20 câu Trắc nghiệm Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Nhận biết

Câu 1. Trong các hệ sau đây hệ nào không phải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. $\left\{\begin{array}{l}x+2y>3\\ -4x\le 0\end{array}\right.$  ;

B. $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+2y\le 3\\ -4x\le 0\end{array}\right.$  ;

C. $\left\{\begin{array}{l}-2x+2y>0\\ x-2y\le 0\end{array}\right.$  ;

D. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 5x+y<0\\ y+2\ge 0\end{array}\right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án A, C, D là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Đáp án B không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x³ + 2y ≤ 3 là bất phương trình bậc 3.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 2. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}2x+3y-1>0\\ 5x-y+4<0\end{array}\right.$

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Điểm A(– 1; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

B. Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

C. Điểm C(– 2; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

D. Điểm D(– 3; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Xét đáp án A: 2.(– 1) + 3.4 – 1 > 0 thoả mãn, 5.(–  1) – 4 + 4 < 0 thoả mãn, vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định A đúng.

Xét đáp án B: 2.0 + 3.0 – 1 < 0 không thoả mãn bất phương trình 2x + 3y – 1 > 0, vậy điểm B(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định B sai.

Xét đáp án C: 2.(– 2) + 3.4 – 1 > 0 thoả mãn, 5.(– 2) – 4 + 4 < 0 thoả mãn, vậy điểm C thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định C đúng.

Xét đáp án D: 2.(– 3) + 3.4 – 1 > 0 thoả mãn, 5.(– 3) – 4 + 4 < 0 thoả mãn, vậy điểm D thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định D đúng.

Câu 3. Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6>0\\ 2x+y+4>0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6>0\\ 2x+y+4<0\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}4x+3y-6<0\\ x-y+4>0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4<0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Thay điểm O(0; 0) vào từng đáp án ta có :

Đáp án A, B sai vì 0 + 3.0 – 6 < 0 không thỏa mãn bất phương trình 2x + 3y – 6 > 0.

Đáp án D sai vì 2.0 + 0 + 4 > 0 không thỏa mãn bất phương trình 2x + y + 4 < 0.

Đáp án C 4.0 + 3.0 – 6 < 0 thỏa mãn, 0 – 0 + 4 > 0 thỏa mãn.

Vậy chọn C

Câu 4. Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-2>0\\ 2x+y+1\le 0\end{array}\right.$

A. (0; 1);

B. (– 1; 1);

C. (1; 3);

D. (– 3; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét đáp A: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}2.0+3.1-2>0\\ 2.0+1+1>0\end{array}\right.$  không thỏa mãn hệ bất phương trình.

Xét đáp án B: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}2.(-1)+3.1-2=-1<0\\ 2.(-1)+1+1=0\end{array}\right.$  không thỏa mãn hệ bất phương trình.

Xét đáp án C: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}2.1+3.3-2>0\\ 2.1+3+1>0\end{array}\right.$  không thỏa mãn hệ bất phương trình.

Xét đáp án D: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có  thỏa mãn hệ bất phương trình.

Vậy đáp án đúng là D

Câu 5. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x-y-2\le 0\\ x-3y+2>0\end{array}\right.$  là

A. (0; 0);

B. (1; 0);

C. (– 1; 1);

D. (– 1; – 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Xét đáp án A ta có:  $\left\{\begin{array}{c}0+0-2<0\\ 0-3.0+2>0\end{array}\right.$  đáp án A thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án B ta có: $\left\{\begin{array}{c}1-0-2<0\\ 1-3.0+2>0\end{array}\right.$  đáp án B thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án C ta có: $\left\{\begin{array}{c}-1-1-2<0\\ -1-3.1+2<0\end{array}\right.$  đáp án C không thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án D ta có: $\left\{\begin{array}{c}-1+(-1)-2<0\\ -1-3.(-1)+2>0\end{array}\right.$  đáp án D  thoả mãn hệ bất phương trình

Vậy đáp án đúng là C

Câu 6. Hệ bất phương trình sau đây hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

A. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 3^2\\ y<0\\ 2x-3y>2\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-y>2\\ x+3y\le 0\end{array}\right.$  ;

C. $\left\{\begin{array}{l}x+2y^2>3\\ x>0\end{array}\right.$  ;

D. $\left\{\begin{array}{l}x+y-z>3\\ 2x+1\ge 0\end{array}\right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Xét đáp án A: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 3^2\\ y<0\\ 2x-3y>2\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì tất cả các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét đáp án B: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-y>2\\ x+3y\le 0\end{array}\right.$  không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình x² – y > 2 là bất phương trình bậc hai;

Xét đáp án C: $\left\{\begin{array}{l}x+2y^2>3\\ x>0\end{array}\right.$  không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có x + 2y² > 3 là bất phương trình bậc hai;

Xét đáp án D: $\left\{\begin{array}{l}x+y-z>3\\ 2x+1\ge 0\end{array}\right.$  không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình x + y – z > 3 có 3 ẩn.

