Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 9 trang 73, 74, 75

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 9 trang 73, 74, 75

Giải toán lớp 10 trang 73 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a) Chứng minh ABCD là một hình vuông.

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (-1; 3) ⇒ AB = $\sqrt{{(-1)}^2+3^2}=\sqrt{10}$

$\overrightarrow{DC}$ = (-1; 3) ⇒ DC = $\sqrt{{(-1)}^2+3^2}=\sqrt{10}$

⇒ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ⇒ AB // CD và AB = DC

⇒ ABCD là hình bình hành (1)

Ta lại có: $\overrightarrow{AD}$ = (3; 1)

⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ = (-1).3 + 3.1 = 0

⇒ $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$

⇒ $\widehat{BAD}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình vuông.

b) Vì I là tâm của hình vuông ABCD nên I là giao điểm của hai đường cheoc AC và BD hay I là trung điểm của AC. Khi đó tọa độ điểm I là:

 ⇒ I(3; 3).

Vậy tọa độ tâm I của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Bài 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Cho AB và CD là hai dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Đặt AE = a, EB = b, EC = c, ED = d.

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho E(0; 0), A(a; 0), B(b; 0), C(0; c) và D(0; d) và F(a; c).

Xét ∆AEC và ∆DEB, có:

$\widehat{AEC}=\widehat{DEB}=90°$

$\widehat{CAE}=\widehat{BDE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{CB}$)

⇒ ∆AEC ∽ ∆DEB (g – g)

⇒ $\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{DB}=\frac{EC}{EB}$

⇒ $\frac{AE}{DE}=\frac{EC}{EB}$

⇔ AE.EB = DE.EC

⇔ AE.EB = DE.EC

⇔ a.b = d.c

⇔ d.c – ab = 0

Ta có: $\overrightarrow{\text{EF}}$ = (a; c), $\overrightarrow{BD}$ = (-b; d)

⇒ $\overrightarrow{\text{EF}}.\overrightarrow{BD}$ = a.(-b) + c.d = – ab + cd = 0

⇒ $\overrightarrow{\text{EF}}\perp \overrightarrow{BD}$

⇒ EF ⊥ BD.

Bài 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) d₁: x – y + 2 = 0 và d₂: x + y + 4 = 0;

b) d₁:  và d₂: x – 3y + 2 = 0;

c) 

Lời giải:

a) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

⇒ A(-3; -1).

Ta có:

Đường thẳng d₁: x – y + 2 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}$(1; -1);

Đường thẳng d₂: x + y + 4 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$(1; 1);

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

cos(d₁; d₂) = 

⇒ (d₁; d₂) = 90°

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là A(-3; -1) và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 90°.

b) Ta có: d₁: 

⇔ x – 1 = $\frac{y-3}{2}$

⇔ 2x – 2 = y – 3

⇔ 2x – y + 1 = 0

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂. Khi đó tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có:

Đường thẳng d₁: 2x – y + 1 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}$(2; -1);

Đường thẳng d₂: x – 3y + 2 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$(1; -3);

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

cos(d₁; d₂) = 

⇒ (d₁; d₂) = 45°

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là $B\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$ và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 45°.

c) Gọi C là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂. Khi đó tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có:

Đường thẳng d₁:  có VTCP là $\overrightarrow{u_1}$ = (-1; 3);

Đường thẳng d₂:  có VTCP là $\overrightarrow{u_2}$ = (3; 1).

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

cos(d₁; d₂) = 

⇒ (d₁; d₂) = 90°

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là $C\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$ và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 90°.

Giải toán lớp 10 trang 74 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính tâm và bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x – 5y + 60 = 0.

Lời giải:

Đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x – 5y + 60 = 0 nên bán kính đường tròn tâm M là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

d(M, d) = .

Vậy bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d là $\frac{17}{\sqrt{221}}$.

Bài 5 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

∆: 6x + 8y – 13 = 0 và ∆’: 3x + 4y – 27 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng ∆: 6x + 8y – 13 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}$ = (6; 8);

Đường thẳng ∆’: 3x + 4y – 27 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 4);

Ta thấy 6.4 – 8.3 = 24 – 24 = 0 suy ra $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương $\overrightarrow{n_2}$. Do đó đường thẳng ∆ song song với ∆’.

Lấy điểm M(1; 6) ∈ ∆’. Ta tính khoách từ điểm M đến đường thẳng ∆.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta được:

d(M; ∆) = .

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ bằng 4,1.

Bài 6 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) (x – 2)² + (y – 7)² = 64;

b) (x + 3)² + (y + 2)² = 8;

c) x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0.

