Giải SGK Toán 10 Bài 7 (Kết nối tri thức): Các khái niệm mở đầu

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Giải Toán 10 trang 46 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi mở đầu trang 46 Toán lớp 10: Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết. Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, còn gió có cả hướng và độ lớn. Với một đơn vị đo, ta có thể dùng số để biểu diễn nhiệt độ. Đối với các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc gió thì sao? Ta có dùng đối tương toán học nào để biểu diễn chúng?

Lời giải:

Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn vận tốc gió.

Trong đó: hướng của vecto là hướng gió, độ dài vecto biểu thị độ lớn của vận tốc gió.

1. Khái niệm vectơ

Giải Toán 10 trang 47 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 47 Toán lớp 10: Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp về hướng nam thì tới đảo B (h.4.2). Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilômét?

Phương pháp giải:

Xét tam giác, dựa vào độ dài 2 cạnh đã có để suy ra góc A.

Dựa vào định lí Pytago để tính cạnh AB

Từ đó kết luận hướng đi và quãng đường phải đi.

Lời giải:

Gọi C là điểm mà tại đó tàu đổi từ hướng đông sang hướng Nam

Xét tam giác ABC ta có:

$AC=BC=10\left(km\right)$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân tại C.

$\iff \hat{A}={45}^o$

Vậy con tàu phải đi theo hướng đông nam, góc ${45}^o$ so với hướng Đông.

Quãng đường con tàu phải đi là: $AB=AC.\sqrt{2}=10.\sqrt{2}\approx 14,142\left(km\right)$

Luyện tập 1 trang 47 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC với cạnh có độ dài bằng a. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Nhắc lại:

+) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

+) Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng ấy.

Lời giải:

Các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CB}$

Chú ý khi giải:

Vectơ $\overrightarrow{AB}$ khác vectơ $\overrightarrow{BA}$ (khác nhau điểm đầu và điểm cuối).

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

HĐ2 trang 47 Toán lớp 10: Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng.

a) Các làn đường song song với nhau.

b) Các xe chạy theo cùng một hướng

c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Phương pháp giải:

Quan sát làn đường và hướng đi chuyển (mũi tên) của các xe.

Lời giải:

a) Các làn đường song song với nhau: Đúng.

b) Các xe chạy theo cùng một hướng: Sai.

Trong hình 4.5: Có 3 xe chạy theo hướng từ trên xuống dưới, 2 xe chạy thep hướng từ dưới lên trên

c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau: Đúng.

Giải Toán 10 trang 48 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ3 trang 48 Toán lớp 10:  Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AB}$được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{x}$ được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Phương pháp giải:

Quan sát hai vectơ cùng hướng, ngược hướng chỉ ra các đặc điểm về giá và hướng (chiều) của các vectơ đó.

Lời giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng: có giá song song và cùng hướng với nhau.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{x}$ ngược hướng: có giá song song và ngược hướng với nhau.

Vectơ $\overrightarrow{z}$ có giá song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{z}$ ngược hướng với nhau.

Vectơ $\overrightarrow{y}$ có giá song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng hướng với nhau.

Vectơ $\overrightarrow{b}$ có giá không song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương với nhuau. Do vậy không xét chúng cùng hướng hay ngược hướng với nhau.

Giải Toán 10 trang 49 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 49 Toán lớp 10:  Cho hình thang cân ABCD với hai đấy AB, CD, $AB<CD$. Hãy chỉ ra mỗi quan hệ về đồ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$. Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng

(Cùng hướng tức là giá của chúng song song và cùng chiều với nhau)

Lời giải:

Dễ thấy:

$AD=BC$ nhưng $AD$ và $BC$ không song song với nhau. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.

$CD>AB$ do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không bằng nhau.

$AC$ và $BD$ không song song với nhau. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không bằng nhau.

Luyện tập 3 trang 49 Toán lớp 10: Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B,

a)  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng

b) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương

c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng

d) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng

Phương pháp giải:

Hai vectơ được gọi là cùng phương  nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương mà cùng chiều thì được gọi là cùng hướng.

Hai vectơ cùng phương mà ngược chiều thì được gọi là ngược hướng.

Nhận xét: các cặp vectơ đều có cùng điểm đầu nên giá của chung song song khi và chỉ khi 3 điểm đó thẳng hàng.

Lời giải:

a)  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng

 

$\iff \{\begin{array}{l}AB//AM\\ B\text{và}M\text{nằm cùng phía so với điểm A}\end{array}$

$\iff$ A, B, thẳng hàng và A nằm giữa B và M

b) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương

TH1: $MA<MB$

 

 M, A, B thẳng hàng & A nằm giữa M và B.

TH2: $MA>MB$

 

M, A, B thẳng hàng & B nằm giữa M và A.

c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng

TH1: $AM<AB$

 

A, M, B thẳng hàng & M nằm giữa A và B.

TH2: $AB<AM$

 

A, M, B thẳng hàng & B nằm giữa A và M.

d) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng

 

$\iff \{\begin{array}{l}MA//MB\\ A\text{và}B\text{nằm về hai phía so với điểm M}\end{array}$

$\iff$ A, M, B thẳng hàng & M nằm giữa A và B.

