Lý thuyết Phép cộng. Phép trừ phân số (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 6

Lý thuyết Toán lớp 6 Bài 3: Phép cộng. Phép trừ phân số

A. Lý thuyết Phép cộng. Phép trừ phân số

1. Phép cộng phân số

a) Quy tắc cộng hai phân số

*Quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$

*Quy tắc cộng hai phân số không cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu những phân số đó rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\frac{7}{-25}+\frac{-8}{25}$

b) $\frac{3}{5}+\frac{-7}{4}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{7}{-25}+\frac{-8}{25}$

$=\frac{-7}{25}+\frac{-8}{25}$

$=\frac{\left(-7\right)+\left(-8\right)}{25}$

$=\frac{-15}{25}$

$=\frac{\left(-15\right):5}{25:5}$

$=\frac{-3}{5}$

b) $\frac{3}{5}+\frac{-7}{4}$

$=\frac{3.4}{5.4}+\frac{\left(-7\right).5}{4.5}$

$=\frac{12}{20}+\frac{-35}{20}$

$=\frac{12+\left(-35\right)}{20}$

$=\frac{-23}{20}$

b) Tính chất của phép cộng phân số

Tương tự phép cộng các số tự nhiên, phép cộng phân số cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Trong thực hành, ta có thể sử dụng các tính chất này để tính giá trị biểu thức một cách hợp lí.

Ví dụ 2. Tính một cách hợp lí: $\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{-3}{10}+\frac{14}{15}+\frac{-7}{10}$

Hướng dẫn giải

$\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{-3}{10}+\frac{14}{15}+\frac{-7}{10}$

$\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{14}{15}+\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}$

$\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{14}{15}+\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}$

$\text{B = }\left(\frac{1}{\text{15}}+\frac{14}{15}\right)+\left(\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}\right)$

$\text{B = }\frac{15}{15}+\frac{-10}{10}$

B = 1 + (‒1)

B = 0.

2. Phép trừ phân số

a) Số đối của một phân số

– Số đối của phân số $\frac{a}{b}$ kí hiệu là $-\frac{a}{b}$. Ta có: $\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=0$ 

Chú ý: Ta có: $-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z},$ b ≠ 0.

Số đối của $-\frac{a}{b}$ là $\frac{a}{b}$, tức là $-\left(-\frac{a}{b}\right)=\frac{a}{b}.$  

Ví dụ 3. Số đối của phân số $\frac{11}{2}$ là $-\frac{11}{2}$. Ta có: $\frac{11}{2}+\left(-\frac{11}{2}\right)=0.$ 

Số đối của phân số $\frac{-3}{5}$ là $-\left(\frac{-3}{5}\right)=\frac{-\left(-3\right)}{5}=\frac{3}{5}$. Ta có: $\frac{-3}{5}+\frac{3}{5}=0.$ 

b) Quy tắc trừ hai phân số

– Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu, ta trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu.

$\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$.

– Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu những phân số đó rồi trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ 4. Tính:

a) $\frac{7}{-15}-\frac{-8}{15}$

b) $\frac{3}{5}-\frac{-7}{4}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{7}{-15}-\frac{-8}{15}=\frac{-7}{15}-\frac{-8}{15}=\frac{\left(-7\right)-\left(-8\right)}{15}=\frac{\left(-7\right)+8}{15}=\frac{1}{15}$

b) $\frac{3}{5}-\frac{-7}{4}=\frac{3.4}{5.4}-\frac{\left(-7\right).5}{4.5}=\frac{12}{20}-\frac{-35}{20}=\frac{12-\left(-35\right)}{20}=\frac{12+35}{20}=\frac{37}{20}$

– Muốn trừ hai phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left(-\frac{c}{d}\right).$

Ví dụ 5. Tính: $\frac{1}{6}-\frac{-5}{6}$

Hướng dẫn giải

$\frac{1}{6}-\frac{-5}{6}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{-5}{6}\right)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{6}{6}=1$

3. Quy tắc dấu ngoặc

– Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng “+” đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc.

– Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ “‒“ đằng trước, ta phải đổi dấu của các số hạng trong ngoặc: dấu “+” thành dấu “‒“ và dấu “‒“ thành dấu “+”.

$\frac{a}{b}-\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}-\frac{g}{h}\right)=\frac{a}{b}-\frac{c}{d}-\frac{e}{f}+\frac{g}{h}$

Ví dụ 6. Tính một cách hợp lí: $A=\frac{-3}{17}-\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{17}\right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có $A=\frac{-3}{17}-\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{17}\right)$

$A=\frac{-3}{17}-\frac{2}{3}+\frac{3}{17}$

$A=\frac{-3}{17}+\frac{3}{17}-\frac{2}{3}$

$A=\left(\frac{-3}{17}+\frac{3}{17}\right)-\frac{2}{3}$

$A=0-\frac{2}{3}$

$A=-\frac{2}{3}$

Vậy $A=-\frac{2}{3}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính:

a) $\frac{6}{13}+\frac{-15}{39}$

b) $\frac{-18}{24}+\frac{15}{21}$

c) $\frac{1}{6}-\frac{5}{6}$

d) $\frac{7}{21}-\frac{9}{-36}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{6}{13}+\frac{-15}{39}=\frac{6}{13}+\frac{\left(-15\right):3}{39:3}=\frac{6}{13}+\frac{-5}{13}=\frac{6+\left(-5\right)}{13}=\frac{1}{13}$

b) $\frac{-18}{24}+\frac{15}{21}=\frac{\left(-18\right):6}{24:6}+\frac{15:3}{21:3}=\frac{-3}{4}+\frac{5}{7}$

 $=\frac{\left(-3\right).7}{4.7}+\frac{5.4}{7.4}=\frac{-21}{28}+\frac{20}{28}=\frac{\left(-21\right)+20}{28}=\frac{-1}{28}$                  

c) $\frac{1}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1-5}{6}=\frac{1+\left(-5\right)}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{\left(-4\right):2}{6:2}=\frac{-2}{3}$

d) $\frac{7}{21}-\frac{9}{-36}=\frac{7:7}{21:7}-\frac{-9}{36}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{-9}{36}\right)=\frac{1}{3}+\frac{9}{36}$

$=\frac{1}{3}+\frac{9:9}{36:9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1.4}{3.4}+\frac{1.3}{4.3}$

$=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}$

Bài 2. Tính một cách hợp lí:

a) $A=\frac{-5}{7}+\frac{3}{4}+\frac{-1}{5}+\frac{-2}{7}+\frac{1}{4}$

b) $B=\frac{-3}{31}-\frac{6}{17}-\frac{-1}{25}+\frac{-28}{31}+\frac{-11}{17}-\frac{1}{5}$

c) $C=\frac{-5}{21}-\left(\frac{16}{21}-1\right)$

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{-5}{7}+\frac{3}{4}+\frac{-1}{5}+\frac{-2}{7}+\frac{1}{4}$

$=\frac{-5}{7}+\frac{-2}{7}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{-1}{5}$

 $=\left(\frac{-5}{7}+\frac{-2}{7}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)+\frac{-1}{5}$     

$=\frac{\left(-5\right)+\left(-2\right)}{7}+\frac{3+1}{4}+\frac{-1}{5}$

  $=\frac{-7}{7}+\frac{4}{4}+\frac{-1}{5}$

$=-1+1+\frac{-1}{5}$

$=0+\frac{-1}{5}$

$=\frac{-1}{5}$

Vậy $A=\frac{-1}{5}$.

b) $B=\frac{-3}{31}-\frac{6}{17}-\frac{-1}{25}+\frac{-28}{31}+\frac{-11}{17}-\frac{1}{5}$

$=\frac{-3}{31}+\frac{-28}{31}-\frac{6}{17}+\frac{-11}{17}-\frac{-1}{25}-\frac{1}{5}$

 $=\left(\frac{-3}{31}+\frac{-28}{31}\right)+\left(-\frac{6}{17}+\frac{-11}{17}\right)+\left(-\frac{-1}{25}-\frac{1}{5}\right)$  

$=\frac{\left(-3\right)+\left(-28\right)}{31}+\frac{\left(-6\right)+\left(-11\right)}{17}+\left(\frac{1}{25}-\frac{5}{25}\right)$

$=\frac{-31}{31}+\frac{-17}{17}+\frac{1-5}{25}$

$=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\frac{-4}{25}$

$=-2+\frac{-4}{25}$

$=\frac{-50}{25}+\frac{-4}{25}$

$=\frac{-50+\left(-4\right)}{25}$

$=\frac{-54}{25}.$

Vậy $B=\frac{-54}{25}.$

c) $C=\frac{-5}{21}-\left(\frac{16}{21}-1\right)$

$=\frac{-5}{21}-\frac{16}{21}+1$

$=\left(\frac{-5}{21}-\frac{16}{21}\right)+1$

$=\frac{-5-16}{21}+1$

$=\frac{\left(-5\right)+\left(-16\right)}{21}+1$

$=\frac{-21}{21}+1$

= (‒1) + 1

= 0.

Vậy C = 0.

Bài 3. Tìm x, biết:

a) $x-\frac{1}{5}=\frac{2}{11}$

b) $x+\frac{7}{8}=\frac{13}{12}$

c) $-\frac{-7}{5}-x=\frac{4}{9}$

d) $x+\frac{5}{6}=\frac{16}{42}-\frac{-8}{56}$

Hướng dẫn giải

a) $x-\frac{1}{5}=\frac{2}{11}$

$x=\frac{2}{11}+\frac{1}{5}$

$x=\frac{2.5}{11.5}+\frac{1.11}{5.11}$

$x=\frac{10}{55}+\frac{11}{55}$

$x=\frac{10+11}{55}$

$x=\frac{21}{55}$

Vậy $x=\frac{21}{55}$

b) $x+\frac{7}{8}=\frac{13}{12}$      

 $x=\frac{13}{12}-\frac{7}{8}$ 

$x=\frac{13.2}{12.2}-\frac{7.3}{8.3}$

$x=\frac{26}{24}-\frac{21}{24}$

$x=\frac{26-21}{24}$

$x=\frac{5}{24}$ 

Vậy $x=\frac{5}{24}$

c) $-\frac{-7}{5}-x=\frac{4}{9}$

$\frac{7}{5}-x=\frac{4}{9}$

 $x=\frac{7}{5}-\frac{4}{9}$                                                              

$x=\frac{7.9}{5.9}–\frac{4.5}{9.5}$

$x=\frac{63}{45}-\frac{20}{45}$

$x=\frac{63-20}{45}$

$x=\frac{43}{45}$

Vậy $x=\frac{43}{45}$

d) $x+\frac{5}{6}=\frac{16}{42}-\frac{-8}{56}$

$x+\frac{5}{6}=\frac{16}{42}+\left(-\frac{-8}{56}\right)$

$x+\frac{5}{6}=\frac{16}{42}+\frac{8}{56}$

$x+\frac{5}{6}=\frac{16:2}{42:2}+\frac{8:8}{56:8}$

$x+\frac{5}{6}=\frac{8}{21}+\frac{1}{7}$

$x+\frac{5}{6}=\frac{8}{21}+\frac{1.3}{7.3}$

$x+\frac{5}{6}=\frac{8}{21}+\frac{3}{21}$

$x+\frac{5}{6}=\frac{8+3}{21}$

$x+\frac{5}{6}=\frac{11}{21}$

$x=\frac{11}{21}-\frac{5}{6}$

$x=\frac{11.6}{21.6}-\frac{5.21}{6.21}$

$x=\frac{66}{126}-\frac{105}{126}$

$x=\frac{66-105}{126}$

$x=\frac{-39}{126}$

$x=\frac{\left(-39\right):3}{126:3}$

$x=\frac{-13}{42}$

Vậy $x=\frac{-13}{42}$

Bài 4. Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 4 giờ, người thứ hai phải mất 7 giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Hướng dẫn giải:

Coi toàn bộ công việc là  đơn vị.

Người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ. Suy ra trong 1 giờ thì người thứ nhất làm được $\frac{1}{4}$ công việc.

Người thứ hai làm xong công việc trong 7 giờ. Suy ra trong  giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{7}$ công việc.

Do đó trong 1 giờ, cả hai cùng làm thì được số phần công việc là:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{1.7}{4.7}+\frac{1.4}{7.4}=\frac{7}{28}+\frac{4}{28}=\frac{7+4}{28}=\frac{11}{28}$ (công việc).

Vậy nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được $\frac{11}{28}$ công việc.

Bài 5. Chị An sau khi tốt nghiệp đại học và đi làm, chị nhận được tháng lương đầu tiên. Chị quyết định dùng $\frac{3}{5}$ số tiền để chi tiêu cùng gia đình và $\frac{1}{3}$ số tiền để mua quà tặng bố mẹ, số tiền còn lại chị để tiết kiệm. Số phần tiền để tiết kiệm của chị An là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Coi toàn bộ số tiền lương thág đầu tiên của chị An là 1 đơn vị.

Số tiền còn lại sau khi chị dùng $\frac{3}{5}$ số tiền để chi tiêu cùng gia đình là:

$1-\frac{3}{5}=\frac{5}{5}-\frac{3}{5}=\frac{5-3}{5}=\frac{2}{5}$ (số tiền)

Số tiền để tiết kiệm của chị An là:

$\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{2.3}{5.3}-\frac{1.5}{3.5}=\frac{6}{15}-\frac{5}{15}=\frac{6-5}{15}=\frac{1}{15}$ (số tiền)

Vậy số phần tiền  để tiết kiệm của chị An là $\frac{1}{15}$.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 6 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: So sánh các phân số. Hỗn số dương

Lý thuyết Bài 3: Phép cộng. Phép trừ phân số

Lý thuyết Bài 4: Phép nhân, phép chia phân số

Lý thuyết Bài 5: Số thập phân

Lý thuyết Bài 6: Phép cộng, phép trừ số thập phân