30 câu Trắc nghiệm Chương 5: Vectơ (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài tập cuối chương V

Câu 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $(\vec{A B}, \vec{D C}) + (\vec{A D}, \vec{C B}) + (\vec{C O}, \vec{D C})$ .

A. 45°;

B. 405°;

C. 315°;

D. 225°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Ta có $\vec{A B}, \vec{D C}$ cùng hướng nên $(\vec{A B}, \vec{D C}) = 0 °$ .

Ta có $\vec{A D}, \vec{C B}$ ngược hướng nên $(\vec{A D}, \vec{C B}) = 180 °$ .

Vẽ $\vec{C E} = \vec{D C}$ . Khi đó ta có $(\vec{C O}, \vec{D C}) = (\vec{C O}, \vec{C E}) = \hat{O C E}$ .

Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên $\hat{O C B} = 45 °$ .

Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)

Suy ra BC ⊥ CE, do đó $\hat{B C E} = 90 °$ .

Ta có $\hat{O C E} = \hat{O C B} + \hat{B C E} = 45 ° + 90 ° = 135 °$ .

Vậy $(\vec{A B}, \vec{D C}) + (\vec{A D}, \vec{C B}) + (\vec{C O}, \vec{D C}) = 0 ° + 180 ° + 135 ° = 315 °$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 2. Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{B C}$ ;

B. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A F} + \vec{C E} + \vec{B D}$ ;

C. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D}$ ;

D. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{B A} + \vec{B C} + \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Ta có $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A E} + \vec{E D} + \vec{B F} + \vec{F E} + \vec{C D} + \vec{D F}$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + (\vec{E D} + \vec{D F} + \vec{F E})$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + (\vec{E F} + \vec{F E})$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + \vec{E E}$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + \vec{0}$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D}$

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 3. Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ;

B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ;

C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , đó là $\vec{0}$ ;

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $\vec{0}$ cùng phương với mọi vectơ nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , đó là $\vec{0}$ .

Câu 4. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Cho $\vec{v} = \vec{M A} + \vec{M B} - 2 \vec{M C}$ . Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho $\vec{C D} = \vec{v}$ .

A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD;

B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD;

C. D là trọng tâm của tam giác ABC;

D. D là trực tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{v} = \vec{M A} + \vec{M B} - 2 \vec{M C} = \vec{M A} - \vec{M C} + \vec{M B} - \vec{M C} = \vec{C A} + \vec{C B} = 2 \vec{C I}$ (với I là trung điểm AB).

Do đó $\vec{v}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Khi đó $\vec{C D} = \vec{v} = 2 \vec{C I}$ .

Suy ra I là trung điểm CD.

Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{C A} - \vec{B A} = \vec{B C}$ ;

B. $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ ;

C. $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C B}$ ;

D. $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{C A}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: $\vec{C A} - \vec{B A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B} = - \vec{B C}$ ⇒ loại A.

Đáp án B: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (với D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình bình hành).

Mà AD và BC là 2 đường chéo của hình bình hành ABDC.

Do đó $\vec{A D} \neq \vec{B C}$ ⇒ loại B.

Đáp án C: $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B}$ (đúng) ⇒ chọn C.

Đáp án D: $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{C B} \neq \vec{C A}$ (khi cộng hai vectơ theo quy tắc 3 điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai) ⇒ loại D.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 6. Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}$ .

A. $\vec{M R}$ ;

B. $\vec{M N}$ ;

C. $\vec{P R}$ ;

D. $\vec{M P}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R} = (\vec{M N} + \vec{N P}) + (\vec{P Q} + \vec{Q R}) + \vec{R N}$ .

$= \vec{M P} + \vec{P R} + \vec{R N} = \vec{M R} + \vec{R N} = \vec{M N}$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 7. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ $\vec{M P} + \vec{N P}$ bằng vectơ nào?

A. $\vec{A P}$ ;

B. $\vec{B P}$ ;

C. $\vec{M N}$ ;

D. $\vec{M B} + \vec{N B}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Tam giác ABC có N, P lần lượt là trung điểm BC và AC.

Do đó NP là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra NP = BM (M là trung điểm AB).