Vậy điều kiện cần và đủ để M nằm giữa A và B là d) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng

Giải Toán 10 trang 50 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 50 Toán lớp 10: Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế $\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$ của các ca nô A, B. ?

b) Trong các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$, những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Phương pháp giải:

Vẽ 3 vectơ, lần lượt mô phỏng $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$.

Nhận xét về phương và chiều của chúng để kết luận cùng hướng hay ngược hướng.

Hai vectơ được gọi là cùng phương  nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương mà cùng chiều thì được gọi là cùng hướng.

Hai vectơ cùng phương mà ngược chiều thì được gọi là ngược hướng.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ lần lượt là vectơ vận tốc riêng của ca nô A và B (cùng độ lớn).

Vì ca no A chạy xuôi dòng nên ngoài vận tốc riêng của ca nô, ca nô A còn được đẩy đi bởi vận tốc của dòng nước. Do đó vectơ vận tốc thực của cano A cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ lớn bằng tổng của vận tốc riêng và vận tốc dòng nước, là 18 km/h.

Ngược lại, ca nô đi ngược dòng nên bị cản lại một phần bởi dòng nước. Vì vận tốc của dòng nước nhỏ hơn vận tốc riêng của cano B nên vectơ vận tốc thực của cano B cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ và có độ lớn bằng hiệu giữa vận tốc riêng và vận tốc dòng nước, là 12 km/h.

Ta biểu diễn vận tốc thực của ca nô A và ca nô B như sau:

 

b) Dễ thấy:

Các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$ đều có giá song song nên chúng cùng phương với nhau.

Ca nô A đi xuôi dòng nên vectơ vận tốc thực của ca nô A cùng hướng với vectơ vận tốc dòng nước.

Hay $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_A}$ cùng hướng.

Ca nô A đi ngược dòng nên vectơ vận tốc thực của ca nô B ngược hướng với vectơ vận tốc dòng nước.

Hay $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_B}$ ngược hướng.

Chú ý khi giải

Vận tốc riêng của cano là vận tốc của cano khi dòng nước đứng im.

Vận tốc thực của cano là vận tốc của cano khi kết hợp với dòng nước (đang chảy)

Bài tập

Bài 4.1 trang 50 Toán lớp 10: Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$đều khác $\overrightarrow{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{0}$;

b) Nếu $\overrightarrow{b}$không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$.

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Phương pháp giải:

Vectơ $\overrightarrow{0}$ cùng hướng, cùng phương với mọi vectơ.

Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương.

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Lời giải:

a) Đúng vì vectơ $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.

b) Sai. Chẳng hạn: Hai vecto không cùng hướng nhưng cũng không ngược hướng (do chúng không cùng phương).

  

c) Đúng.

 $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì a // c và b // c do đó a // b tức là $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

d) Đúng.

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương , cùng chiều đo đó cùng hướng.

Bài 4.2 trang 50 Toán lớp 10: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vecto cùng phương, các cặp vecto ngược hướng và các cặp vecto bằng nhau.

Phương pháp giải:

Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Lời giải:

Các vecto cùng phương là: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$

Trong đó cặp vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$ cùng hướng, cặp vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và cặp vecto $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Bài 4.3 trang 50 Toán lớp 10: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.$

Lời giải:

Tứ giác ABCD là một hình bình hành $\iff \{\begin{array}{l}AD//BC\\ AD=BC\end{array}$

$\iff$ Hai vecto $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và AD = BC.

$\iff \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.$ (đpcm)

Bài 4.4 trang 50 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vecto khác $\overrightarrow{0}$. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vceto khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vecto thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chỉ ra các vecto (tạo bởi 5 điểm A; B; C; D; O) bằng nhau.

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải:

Tập hợp S là:$S=\{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AO};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BO};\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CO};\overrightarrow{DB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DO};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OA}\}$

Các nhóm trong S là:

$\begin{array}{l}\{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}\},\{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD}\},\{\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC}\},\{\overrightarrow{DA};\overrightarrow{CB}\},\\ \{\overrightarrow{AO};\overrightarrow{OC}\},\{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CO}\},\{\overrightarrow{OB};\overrightarrow{DO}\},\{\overrightarrow{BO};\overrightarrow{OD}\}.\end{array}$

Bài 4.5 trang 50 Toán lớp 10: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy hãy vẽ các vecto $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{MN}$ với A (1; 2), M (0; -1), N (3; 5).

a) Chỉ ra mỗi quan hệ giữa hai vecto trên.

b) Một vật thể khởi hành từ M chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn vởi vecto $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu sẽ tới N?

Phương pháp giải:

+) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{OA}$ là $(x_A;y_A)$

+) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{MN}$ là $(x_N-x_M;y_N-y_M)$

Lời giải:

a) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{OA}$ là $(1;2)$, vecto $\overrightarrow{MN}$ là $(3-0;5-(-1))=(3;6)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=3.\overrightarrow{OA}$

b) Mỗi giờ, vật thể đó đi được quãng đường tương ứng với đoạn thẳng OA.

Vì $\overrightarrow{MN}=3.\overrightarrow{OA}$ nên vật thể đó sẽ đi qua N sau 3 giờ kể từ lúc khởi hành.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