Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

A. Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Khi đó $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và được kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$ .

Vậy $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có $\vec{M N} + \vec{N P} = \vec{M P}$ .

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Thực hiện phép cộng các vectơ:

$\vec{A C} + \vec{C D}; \vec{B C} + \vec{C B}; \vec{D C} + \vec{C E} + \vec{E F}$ .

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$ .

$\vec{B C} + \vec{C B} = \vec{B B} = \vec{0}$ .

$\vec{D C} + \vec{C E} + \vec{E F} = \vec{D E} + \vec{E F} = \vec{D F}$ .

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ .

Ví dụ: Cho hình chữ nhật MNPQ và hai vectơ $\vec{x}, \vec{y}$ như hình bên. Tính tổng của hai vectơ $\vec{x}$ và $\vec{y}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{x} = \vec{A D}, \vec{y} = \vec{A B}$ .

Suy ra $\vec{x} + \vec{y} = \vec{A D} + \vec{A B}$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{A D} + \vec{A B} = \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{x} + \vec{y} = \vec{A C}$ .

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ .

+ Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ .

+ Với mọi $\vec{a}$ , ta luôn có: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$ .

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ,kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ với $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ .

Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ. Thực hiện các phép cộng vectơ sau:

a) $(\vec{M N} + \vec{P M}) + \vec{N Q}$ .

b) $\vec{M N} + \vec{Q P} + \vec{N Q} + \vec{P M}$ .

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta được:

a) $(\vec{M N} + \vec{P M}) + \vec{N Q} = (\vec{P M} + \vec{M N}) + \vec{N Q} = \vec{P N} + \vec{N Q} = \vec{P Q}$ .

b) $\vec{M N} + \vec{Q P} + \vec{N Q} + \vec{P M} = (\vec{M N} + \vec{N Q}) + (\vec{Q P} + \vec{P M}) = \vec{M Q} + \vec{Q M} = \vec{M M} = \vec{0}$ .

Chú ý: Cho vectơ tùy ý $\vec{a} = \vec{A B}$ .

Ta có $\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{A B} + (- \vec{A B}) = \vec{A B} + \vec{B A} = \vec{A A} = \vec{0}$ .

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: $\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{0}$ .

3. Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là vectơ \ $\vec{a} + (- \vec{b})$ và kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$ .

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\vec{D E} - \vec{F E}; \vec{G D} - \vec{G F}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{D E} - \vec{F E} = \vec{D E} + (- \vec{F E}) = \vec{D E} + \vec{E F} = \vec{D F}$ .

$\vec{G D} - \vec{G F} = \vec{G D} + (- \vec{G F}) = \vec{G D} + \vec{F G} = \vec{F G} + \vec{G D} = \vec{F D}$ .

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: $\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{A B}$ .

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\vec{O B} - \vec{O D}; (\vec{O C} - \vec{O A}) + (\vec{D B} - \vec{D C})$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{O B} - \vec{O D} = \vec{D B}$ .

$(\vec{O C} - \vec{O A}) + (\vec{D B} - \vec{D C}) = \vec{A C} + \vec{C B} = \vec{A B}$ .

4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ .

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ .

b) $\vec{G A} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{B D}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành).

Lại có E là trung điểm AB (gt)

Do đó OE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra OE // BC và OE = $\frac{1}{2} B C$ = BF (với F là trung điểm BC).

Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành cho OEBF, ta được: $\vec{O E} + \vec{O F} = \vec{O B}$ .

Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{O D} + \vec{O B} = \vec{0}$ .

Ta có $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F}$

$= (\vec{O A} + \vec{O C}) + \vec{O D} + (\vec{O E} + \vec{O F})$

$= \vec{0} + \vec{O D} + \vec{O B} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$ .

Vậy $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ .

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\vec{G D} = \vec{G B} + \vec{B D} = \vec{G B} + \vec{B C} + \vec{C D}$ .

Ta có $\vec{G A} + \vec{G C} + \vec{G D}$

$= \vec{G A} + \vec{G C} + \vec{G B} + \vec{B C} + \vec{C D}$

$= (\vec{G A} + \vec{G C} + \vec{G B}) + (\vec{B C} + \vec{C D})$

$= \vec{0} + \vec{B D} = \vec{B D}$ .

Vậy $\vec{G A} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{B D}$ .

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

b) $\vec{D A} - \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

c) $\vec{D O} + \vec{A O} = \vec{A B}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó ta có $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ (1) và $\vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$ .

b) Vì ABCD là hình bình hành nên BA // DC và BA = DC.

Mà $\vec{B A}, \vec{D C}$ ngược hướng.

Do đó $\vec{B A} = - \vec{D C}$ .

Ta suy ra $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

Ta có $\vec{D A} - \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

c) Ta có O là trung điểm BD nên DO = OB.

Mà $\vec{D O}, \vec{O B}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{D O} = \vec{O B}$ .

Ta có $\vec{D O} + \vec{A O} = \vec{O B} + \vec{A O} = \vec{A O} + \vec{O B} = \vec{A B}$ .

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ:

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$ .

b) $\vec{O A} - \vec{C B}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình vuông nên $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Do đó $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C$ .

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ AC² = a² + a² = 2a²

⇒ AC = $a \sqrt{2}$ .

Vậy $|\vec{A B} + \vec{A D}| = a \sqrt{2}$ .

b) Vì ABCD là hình vuông nên ta có BD = AC = $a \sqrt{2}$ và AD = CB.

Mà $\vec{C B}, \vec{A D}$ ngược hướng.

Do đó $\vec{A D} = - \vec{C B}$ .

Ta có $\vec{O A} - \vec{C B} = \vec{O A} + \vec{A D} = \vec{O D}$ .

Do đó $|\vec{O A} - \vec{C B}| = |\vec{O D}| = O D$ .

Vì O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm BD.

Do đó OD = $\frac{B D}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $|\vec{O A} - \vec{C B}| = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Bài 3. Một con thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vận tốc 10 km/h. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

Hướng dẫn giải

Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát.

Vận tốc của con thuyền được biểu diễn bởi $\vec{A B}$ .

Vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi $\vec{B C}$ .

Khi đó ta có vectơ tổng của hai vectơ nói trên là $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Do đó độ lớn của vectơ cần tìm là: $|\vec{A B} + \vec{B C}| = |\vec{A C}| = A C$ .

Vì con thuyền trôi theo hướng nam và dòng nước chảy theo hướng đông.

Nên ta có AB ⊥ BC.

Ta có độ lớn vận tốc con thuyền là 25 km/h.

Suy ra $|\vec{A B}|$ = AB = 25.

Ta có độ lớn vận tốc dòng nước là 10 km/h.

Suy ra $|\vec{B C}|$ = BC = 10.

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ AC² = 25² + 10² = 725.

⇒ AC = $5 \sqrt{29}$ ≈ 26,93.

Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói đến trong bài xấp xỉ bằng 26,93 (km/h).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Khái niệm vectơ

Lý thuyết Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy