đường tròn đường kính AB.Khi đó $\mathrm{AT}\perp \mathrm{BT}$ tại T nên AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính $\mathrm{BT}\le \mathrm{AB}$Giới hạn:- Khi $\mathrm{T}\equiv \mathrm{B}$ thì bán kính đường tròn tâm B thỏa yêu cầu đề bài là 0 (vô lí)- Khi $\mathrm{T}\equiv \mathrm{C}$ thì bán kính đường tròn tâm B thỏa yêu cầu đề bài là AB.Vậy quỹ tích tiếp điểm T là đường tròn đường kính AB bỏ đi điểm B.Kết luận: Quỹ tích tiếp điểm T là đường tròn đường kính AB bỏ đi điểm B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Xét ∆ABC có BC = 6 cm, cố định, A^=1200a) Tìm quỹ tích các điểm Ab) Điểm A ở vị trí nào thì ∆ABC có diện tích lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét $∆\mathrm{ABC}$ có BC = 6 cm, cố định, $\hat{\mathrm{A}}={120}^0$a) Tìm quỹ tích các điểm Ab) Điểm A ở vị trí nào thì $∆\mathrm{ABC}$ có diện tích lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó?

   Trả lời:

   a) Ta thực hiện theo các phần:Phần thuận: Do BC cố định, $\widehat{\mathrm{BAC}}={120}^0$ nên A di chuyển trên hai cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên BC.Phần đảo: lấy điểm A thuộc cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên BC, ta thấy ngay $\widehat{\mathrm{BAC}}={120}^0$Giới hạn: Khi A trùng với B, C thì ba điểm A, B, C thẳng hàng (trái giả thiết)Vậy quỹ tích các điểm A là hai cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên đoạn BC, bỏ đi điểm B, C.Kết luận: Quỹ tích các điểm A là hai cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên đoạn BC, bỏ đi điểm B, C.b) Hạ AH vuông góc với BC, ta có ngay:Do đó, ${\mathrm{S}}_{∆\mathrm{ABC}}$ có giá trị nhỏ nhất khi AH lớn nhất <=> A là điểm ở chính giữa cung chứa góc.Khi đó, xét $∆\mathrm{ABH}$ vuông tại H, ta có$\widehat{\mathrm{BAH}}={60}^0\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABH}}={30}^0$$\Rightarrow \mathrm{AB}=2\mathrm{AH}$Xét tam giác ABH ta có

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên cung AF sao cho sd EF⏜=600). Hai tia AE và BF cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các điểm M khi cung EF⏜ chuyển động trên nửa đường tròn.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên cung AF sao cho sd $\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}={60}^0$). Hai tia AE và BF cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các điểm M khi cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}$ chuyển động trên nửa đường tròn.

   Trả lời:

   Phần thuận: giả sử có điểm M sao cho $\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}={60}^0$, ta có:$\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}–\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}}{2}=\frac{{180}^0–{60}^0}{2}={60}^0$Vậy điểm M nằm trên cung chứa góc ${60}^0$ dựng trên đoạn thẳng AB (cung này thuộc mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn cho trước)Giới hạn: ta có:- Nếu $\mathrm{E}\equiv \mathrm{A}$ => $\mathrm{M}\equiv {\mathrm{M}}_0$, với ${\mathrm{M}}_0$ là giao điểm của cung chứa góc với tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đường kính AB.- Nếu $\mathrm{F}\equiv \mathrm{B}$ => $\mathrm{M}\equiv {\mathrm{M}}_1$, với ${\mathrm{M}}_1$ là giao điểm của cung chứa góc với tiếp tuyến By của nửa đường tròn dường kính Ab. Do đó, điểm M chỉ nằm trên cung $\stackrel{⏜}{{\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1}$Phần đảo: lấy điểm M nằm trên cung $\stackrel{⏜}{{\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1}$. Nối MA, MB cắt nửa đường tròn đường kính AB lần lượt tại E và F. Ta phải chứng minh số đo $\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}={60}^0$Thật vậy:$\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}–\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}}{2}$$\Rightarrow \mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}=\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}–2\widehat{\mathrm{AMB}}$$={180}^0–2.{60}^0={60}^0$Kết luận: quỹ tích các điểm M là cung $\stackrel{⏜}{{\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1}$ của cung chứa góc ${60}^0$ dựng trên đoạn thẳng AB (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn đã cho)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Dựng cung chứa góc 600 trên đoạn AB = 4 cm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dựng cung chứa góc ${60}^0$ trên đoạn AB = 4 cm.

   Trả lời:

   Ta lần lượt thực hiện:- Dựng đoạn AB = 4 cm và đường trung trực của AB- Dựng tia Ax sao cho $\widehat{\mathrm{xAB}}={60}^0$– Dựng tia Ay vuông góc với Ax cắt tại O.– Dựng đường tròn (O;OA) và chỉ lấy phần cung cùng phía với O, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{\mathrm{AmB}}$– Lấy đối xứng cung qua Ab được cung $\stackrel{⏜}{{\mathrm{Am}}_1\mathrm{B}}$.Vậy hai cung  và  là cung chứa góc cần dựng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====