Câu 7. Cặp số (2; – 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}2x-3y+1>0\\ x-4y-6\le 0\end{array}\right.$ ;

B. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ -x+y<0\end{array}\right.$ ;

C. $\left\{\begin{array}{l}3x-2y+1>0\\ x-y-3<0\end{array}\right.$  ;

D. $\left\{\begin{array}{l}x-4y-3\ge 0\\ -3x+y-2<0\end{array}\right.$  .

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Thay cặp số (2; – 1) vào từng đáp án ta có :

Đáp án A :  2. 2 – 3(–1) + 1 > 0  thỏa mãn, 2 – 4(– 1) – 6 ≤ 0 thoả mãn, vậy cặp số (2 ; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án B : 2 ≥ 0 thoả mãn, – 2 – 1 < 0 thoả mãn, cặp số (2 ; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án C: 3.2 – 2.(– 1)  + 1 > 0 thỏa mãn, 2 – (– 1) – 3 < 0 không thỏa mãn, vậy cặp số (2 ; – 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án D: 2 – 4.(– 1) – 3 ≥ 0 thoả mãn, – 3.2 + (– 1) – 2 < 0 thoả mãn, vậy cặp số (2 ; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy chọn C.

II. Thông hiểu

Câu 8. Phần không bị gạch trong hình vẽ nào trong các hình sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}2x-5y-1<0\\ 2x+y+5>0\\ x+y+1<0\end{array}\right.$

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Vẽ đường thẳng d₁: 2x – 5y – 1 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm $\left(0;-\frac{1}{5}\right)$ và  $\left(\frac{1}{2};0\right)$

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  2.0 – 5.0 – 1 < 0 thoả mãn bất phương trình 2x – 5y – 1 < 0.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x – 5y – 1 < 0 là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O không kể bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y + 5 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; – 5) và $\left(-\frac{5}{2};0\right)$.

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  2.0 – 0 + 5 > 0 thoả mãn bất phương trình 2x + y + 5 > 0.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x + y + 5 > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₂ chứa gốc tọa độ O không kể bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y + 1 = 0, đường thẳng d₃ qua hai điểm (0; – 1) và (– 1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 + 1 > 0, không thoả mãn bất phương trình x + y + 1 < 0.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm d₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ không chứa gốc tọa độ O không kể bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Câu 9. Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y. Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho khoản X. Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để mô tả hai khoản đầu tư đó.

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

B. $\left\{\begin{array}{l}x+y>400\\ x<100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

C. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

D. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 400\\ x\ge 100\\ x-y\ge 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản X và y (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản Y (x, y ≥ 0).

Vì anh Trung đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y nên ta có x + y ≤ 400.

Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng nên ta có x ≥ 100 và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho X nên ta cũng có y ≥ x hay x – y ≤ 0.

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

Câu 10. Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ phương trình sau

A. $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}\right.$ ;

B. $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<-6\end{array}\right.$ ;

C. $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3x+2y<6\end{array}\right.$ ;

D. $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3x+2y>-6\end{array}\right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử đường thẳng d₁ có phương trình d₁: y = ax + b

Dễ thấy đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; – 3) và (– 2; 0). Ta có hệ$\left\{\begin{array}{l}-3=a.0+b\\ 0=a.(-)2+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}\\ b=-3\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình đường thẳng d: y = x – 3  3x +  2y = – 6

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 3.0 + 2.0 = 0 > – 6. Mà  điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy bất phương trình có dạng 3x + 2y < – 6.

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành: y > 0

Vậy phần không bị gạch trong hình vẽ biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<-6\end{array}\right.$

Câu 11. Phần không bị gạch trong hình vẽ nào trong các hình sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y<-2\\ 2x-y>2\end{array}\right.$

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Vẽ đường thẳng d₁: x + y = – 2. Ta có đường thẳng đi qua hai điểm (0; – 2) và (– 2; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 > – 2 không thoả mãn bất phương trình x + y < – 2. Vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ và không chứa gốc toạ độ O(0; 0).

Vẽ đường thẳng d₂: 2x – y = 2. Ta có đường thẳng đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 < 2 không thoả mãn bất phương trình 2x – y > 2. Vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ và không chứa gốc toạ độ O(0; 0).

Vậy phần không bị gạch trong hình ở đáp án C biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y<-2\\ 2x-y>2\end{array}\right.$.