Lời giải:

a) Xét phương trình (x – 2)² + (y – 7)² = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = $\sqrt{64}$ = 8.

Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(2; 7) và bán kính R = 8.

b) Xét phương trình (x + 3)² + (y + 2)² = 8 có tâm I(-3; -2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(-3; -2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

c) Xét phương trình x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

⇔ (x – 2)² + (y – 3)² = 25

Phương trình (x – 2)² + (y – 3)² = 25 có tâm I(2; 3) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(2; 3) và bán kính R = 5.

Bài 7 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Lời giải:

a) Phương trình có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9 là:

(x + 2)² + (y – 4)² = 9²

⇔ x² + 4x + 4 + y² – 8y + 16 = 81

⇔ x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{IA}$ = (3; 3) ⇒ IA = |$\overrightarrow{IA}$| = $\sqrt{3^2+3^2}$ = $3\sqrt{2}$.

Đường tròn cần tìm có tâm I và đi qua điểm A nên độ dài đoạn thẳng IA bằng bán kính của đường tròn nên R = $3\sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là:

(x – 1)² + (y – 2)² = ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2$

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 18

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 1)² + (y – 2)² = 18.

c) Xét phương trình đường thẳng 4x + y – 16 = 0 đi qua điểm M(4; 0) có VTPT là $\overrightarrow{n}$(4; 1), khi đó VTCP của đường thẳng là $\overrightarrow{u}$(1; -4).

Phương trình tham số của đường thẳng là: 

Gọi I là tâm của đường tròn cần tìm.

Vì I nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0 nên I(4 + t; -4t).

Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left(-t;4t+1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{t^2+{\left(4t+1\right)}^2}$

$\overrightarrow{IB}=\left(-t+2;4t+5\right)\Rightarrow IB=\sqrt{{\left(-t+2\right)}^2+{\left(4t+5\right)}^2}$

Vì đường tròn đi qua hai điểm A và B nhận I làm tâm nên IA = IB = R.

$\sqrt{t^2+{\left(4t+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-t+2\right)}^2+{\left(4t+5\right)}^2}$

⇔ t² + 16t² + 8t + 1 = t² – 4t + 4 + 16t² + 40t + 25

⇔ – 28t = 28

⇔ t = – 1

⇒ I(3; 4) và $IA=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(4.(-1)+1\right)}^2}=\sqrt{10}$

Phương trình đường tròn tâm I(3; 4) và có bán kính $\sqrt{10}$ là:

(x – 3)² + (y – 4)² = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2$

⇔ (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

d) Gọi A, B là giao điểm của đường tròn cần tìm với lần lượt trục Ox và Oy.

Ta có hình vẽ sau:

Kẻ OH ⊥ Ox, OK ⊥ Oy

⇒ H là trung điểm của OA (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OH = HA = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{a}{2}$.

⇒ K là trung điểm của OB (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OK = KB = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{b}{2}$.

⇒ I$\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2}\right)$

⇒ $\overrightarrow{IO}=\left(0-\frac{a}{2};0-\frac{b}{2}\right)=\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)$ ⇒ IA = $\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}$.

Bài 8 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 5)² + (y – 3)² = 1000 tại điểm M(11; 11).

Lời giải:

Xét phương trình (C): (x – 5)² + (y – 3)² = 1000 có tâm I(5; 3) và bán kính R = $\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$.

Ta có: $\overrightarrow{IM}\left(6;8\right)$

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(11; 11) là:

6(x – 11) + 8(y – 11) = 0

⇔ 6x + 8y – 154 = 0

⇔ 3x + 4y – 77 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là 3x + 4y – 77 = 0.

Bài 9 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$;

b) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$;

c) x² + 16y² = 16.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\iff \frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{6^2}=1$ là phương trình elip với a = 10, b = 6.

Ta lại có: b² + c² = a²

⇔ c² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64

⇔ c = 8

Tọa độ tiêu điểm là F₁( –8; 0) và F₂ (8; 0)

Tọa độ các đỉnh là A₁(-10; 0), A₂(10; 0), B₁(0; -6), B₂(0; 6).

Độ dài trục lớn là 2a = 2.10 = 20, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.6 = 12.

b) Ta có: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\iff \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$ là phương trình elip với a = 5, b = 4.

Ta lại có: b² + c² = a²

⇔ c² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9

⇔ c = 3

Tọa độ tiêu điểm là F₁(-3; 0) và F₂ (3; 0)

Tọa độ các đỉnh là A₁(-5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; -4), B₂(0; 4).

Độ dài trục lớn là 2a = 2.5 = 10, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.4 = 8.

c) x² + 16y² = 16.

⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{16y^2}{16}=1$

⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$

Ta có: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1\iff \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$ là phương trình elip với a = 4, b = 1.

Ta lại có: a² = b² + c²

⇔ c² = a² – b² = 4² – 1² = 16 – 1 = 15

⇔ c = $\sqrt{15}$

Tọa độ tiêu điểm là F₁($-\sqrt{15}$ ; 0) và F₂ ($\sqrt{15}$ ; 0)

Tọa độ các đỉnh là A₁(-4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; -1), B₂(0; 1).

Độ dài trục lớn là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.1 = 2.

Bài 10 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a) Đỉnh (5; 0), (0; 4)

b) Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);

c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;

d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.

Lời giải:

a) Đỉnh của elip là (5; 0), (0; 4) nên a = 5, b = 4.

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

b) Đỉnh của elip là (5; 0) nên a = 5, tiêu điểm (3; 0) nên c = 3

Ta có: b² + c² = a²

⇔ b² = a² – c² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

⇔ b = 4

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

c) Ta có: Độ dài trục lớn 2a = 16 ⇔ a = 8, độ dài trục nhỏ 2b = 12 ⇔ b = 6.

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{6^2}=1\iff \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

d) Độ dài trục lớn 2a = 20 ⇔ a = 10, tiêu cự 2c = 12 ⇔ c = 6

Ta có b² + c² = a²

⇔ b² = a² – c² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64

⇔ b = 8

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1\iff \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Bài 11 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$;

b) $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$;

c) x² – 16y² = 16;

d) 9x² – 16y² = 144.

Lời giải:

a) Phương trình hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\iff \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ có a = 4, b = 3

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

⇔ c = $\sqrt{25}$ = 5

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁(-5; 0) và F₂(5; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-4; 0), A₂(4; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục ảo là 2b = 2.3 = 6.

b) Xét phương trình $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\iff \frac{x^2}{8^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$ có a = 8, b = 6

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

⇔ c = 10

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁(-10; 0) và F₂(10; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-8; 0), A₂(8; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.8 = 16, độ dài trục ảo là 2b = 2.6 = 12.

c) Xét phương trình: x² – 16y² = 16 ⇔ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{1}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{1^2}=1$ có a = 4, b = 1

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 4² + 1² = 16 + 1 = 17

⇔ c = $\sqrt{17}$

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁($-\sqrt{17}$ ; 0) và F₂($\sqrt{17}$ ; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-4; 0), A₂(4; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục ảo là 2b = 2.1 = 2.

d) Xét phương trình 9x² – 16y² = 144 ⇔ $\frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{\frac{144}{9}}-\frac{y^2}{\frac{144}{16}}=1$

⇔ $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ có a = 4, b = 3.

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

⇔ c = $\sqrt{25}$ = 5

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁(-5; 0) và F₂(5; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-4; 0), A₂(4; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục ảo là 2b = 2.3 = 6.

Bài 12 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);

b) Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.

Lời giải:

a) Đỉnh (3; 0) nên a = 3, tiêu điểm (5; 0) nên c = 5.

Ta có: a² + b² = c²

⇔ b² = c² – a² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

⇔ b = $\sqrt{16}$ = 4

Phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

b) Độ dài trục thực 2a = 8 ⇔ a = 4, độ dài trục ảo 2b = 6 ⇔ b = 3.

Phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 13 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) y² = 12x;

b) y² = x;

Lời giải:

a) Ta có: y² = 12x = 2.6.x

⇒ p = 6 ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{6}{2}=3$

Khi đó:

Tọa độ tiêu điểm F = $\left(\frac{p}{2};0\right)$ = (3; 0);

Phương trình đường chuẩn là: x + 3 = 0.

b) Ta có: y² = x ⇔ y² = 2.$\frac{1}{2}$.x

⇒ p = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$

Khi đó:

Tọa độ tiêu điểm F = $\left(\frac{p}{2};0\right)=\left(\frac{1}{4};0\right)$

Phương trình đường chuẩn là: x + $\frac{1}{4}$ = 0.

Bài 14 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Tiêu điểm (4; 0);

b) Đường chuẩn có phương trình x = $-\frac{1}{6}$;

c) Đi qua điểm (1; 4);

d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.

Lời giải:

a) Tiêu điểm F(4; 0)

⇒ $\frac{p}{2}=4$ ⇔ p = 8

Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2px = 2.8.x = 16x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 16x.

b) Đường chuẩn có phương trình x = $-\frac{1}{6}$ ⇔ x + $\frac{1}{6}$ = 0

⇒ $\frac{p}{2}=\frac{1}{6}$ ⇔ p = $\frac{1}{3}$

Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2px = 2.$\frac{1}{3}$.x = $\frac{2}{3}$x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = $\frac{2}{3}$x.

c) Phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 2px

Vì parabol đi qua điểm (1; 4) nên tọa độ điểm này thỏa mãn phương trình trên, ta có:

4² = 2.p.1

⇔ 16 = 2p

⇔ p = 8

Suy ra phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 2.8.x = 16x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 16x.

d) Gọi tiêu điểm F$\left(\frac{p}{2};0\right)$ và đường chuẩn của parabol cần tìm là ∆: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, ta có:

d(F; ∆) = 

Mà khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên p = 8

Suy ra phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 2.8.x = 16x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 16x.

Bài 15 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5cm. Cho biết bề sâu của gương là 45 cm có tính khoảng cách AB.

Lời giải:

Parabol có tiêu điểm cách đỉnh 5cm nên $\frac{p}{2}=5$ ⇔ p = 10

Phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2.10.x = 20x.

Đặt A(x_A; y_A)

Vì bề sâu của gương là 45 cm nên x_A = 45.

⇒ $y_A^2$ = 20.45 = 900

⇔ y_A = 30

Khoảng cách AB bằng hai lần khoảng cách từ A đến trục Ox và bằng: 2.30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60 cm.

Giải toán lớp 10 trang 75 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 16 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một đường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol.

b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 2px (p ≥ 0)

Ta đặt hệ trục tọa độ như sau:

Theo hình vẽ điểm A(1; 3) thuộc parabol nên thay tọa độ điểm A vào phương trình trên ta được:

3² = 2p.1 ⇔ p = $\frac{9}{2}$

Khi đó phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2.$\frac{9}{2}$.x = 9x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 9x.

b) Tâm của đường ống chính là tiêu điểm của parabol.

Khi đó tọa độ tiêu điểm F = $\left(\frac{p}{2};0\right)=\left(\frac{\frac{9}{2}}{2};0\right)=\left(\frac{9}{4};0\right)$.

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol là $\frac{9}{4}$m.

Bài 17 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Cổng trào của một thành phố dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2m và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến cổng gần nhất là 0,5 m. Tính chiều cao của cổng.

Lời giải:

Ta có hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng y² = 2px.

Gọi chiều cao của cổng là h (m) ⇒ OC = h

Ta có khoảng cách đến mặt đất là 2m nên MH = 2 ⇒ OK = h – 2 và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến cổng gần nhất là 0,5 m nên AH = 0,5.

Ta lại có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m nên AC = 192:2 = 96.

Khi đó tọa độ điểm A là A(h; 96)

Mà AH + CH = AC

⇒ CH = AC – AH = 96 – 0,5 = 95,5

⇒ M(h – 2; 95,5).

Vì các điểm M và A thuộc parabol nên tọa độ của M và A đều thỏa mãn phương trình y² = 2px, ta có:

96² = 2ph (1) và 95,5² = 2p(h – 2) (2)

Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:

$\frac{{96}^2}{95,5^2}=\frac{h}{h-2}$

⇔ 9 216(h – 2) = 9 120,25h

⇔ 9 216h – 18 432 = 9 120,25h

⇔ 95,75h = 18 432

⇔ h ≈ 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5m.

Bài 18 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16 m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3cm (Hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol.

a) Giả sử tâm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.

b) Điểm có độ võng 1cm cách tâm ván gỗ bao xa?

Lời giải:

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình sau:

Gọi phương trình parabol cần tìm là: y² = 2px

Điểm A trên hình vẽ có tọa độ A(0,03; 8)

Vì A thuộc parabol nên thay tọa độ điểm A vào phương trình trên ta được:

8² = 2p.0,03 ⇔ p = $\frac{3200}{3}$.

Khi đó phương trình parabol đã cho là: y² = 2.$\frac{3200}{3}$.x = $\frac{6400}{3}$x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = $\frac{6400}{3}$x.

b) Gọi M là điểm trên ván gỗ có độ võng 1cm.

Khi đó điểm M có hoành độ 3cm – 1cm = 2cm = 0, 02m

Thay x_M = 0,02 vào phương trình parabol (P) ta được:

$y_M^2=\frac{6400}{3}.0,02=\frac{128}{3}$

⇒ |$y_M$| = $\frac{8\sqrt{6}}{3}$≈ 6,53

Khoảng cách từ điểm này đến tâm ván gỗ chính là trị tuyệt đối tung độ của điểm M.

Vậy điểm này cách tâm ván gỗ khoảng 6,53m.