Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Bài tập Mệnh đề và Tập hợp
Chương 1: Mệnh đề – tập hợp
Bài 1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
A. Lý thuyế
Mệnh đề là 1 câu khẳng định đúng hoặc sai
Mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
Ví dụ 1: Hà nội là thủ đô của nước Việt nam
Ví dụ 2: Hãy đi nhanh lên
2. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P
Mệnh đề ” Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P;.
Ký hiệu là \(\bar P\).
Nhận xét. Nếu P đúng thì \(\bar P\) sai, nếu P sai thì \(\bar P\) đúng.
Ví dụ 3: 12 là số nguyên tố.
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo.
Cho hai mệnh đề P và Q.
Mệnh đề “nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo.
Ký hiệu là \(P \Rightarrow Q\).
Nhận xét. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi P đúng Q sai.
Cho mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). Khi đó mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) gọi là mệnh đề đảo của \(Q \Rightarrow P\)
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề
P : ” Tam giác ABC cân”.
Q: ” Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”
Hãy phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\).
Lời giải.
4. Mệnh đề tưong đương.
Cho hai mệnh đề P và Q.
Mệnh đề ” P nếu và chỉ nếu Q ” gọi là mệnh đề tương đương.
Ký hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\).
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) đúng khi cả \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow PA\quad \) cùng đúng.
Chú ý: “Tương đương” còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như “điều kiện cần và đủ”, “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu”.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM.
Xét hai mệnh đề: P :” Tam giác ABC vuông tại A “
Q :” Trung tuyến AM bằng một nữa cạnh BC “,
Hãy phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). Mệnh đề này đúng hay sai.
Hãy phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\).
Mệnh đề này đúng hay sai. Hãy phát biểu mệnh đề \(Q \Leftrightarrow P\). Mệnh đề này đúng hay sai.
5. Mệnh đề chứa biến.
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
Ví dụ 6: \(P(n)\) : ” n chia hết cho 5 ” với n là số tự nhiên. \(P(x;y)\) :” \(2x + y = 5\) ” Với x, y là số thực.
6. Các kí hiệu \(\forall ,\exists \) và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu \(\forall ,\exists \).
a. Kí hiệu \(\forall \) : đọc là với mọi.
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với \(\forall x \in X\). Khi đó khẳng định mệnh đề:
“Với mọi x thuộc \(X,P(x)\) đúng ” hay” P(x) đúng với mọi x thuộc X “
Được ký hiệu là
\(\forall x \in X,P(x){\rm{ }}\)
Mệnh đề này đúng nếu với \({x_0}\) bất kỳ thuộc \(X,P\left( {{x_0}} \right)\) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề này sai nếu có một \({x_0}\) thuộc X sao cho \(P\left( {{x_0}} \right)\) là mệnh đề sai.
Ví dụ 7. Cho mệnh đề \(P(x):{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 4x + 5 > 0\) “. Xét tính đúng sai của mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó.
Lời giải
b. Kí hiệu \(\exists \) : đọc là tồn tại
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với \(\forall x \in X\). Khi đó khẳng định mệnh đề:
“Tồn tại x thuộc \(X,P(x)\) đúng “
Được ký hiệu là
\(\exists x \in X,P(x){\rm{ }}\)
Mệnh đề này đúng nếu có \({x_0}\) thuộc \(X,P\left( {{x_0}} \right)\) là mệnh đề đúng.
Ví dụ 8. Cho mệnh đề \(P(x):{\rm{ }}\exists x \in \mathbb{Z},{x^2} = 3\) “. Xét tính đúng sai của mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó.
Lời giải.
c. Mối quan hệ hai kí hiệu.
Phủ định của mệnh đề ” \(\forall x \in X,P(x)\) ” là mệnh đề ” \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \) “.
Phủ định của mệnh đề ” \(\exists x \in X,P(x)\) ” là mệnh đề ” \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \) “.
B. Phân dạng và bài tập minh họa
Dạng 1. Mệnh đề và tính đúng sai của mệnh đề
1. Phương pháp:
• Khẳng định đúng là mệnh đề đúng, khẳng định sai là mệnh đề sai.
• Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng-sai đều không phải là mệnh đề.
• Tính đúng-sai có thể chưa xác định hoặc không biết nhưng chắc chắn hoặc đúng hoặc sai cũng là mệnh đề.
– Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai hoặc không đúng cũng không sai.
* Mệnh đề đúng, mệnh đề sai
\(\bar P\) đúng \( \Leftrightarrow P\) sai;
\(\sigma \bar P\) sai \( \Leftrightarrow P\) đúng
\(\nabla (P \Rightarrow Q)\) chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Đặc biệt:
Nếu \(P\) sai thì \((P \Rightarrow Q)\) luôn đúng dù Q đúng hoặc sai.
*ếu \(Q\) đúng thì \((P \Rightarrow Q)\) luôn đúng dù P đúng hoặc sai.
\(\nabla (P \Leftrightarrow Q)\) chỉ đúng khi P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.
– Mệnh đề chứa dấu \(\forall ,\exists \).
\(\forall x \in X,P(x)\) đúng \( \Leftrightarrow \) mọi \(\forall {x_0} \in X,P\left( {{x_0}} \right)\) đúng.
\(\forall x \in X,P(x)\) sai \( \Leftrightarrow \) có \({x_0} \in X,P\left( {{x_0}} \right)\) sai.
\(\exists x \in X,P(x)\) đúng \( \Leftrightarrow \) có \({x_0} \in X,P\left( {{x_0}} \right)\) đúng.
\(\exists x \in X,P(x)\) sai \( \Leftrightarrow \) mọi \({x_0} \in X,P\left( {{x_0}} \right)\) sai.
2. Bài tập minh họa.
Bài 1. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề hay cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
a). Không được đi lối này!
b). Bây giờ là mấy giờ ?
c). 7 không là số nguyên tố.
d). \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ.
Lời giải
Bài 2. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
a). Số \(\pi \) có lớn hơn 3 hay không ?
b). Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
c). Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
d). Phương trình \({x^2} + 2015x – 2016 = 0\) vô nghiệm
Bài 3. Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề P : “tam giác ABC vuông” và \(Q:{\rm{ }}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) ” . Phát biểu và cho biết mệnh đề sau đúng hay sai
a). \(P \Rightarrow Q\).
b). \(Q \Rightarrow P\).
Lời giải
Bài 4. Cho tam giác ABC. Lập mênh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai của chúng khi
a). P : “Góc A bằng và Q: ” Cạnh BC lớn nhất
b) P :” \(A = B\) ” và Q :” Tam giác ABC cân”.
Lời giải
Bài 5. Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó
a). P : “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và Q : “Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau.
b) \(P:{\rm{ }} – \sqrt 3 > – \sqrt 2 {\rm{ }}\) và \(Q:{\rm{ }}{( – \sqrt 3 )^3} > {( – \sqrt 2 )^3}{\rm{ }}\)
c). P : “Tam giác ABC có \(A = B + C\) ” và \(Q\) : “Tam giác ABC có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) “.
d). P : “Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam” và Q : “Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới “.
Lời giải
Bài 6. Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó
a). P : “Tứ giác ABCD là hình thoi” và \(Q\) : “Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại điểm mỗi đường.
b). \(2 > 9{\rm{ }}\) và \(Q:{\rm{ }}4 < 3\)
c). \(P\) : “Tam giác $A B C$ vuông cân tại \(A\) ” và \(Q\) : “Tam giác $A B C$ có \(A = 2B\) “.
Xem thêm