Mà $\vec{N P}, \vec{B M}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{N P} = \vec{B M}$ .

Ta có $\vec{M P} + \vec{N P} = \vec{M P} + \vec{B M} = \vec{B P}$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 8. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. $\vec{M N} (\vec{N P} + \vec{P Q}) = \vec{M N} . \vec{N P} + \vec{M N} . \vec{P Q}$ ;

B. $\vec{M P} . \vec{M N} = - \vec{M N} . \vec{M P}$ ;

C. $\vec{M N} . \vec{P Q} = \vec{P Q} . \vec{M N}$ ;

D. $(\vec{M N} - \vec{P Q}) (\vec{M N} + \vec{P Q}) = M N^{2} - P Q^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.

Đáp án B sai. Sửa lại: $\vec{M P} . \vec{M N} = \vec{M N} . \vec{M P}$ .

Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.

Đáp án D đúng theo bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

Câu 9. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm BC. Tính $\vec{A M} . \vec{B C}$ .

A. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$ ;

B. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2}}{2}$ ;

C. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{2}$ ;

D. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm BC nên ta có $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ .

Khi đó $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}) = \frac{1}{2} (A C^{2} - A B^{2}) = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 10. Nếu $\vec{A B} = \vec{A C}$ thì

A. Tam giác ABC là tam giác cân;

B. Tam giác ABC là tam giác đều;

C. A là trung điểm của đoạn thẳng BC;

D. Điểm B trùng với điểm C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\vec{A B} = \vec{A C} \Rightarrow$ A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B, C nằm cùng phía so với A.

Mà AB = AC nên B ≡ C.

Câu 11. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M A} . \vec{B C} = 0$ là:

A. một điểm;

B. đường thẳng;

C. đoạn thẳng;

D. đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{M A} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow \vec{M A} ⊥ \vec{B C} \Leftrightarrow M A ⊥ B C$ .

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 12. Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A B} = \vec{A C}$ ;

B. $\vec{A B} = 2 a$ ;

C. $(\vec{A B}) = 2 a$ ;

D. $\vec{A B} = A B$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên $(\vec{A B}) = A B = 2 a$ .

Câu 13. Cho hình thoi ABCD tâm O và $\hat{B A D} = 60 °$ . Tính độ dài $\vec{A B} + \vec{A D}$ .

A. $(\vec{A B} + \vec{A D}) = 2 a \sqrt{3}$ ;

B. $(\vec{A B} + \vec{A D}) = a \sqrt{3}$ ;

C. $(\vec{A B} + \vec{A D}) = 3 a$ ;

D. $(\vec{A B} + \vec{A D}) = 3 a \sqrt{3}$ ;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà $\hat{B A D} = 60 °$ .

Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.

⇒ BD = AB = AD = 2a.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Suy ra $(\vec{A B} + \vec{A D}) = (\vec{A C}) = A C$ .

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm AC và BD.

Do đó AC = 2AO và BO = $\frac{1}{2}$ BD = a.

Tam giác ABO vuông tại O: AO² = AB² – BO² (Định lý Pytago)

⇔ AO² = 4a² – a² = 3a².

$\Rightarrow A O = a \sqrt{3}$ .

Do đó $(\vec{A B} + \vec{A D}) = A C = 2 A O = 2 a \sqrt{3}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 14. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Xác định góc α giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khi $\vec{a} . \vec{b} = - (\vec{a}) . (\vec{b})$ .

A. α = 180°;

B. α = 0°;

C. α = 90°;

D. α = 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = (\vec{a}) . (\vec{b}) . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Mà theo giả thiết, ta có $\vec{a} . \vec{b} = - (\vec{a}) . (\vec{b})$

Suy ra $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = - 1$ .

Do đó $(\vec{a}, \vec{b}) = 180 °$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 15. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng của C qua D. Hãy tính độ dài $\vec{M N}$ .

A. $(\vec{M N}) = \frac{a \sqrt{15}}{2}$ ;

B. $(\vec{M N}) = \frac{a \sqrt{5}}{3}$ ;

C. $(\vec{M N}) = \frac{a \sqrt{13}}{2}$ ;

D. $(\vec{M N}) = \frac{a \sqrt{5}}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Vì M là trung điểm AB nên ta có AM = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Tam giác MAD vuông tại A: DM² = AM² + AD² (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow D M^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow D M = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.

Ta có NP // AD, mà AD ⊥ CN (vì ABCD là hình vuông)

Do đó NP ⊥ CN hay NP ⊥ ND.

Suy ra $\hat{P N D} = 90 °$ (1).

Vì AD ⊥ ND nên $\hat{A D N} = 90 °$ (2).

Tương tự, AD ⊥ AP nên $\hat{P A D} = 90 °$ (3).

Từ (1) (2) (3), ta suy ra tứ giác ADNP là hình chữ nhật (4).

Vì N là điểm đối xứng của C qua D nên ND = CD = a.

Mà AD = a (do ABCD là hình vuông cạnh a).

Nên ND = AD = a (5).

Từ (4) (5), ta suy ra ADNP là hình vuông.

Do đó AP = AD = a.

Ta có PM = PA + AM = a + $\frac{a}{2} = \frac{3 a}{2}$ .

Tam giác NPM vuông tại P: MN² = NP² + PM² (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow M N^{2} = a^{2} + {(\frac{3 a}{2})}^{2} = \frac{13 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{13}}{2}$ .

Suy ra $(\vec{M N}) = M N = \frac{a \sqrt{13}}{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 16. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

A. $\vec{B C} = - 4 \vec{A C}$ ;

B. $\vec{B C} = - 2 \vec{A C}$ ;

C. $\vec{B C} = 2 \vec{A C}$ ;

D. $\vec{B C} = 4 \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Từ đẳng thức $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ , ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ , suy ra $(\vec{A B}) = (- 3 \vec{A C})$ , do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\vec{B C}, \vec{A C}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\vec{B C} = 4 \vec{A C}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 17. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

A. $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 24;

B. $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 26;

C. $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 28;

D. $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 32.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo các vectơ vuông góc với nhau.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD hay AC ⊥ OB.

Suy ra $\vec{A C} ⊥ \vec{O B}$ .

Do đó $\vec{A C} . \vec{O B} = 0$ .

Ta có $\vec{A B} . \vec{A C} = (\vec{A O} + \vec{O B}) . \vec{A C} = \vec{A O} . \vec{A C} + \vec{O B} . \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A C} + 0 = \frac{1}{2} {\vec{A C}}^{2} = \frac{1}{2} A C^{2} = 32$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 18. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ ;

B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ;

C. Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C A}$ ;

D. Nếu ba điểm A, B, C phân biệt nằm tùy ý trên một đường thẳng thì $(\vec{A B}) + (\vec{B C}) = (\vec{A C})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án A, B, C đúng.

Đáp án D chỉ đúng khi B nằm giữa hai điểm A và C.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 19. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O E} = \vec{0}$ ;

B. $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A D}$ ;

C. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{E B}$ ;

D. $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Tứ giác ABCO là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B}$ .

Vì O là trung điểm BE nên $\vec{O E} + \vec{O B} = \vec{0}$ .

Do đó ta có $\vec{O A} + \vec{O E} + \vec{O E} = \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{0}$ .

Vậy A đúng.

Đáp án B: Ta có $\vec{B C} = \vec{A O}$ và $\vec{F E} = \vec{O D}$ .

Do đó $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{O D} = \vec{A D}$ .

Vậy B đúng.

Đáp án C: Ta có $\vec{O B} = \vec{E O}$ (2 vectơ này cùng hướng và có độ dài bằng nhau).

Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O B} + (\vec{O A} + \vec{O C}) = \vec{E O} + \vec{O B} = \vec{E B}$

Vậy C đúng.

Đáp án D: Vì tứ giác ABOF là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{F O}$ .

Vì tứ giác CDEO là hình bình hành nên $\vec{C D} = \vec{O E}$ .

Do đó ta có $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{F O} + \vec{O E} = \vec{F E} \neq \vec{0}$

Vậy D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 20. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$ .

A. $\vec{A B} . \vec{B C} = - a^{2}$ ;

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = a^{2}$ ;

C. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ ;

D. $\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Vẽ $\vec{B D} = \vec{A B}$ .

Ta có $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C}) = \hat{C B D}$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra $\hat{A B C} = 45 °$ .

Ta có $\hat{A B C} + \hat{C B D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Khi đó ta được $\hat{C B D} = 180 ° - 45 ° = 135 °$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Pytago)

⇔ BC² = 2a²

$\Rightarrow B C = a \sqrt{2}$ .

Do đó $\vec{A B} . \vec{B C} = A B . B C . \cos (\vec{A B}, \vec{B C}) = a . a \sqrt{2} . \cos 135 ° = - a^{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 21. Cho $\vec{a} \neq \vec{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\vec{O M} = 3 \vec{a}$ và $\vec{O N} = - 4 \vec{a}$ . Tìm $\vec{M N}$ .

A. $\vec{M N} = 7 \vec{a}$ ;

B. $\vec{M N} = - 5 \vec{a}$ ;

C. $\vec{M N} = - 7 \vec{a}$ ;

D. $\vec{M N} = - 5 \vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M} = - 4 \vec{a} - 3 \vec{a} = - 7 \vec{a}$ .

Câu 22. Cho $\vec{M N} \neq \vec{0}$ thì số vectơ cùng phương với vectơ đã cho là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Giá của vectơ $\vec{M N} \neq \vec{0}$ là đường thẳng MN, mà có vô số đường thẳng song song và trùng với đường thẳng MN.

Do đó có vô số vectơ cùng phương với $\vec{M N} \neq \vec{0}$ .

Câu 23. Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của $\vec{u} = \frac{21}{4} \vec{O A} - \frac{5}{2} \vec{O B}$ là:

A. $\frac{a \sqrt{140}}{4}$ ;

B. $\frac{a \sqrt{321}}{4}$ ;

C. $\frac{a \sqrt{520}}{4}$ ;

D. $\frac{a \sqrt{541}}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Dựng điểm M, N sao cho $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A}$ và $\vec{O N} = \frac{5}{2} \vec{O B}$ . Khi đó ta có:

$(\vec{u}) = (\frac{21}{4} \vec{O A} - \frac{5}{2} \vec{O B}) = (\vec{O M} - \vec{O N}) = (\vec{N M}) = M N$ .

Từ dữ kiện $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A}$ .

Ta suy ra $\vec{O M}$ cùng phương với $\vec{O A}$ .

Vì $\vec{O M}, \vec{O A}$ có cùng điểm đầu là O.

Nên giá của $\vec{O M}, \vec{O A}$ trùng nhau.

Do đó ta có OM ≡ OA.

Tương tự ta có ON ≡ OB.

Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).

Do đó OM ⊥ ON.

Ta có $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A} \Leftrightarrow (\vec{O M}) = (\frac{21}{4} \vec{O A}) \Leftrightarrow O M = \frac{21}{4} O A = \frac{21 a}{4}$ .

Tương tự, ta có $\vec{O N} = \frac{5}{2} \vec{O B} \Leftrightarrow (\vec{O N}) = (\frac{5}{2} \vec{O B}) \Leftrightarrow O N = \frac{5}{2} O B = \frac{5 a}{2}$ .

Tam giác OMN vuông tại O: MN² = OM² + ON² (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow M N^{2} = \frac{441 a^{2}}{16} + \frac{25 a^{2}}{4} = \frac{541 a^{2}}{16}$

$\Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{541}}{4}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 24. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Hỏi $\vec{M P} + \vec{N P}$ bằng vectơ nào trong các vectơ sau đây?

A. $\vec{A M}$ ;

B. $\vec{P B}$ ;

C. $\vec{A P}$ ;

D. $\vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Tam giác ABC có M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.

Do đó MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MP //AC và MP = $\frac{1}{2}$ AC = AN (N là trung điểm AC).

Do đó $\vec{M P} = \vec{A N}$ .