Câu 12. Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}2x+3y<4\left(1\right)\\ x+\frac{3}{2}y<4\left(2\right)\end{array}\right.$ . Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

A. $S_1\subset S_2$ ;

B. $S_2\subset S_1$ ;

C. S₂ = S;

D. S₁ ≠ S.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + 3y = 4 đường thẳng d₁ đi qua hai điểm $\left(0;\frac{4}{3}\right)$  và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 4, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 4. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂):  đường thẳng d₂ đi qua hai điểm $\left(0;\frac{8}{3}\right)$  và (4;0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<4$, thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<4$. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có $S_1\subset S_2$; S₁ = S; S₂ $\ne$ S. Vậy $S_1\subset S_2$.

Câu 13. Phần không bị gạch trong hình vẽ nào trong các hình sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Vẽ đường thẳng d₁: x – y – 1 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1 =  – 1 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0)  thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 – 10 = – 10 < 0. Thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: y = 4.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Câu 14. Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ phương trình sau:

A. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le -2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$  

B. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\le 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le -5\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  0 – 2.0 =  0 < 2.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Là miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$.

 

Câu 15. Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}2x+y>2\left(1\right)\\ x+\frac{1}{2}y<1\left(2\right)\end{array}\right.$. Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì:

A. $S_1\subset S_2$;

B. $S_2\subset S_1$;

C. S₂ = S₁ = S;

D. $S_1\cap S_2=\varnothing$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + y = 2 đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 0 = 0 < 2, không thoả mãn bất phương trình 2x + y > 2. Vậy O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O và không kể đường thẳng d₁ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂): $x+\frac{1}{2}y=1$ đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{1}{2}.0=0<1$, thoả mãn bất phương trình $x+\frac{1}{2}y<1$. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O và không kể đường thẳng d₂ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có d₁ trùng d₂ mà miền nghiệm của (1) được chia bởi d₁ và nửa mặt phẳng không chứa O(0; 0) (không kể d₁); miền nghiệm của (2) được chia bởi  d₂ và nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) (không kể d₂). Vậy $S_1\cap S_2=\varnothing$.

III. Vận dụng

Câu 16. Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + y trên miền xác định bởi hệ:  là:$\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

A. max F(x; y) = 1 khi x = 2, y = – 3;

B. max F(x; y) = 2 khi x = 0, y = 2;

C. max F(x; y) = 6 khi x = 1, y = 4;

D. max F(x; y) = 7 khi x = 2, y = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta tìm miền nghiệm xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  0 – 2.0 =  0 < 2.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc nềm nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Miền nghiệm là tam giác ABC với A(1; 4), B(0; 2), C(2; 3).

Ta tính giá trị của F(x; y) = 2x + y tại các giao điểm:

Tính F(x; y) = 2x + y suy ra F(1; 4) = 2.1 + 4 = 6.

Tính F(x; y) = 2x + y suy ra F(0; 2) = 2.0 + 2 = 2.

Tính F(x; y) = 2x + y suy ra F(2; 3) = 2.2 + 3 = 7.

Vậy max F(x; y) = 7 khi x = 2, y = 3.

Câu 17.  Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2m vải và cần 20 giờ; 1 quần âu hết 1,5 m vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6 000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần lãi 100 nghìn đồng. Phân xưởng cần may bao nhiêu áo vest và quần âu để thu được tiền lãi cao nhất (biết thị trường tiêu thụ luôn đón nhận sản phẩm của xí nghiệp).

A. 180 áo vest và 360 quần âu;

B. 250 áo vest và 360 quần âu;

C. 240 áo vest và 240 quần âu;

D. 225 áo vest và 300 quần âu.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi số lượng áo bán ra là x (cái) (x ∈ ℕ)

Số lượng quần bán ra là y (cái) (y ∈ ℕ).

Số mét vải để may x áo và y quần là: 2x + 1,5y (m).

Vì xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải nên ta có: 2x + 1,5y ≤ 900 (1).

Số giờ để may x áo và y quần là: 20x + 5y (giờ).

Vì số giờ công không vượt quá 6 000 giờ nên ta có: 20x + 5y ≤ 6000 hay 4x + y ≤ 1200 (2).

Theo khảo sát thị trường, ta có:

Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo y ≥ x (4)

Số lượng quần không vượt quá 2 lần số lượng áo y ≤ 2x (5)

Từ (1), (2), (3) và (4) nên ta có hệ bất phương trình:$\left\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 900\\ 4x+y\le 1200\\ y\ge x\\ y\le 2x\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 900\\ 4x+y\le 1200\\ x-y\le 0\\ 2x-y\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

 

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với O(0; 0), A(180; 360), B(200; 250), C(240; 240).

Tiền lãi khi bán x cái áo và y cái quần là 350x + 100y (nghìn đồng).

Đặt T = 350x + 100y.

Ta có biểu thức T = 350x + 100y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC.

Tính giá trị biểu thức T tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0), với x = 0  và y = 0  thì T = 350.0 + 100.0 = 0;

Tại A(180; 360), với x = 180 và y = 360 thì T = 350.180 + 100.360 = 99 000;

Tại B(225; 300), với x = 225 và y = 300 thì T = 350.225 + 100.300 = 108 750;

Tại C(240; 240), với x = 240 và y = 240 thì T = 350.240 + 100.240 = 108 000;

Ta được T đạt giá trị lớn nhất bằng 108 750 000 đồng khi x = 225, y = 300.

Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì phân xưởng cần may 225 cái áo vest, 300 cái quần âu.

Câu 18. Giá trị lớn của biết thức F(x; y) = x – 2y với điều kiện  $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 5\\ x\ge 0\\ x+y-2\ge 0\\ x-y-2\le 0\end{array}\right.$là

A. – 10;

B. 12;

C. – 8;

D. – 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x+y-2\ge 0\\ x-y-2\le 0\end{array}\right.$ trên hệ trục tọa độ

Vẽ đường thẳng d₁:  x + y – 2 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (2; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 2 = – 2 < 0. Không thoả mãn bất phương trình x + y – 2 ≥ 0. Vậy O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ và không chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₂: x –  y – 2 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; – 2) và (2; 0).

Xét điểm O(0; 0)  thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 2 = – 2 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 2 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₃: y = 4.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y$\ge$0 có miền nghiệm là nử mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là tứ giác ABCD với A(6; 4); B(0; 4); C(0; 2); D(2; 0).

Nhận thấy biệt thức F(x; y) = x – 2y chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B, C, D.

Ta có:

F(x; y) = x – 2y suy ra F(6; 4) = 6 – 2.4 = – 2.

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 4) = 0 – 2.4 = – 8;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 2) = 0 – 2.2 = – 4;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(2; 0) = 2 – 2.0 = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = x – 2y bằng – 8.

Câu 19. Biểu thức L = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6\le 0\\ x\ge 0\\ 2x-3y-1\le 0\end{array}\right.$, đạt giá trị lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. $a=\frac{25}{8}$và b = – 2;

B. a = 2 và $b=-\frac{11}{12}$;

C. a = 3 và b = 0;

D. a = 3 và $b=-\frac{9}{8}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6\le 0\\ x\ge 0\\ 2x-3y-1\le 0\end{array}\right.$ trên hệ trục tọa độ

Vẽ đường thẳng d₁: 2x + 3y – 6 = 0, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (3; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 6 =  – 6 < 0 thoả mãn bất phương trình 2x + 3y – 6 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₂: 2x – 3y – 1 = 0, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm $\left(0;-\frac{1}{3}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 1 =  – 1 < 0 thoả mãn bất phương trình 2x – 3y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là tam giác ABC với $A\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$; B(0; 2); $C\left(0;-\frac{1}{3}\right)$

Nhận thấy biệt thức L = y – x  chỉ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm A, B, C.

Ta có:

L = y – x  suy ra  $L\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$ = $\frac{5}{6}-\frac{7}{4}=-\frac{11}{12}$

L = y – x suy ra L(0; 2) = 2 – 0 = 2;

L = y – x suy ra $L\left(0;-\frac{1}{3}\right)$ =  $-\frac{1}{3}-0=-\frac{1}{3}$

Vậy a = 2 và b =  $-\frac{11}{12}$

Câu 20. Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = 2x – y, với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$ thuộc vào khoảng nào sau đây?

A. (1; 4);

B. (–5; 2);

C. (3; 12);

D. (20; 30).

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$ trên hệ trục tọa độ

Vẽ đường thẳng d₁: x – y – 1 = 0, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1 =  – 1 < 0 thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; 5) và (10; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 10 =  – 10 < 0 thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₃ y = 4

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOD với A(4; 3); B(2; 4); C(0; 4); O(0; 0); D(1; 0)

Nhận thấy biệt thức F(x; y) = 2x – y  chỉ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm A, B, C, O, D.

Ta có:

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(4; 3) = 2.4 – 3 = 5

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(2; 4) = 2.2 – 4 = 0

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(0; 4) = 2.0 – 4 = – 4

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(0; 0) = 2.0 – 0 = 0

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(1; 0) = 2.1 – 0 = 2

Giá trị lớn nhất cần tìm là 5.

Vậy giá trị lớn nhất của F thuộc khoảng (3; 12).

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Ôn tập cuối chương 2

Trắc nghiệm Bài 5: Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0° đến 180°

Trắc nghiệm Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác