Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai (Kết nối tri thức 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Lý thuyết Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ ta thực hiện như sau:

– Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

– Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$ , ta được:

x² – 7x = –x² – 8x + 3

⇒ 2x² + x – 3 = 0.

Giải phương trình 2x² + x – 3 = 0 ta được x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ .

Thay lần lượt x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ vào ta thấy chỉ có giá trị x₂ = $-\frac{3}{2}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $-\frac{3}{2}$.

2. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ .

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ , ta thực hiện như sau:

– Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

– Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$

Bình phương hai vế của phương trình , ta được:

4x² + x – 1 = (–x + 1)²

⇒ 4x² + x – 1 = x² – 2x + 1

⇒ 3x² + 3x – 2 = 0.

Giải phương trình 3x² + 3x – 2 = 0 ta được $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$

Thay lần lượt $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ vào $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$ ta thấy cả hai giá trị $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$

B. Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1: Giải các phương trình sau :

a) $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$

b) $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ , ta được:

x² + x + 2 = x² – x + 1

⇒ 2x = – 1

⇒ x = $-\frac{1}{2}$

Thay x = $-\frac{1}{2}$ vào phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ có nghiệm là x = $-\frac{1}{2}$ .

b) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ , ta được:

x² – 2x = –3x² – x + 1

⇒ 4x² – x – 1 = 0

Phương trình 4x² – x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$ .

Thay lần lượt $x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$vào phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ ta thấy chỉ có $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ có nghiệm là $x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$

b) .$\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5$

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ , ta được:

4x² + 3x + 1 = 4x² – 4x + 1

⇒ 7x = 0

⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ có nghiệm là x = 0.

b) Ta có $\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5\iff \sqrt{-x^2+2x+33}=5$

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}=5$ , ta được:

– x² + 2x + 33 = 25

⇒ – x² + 2x + 8 = 0

Phương trình –x² + 2x + 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –2 và x₂ = 4.

Thay lần lượt x₁ = –2 và x₂ = 4 vào phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}=5$ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5$ có hai nghiệm là x₁ = –2 và x₂ = 4.

Bài 3: Nhà của An, Minh, Quân và Long lần lượt nằm trên các vị trí A, B, C, D như hình vẽ sau. Biết nhà An cách nhà Minh 2 km, nhà Minh cách nhà Quân 1 km. Biết khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ nhà Long đến nhà An. Tính khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh.

Hướng dẫn giải

Gọi khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh là x (km), tức là DB = x km.

Nhà An cách nhà Minh 2 km nên AB = 2 km.

Nhà Minh cách nhà Quân 1 km nên BC = 1 km.

– Áp dụng định lí Côsin cho tam giác DBC ta có :

DC² = DB² + BC² – 2.DB.BC.cos$\widehat{DBC}$ = x² + 1² – 2.x.1.cos60° = x² – x + 1

⇒ DC = $\sqrt{x^2-x+1}$ .

Suy ra khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân là $\sqrt{x^2-x+1}$ (km)

Ta có $\widehat{DBA}+\widehat{DBC}={180}^o$(hai góc kề bù)

Suy ra : $\widehat{DBA}={180}^o-\widehat{DBC}={180}^o-{60}^o={120}^o$.

– Áp dụng định lí Côsin cho tam giác DBA ta có :

AD² = DB² + AB² – 2.DB.AB.cos$\widehat{DBA}$ = x² + 2² – 2.x.2.cos120° = x² + 2x + 4

⇒ AD = $\sqrt{x^2+2x+4}$.

Suy ra khoảng cách từ nhà Long đến nhà An là $\sqrt{x^2+2x+4}$ (km)

Do khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ nhà Long đến nhà An nên ta có phương trình: $\sqrt{x^2-x+1}$ =$\frac{2}{3}$.$\sqrt{x^2+2x+4}$

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$=$\frac{2}{3}$ .$\sqrt{x^2+2x+4}$ ta được:

x² – x + 1 = $\frac{4}{9}$(x² + 2x + 4)

⇒ x² – x + 1 = $\frac{4}{9}$x² + $\frac{8}{9}$x + $\frac{16}{9}$

⇒ $\frac{5}{9}$x² – $\frac{17}{9}$x – $\frac{7}{9}$ = 0.

Giải phương trình$\frac{5}{9}$ x² –$\frac{17}{9}$ x – $\frac{7}{9}$ = 0 ta được x₁ ≈ 3,8 và x₂ ≈ – 0,4.

Vì x là khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh nên x > 0, do đó x₂ ≈ – 0,4 không thỏa mãn.

Thay x₁ ≈ 3,8 vào phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$ = $\frac{2}{3}$. $\sqrt{x^2+2x+4}$ta thấy giá trị x₁ ≈ 3,8 thỏa mãn.

Do đó phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$ = $\frac{2}{3}$.$\sqrt{x^2+2x+4}$ có nghiệm là x ≈ 3,8.

Vậy khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh khoảng 3,8 km.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Lý thuyết Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết Bài 19: Phương trình đường thẳng

Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Lý thuyết Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