Ta có $\vec{M P} + \vec{N P} = \vec{A N} + \vec{N P} = \vec{A P}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 25. Cho đường tròn (O). Từ điểm A nằm ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Xét các mệnh đề sau:

(I) $\vec{A B} = \vec{A C}$

(II) $\vec{O B} = - \vec{O C}$

(III) $(\vec{B O}) = (\vec{C O})$

Mệnh đề đúng là:

A. Chỉ (I);

B. (I) và (III);

C. (I), (II), (III);

D. Chỉ (III).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Mệnh đề (I) sai vì $\vec{A B}, \vec{A C}$ không cùng phương.

Mệnh đề (II) sai vì $\vec{O B}, \vec{O C}$ không cùng phương.

Mệnh đề (III) đúng vì:

Ta có OB, OC là bán kính đường tròn (O) nên OB = OC = R.

Mà $(\vec{O B}) = O B$ và $(\vec{O C}) = O C$ nên ta có $(\vec{O B}) = (\vec{O C}) = R$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 26.Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0$ với A, B, C là ba đỉnh của tam giác là

A. một điểm;

B. đường thẳng;

C. đoạn thẳng;

D. đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta suy ra $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Ta có $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0$ $\Leftrightarrow \vec{M B} .3 \vec{M G} = 0$ $\Leftrightarrow \vec{M B} . \vec{M G} = 0$ $\Leftrightarrow \vec{M B} ⊥ \vec{M G}$ (*)

Biểu thức (*) chứng tỏ MB ⊥ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông.

Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính BG.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 27. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 4a, AD = 3a. Tính độ dài $\vec{A B} + \vec{A D}$ .

A. 7a;

B. 6a;

C. $2 a \sqrt{3}$ ;

D. 5a.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Vì ABCD là hình vuông nên BC = AD = 3a.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Pytago)

⇔ AC² = 16a² + 9a² = 25a²

⇒ AC = 5a.

Do đó $(\vec{A B} + \vec{A D}) = (\vec{A C}) = A C = 5 a$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 28. Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác?

A. 4;

B. 8;

C. 10;

D. 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Vectơ khác vectơ-không là vectơ có điểm đầu khác điểm cuối.

Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C, D là: $\vec{A B}, \vec{B A}, \vec{B C}, \vec{C B}, \vec{C D}, \vec{D C}, \vec{A D}, \vec{D A}, \vec{A C}, \vec{C A}, \vec{B D}, \vec{D B}$ .

Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 29. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó $\vec{A C} + \vec{B D}$ bằng

A. $\vec{M N}$ ;

B. $2 \vec{M N}$ ;

C. $3 \vec{M N}$ ;

D. $- 2 \vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Vì M là trung điểm AB nên $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow - (\vec{A M} + \vec{B M}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{A M} + \vec{B M} = \vec{0}$ .

Vì N là trung điểm CD nên $\vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D}$

Suy ra $\vec{A C} + \vec{B D} = (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) + 2 \vec{M N} = \vec{0} + \vec{0} + 2 \vec{M N} = 2 \vec{M N}$

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 30. Cho hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?

A. 100 (N);

B. $50 \sqrt{3}$ (N);

C. $100 \sqrt{3}$ (N);

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo có lời giải

Đặt $\vec{F_{1}} = \vec{O A}$ và $\vec{F_{2}} = \vec{O B}$ . Khi đó ta có $(\vec{O A}) = (\vec{O B})$ = 50 (N) và $\hat{A O B} = 60 °$ .

Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ hay $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{O C}$ .

Suy ra lực tổng hợp của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ là $\vec{O C}$ .

Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ là $(\vec{O C}) = O C$ .

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O.

Mà $\hat{A O B} = 60 °$ nên tam giác OAB đều.

Gọi I là giao điểm của OC và AB

⇒ I là trung điểm OC và AB ⇒ BI = $\frac{A B}{2} = \frac{(\vec{A B})}{2} = \frac{50}{2}$ = 25 (N).

Tam giác OAB đều có OI là đường trung tuyến.

Suy ra OI cũng là đường cao của tam giác OAB.

Tam giác OBI vuông tại I: OI² = OB² – BI² (Định lý Pytago)

⇔ OI² = 50² – 25² = 1875

⇒ OI = $25 \sqrt{3}$ (N).

Do đó OC = 2OI = $50 \sqrt{3}$ (N).

Vậy ta chọn đáp án B.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 5

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy