LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1.1. Äá»nh nghÄ©a
ÄÆ°á»ng thẳng d Äược gá»i là vuông góc vá»i mặt phẳng (P) nếu ÄÆ°á»ng thẳng d vuông góc vá»i má»i ÄÆ°á»ng thẳng a trong mặt phẳng (P), kà hiá»u \(d\bot \left( P \right)\) hoặc \(\left( P \right)\bot d\). |
1.2. Äiá»u kiá»n Äá» ÄÆ°á»ng thẳng vuông góc vá»i mặt phẳng
Äá»nh lÃ
Nếu má»t ÄÆ°á»ng thẳng vuông góc vá»i hai ÄÆ°á»ng thẳng cắt nhau cùng thuá»c má»t mặt phẳng thì nó vuông góc vá»i mặt phẳng ấy. |
1.3. TÃnh chất
TÃnh chất 1
Có duy nhất má»t mặt phẳng Äi qua má»t Äiá»m cho trÆ°á»c và vuông góc vá»i má»t ÄÆ°á»ng thẳng cho trÆ°á»c. |
TÃnh chất 2
Có duy nhất má»t ÄÆ°á»ng thẳng Äi qua má»t Äiá»m cho trÆ°á»c và vuông góc vá»i má»t mặt phẳng cho trÆ°á»c. |
1.4. Liên há» giữa quan há» song song và quan há» vuông góc của ÄÆ°á»ng thẳng và mặt phẳng
TÃnh chất 3
– Cho hai ÄÆ°á»ng thẳng song song. Má»t mặt phẳng vuông góc vá»i ÄÆ°á»ng thẳng nà y thì cÅ©ng vuông góc vá»i ÄÆ°á»ng thẳng kia. – Hai ÄÆ°á»ng thẳng phân biá»t cùng vuông góc vá»i má»t mặt phẳng thì song song vá»i nhau. |
TÃnh chất 4
– Cho hai mặt phẳng song song. Má»t ÄÆ°á»ng thẳng vuông góc vá»i mặt phẳng nà y thì cÅ©ng vuông góc vá»i mặt phẳng kia. – Hai mặt phẳng phân biá»t cùng vuông góc vá»i má»t ÄÆ°á»ng thẳng thì song song vá»i nhau. |
1.5. Phép chiếu vuông góc
Gá»i M‘ là giao Äiá»m của ÄÆ°á»ng thẳng d và mặt phẳng (P). Äiá»m Mâ Äược gá»i là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của Äiá»m M trên mặt phẳng (P).
Äá»nh nghÄ©a
Cho mặt phẳng (P). Quy tắc Äặt tÆ°Æ¡ng ứng má»i Äiá»m M trong không gian vá»i hình chiếu vuông góc M‘ của Äiá»m Äó lên mặt phẳng (P) Äược gá»i là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P). |
Nháºn xét:
Vì phép chiếu vuông góc là má»t trÆ°á»ng hợp Äặc biá»t của phép chiếu song song nên phép chiếu vuông góc có Äầy Äủ các tÃnh chất của phép chiếu song song.
1.6. Äá»nh là ba ÄÆ°á»ng vuông góc
Äá»nh lÃ
Cho ÄÆ°á»ng thẳng a không vuông góc vá»i mặt phẳng (P) và ÄÆ°á»ng thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi Äó, d vuông góc vá»i a khi và chá» khi d vuông góc vá»i hình chiếu aâ của a trên (P). |
Chứng minh
– Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiá»n nhiên.
– Ta xét trÆ°á»ng hợp a không nằm trong (P). Lấy Äiá»m \(M\in a\). Gá»i H là hình chiếu của M trên (P) thì aâ Äi qua H. Gá»i (Q) là mặt phẳng chứa hai ÄÆ°á»ng thẳng a và MH. Do \(MH\bot (P)\) mà \(d\subset (P)\) nên \(MH\bot d\).
Giả sá» \(d\bot a’\). Khi Äó, d vuông góc vá»i hai ÄÆ°á»ng thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (Q) là a‘ và MH. Suy ra \(d\bot (Q)\), mà \(a\subset (Q)\) nên \(d\bot a\).
Giả sá» \(d\bot a\). Khi Äó, bằng cách chứng minh tÆ°Æ¡ng tá»± nhÆ° trên, ta có: \(d\bot a’\).
===========
VÍ DỤ MINH HỌA
Bà i 1. Cho hình chóp S.ABCD Äáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD = 2a, AB = BC = a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông?
HÆ°á»ng dẫn giải
Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD(1)\)
Gá»i I là trung Äiá»m của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.
Do Äó, \(\widehat {ACI} = {45^0}.\) (*)
Mặt khác tam giác CID vuông cân tại I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}.\) (**)
Từ (*) (**) suy ra: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).
Từ (1) và (2) suy ra: \(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).
Hay tam giác SCD vuông tại C.
Bà i 2. Cho hình chóp S.ABC có Äáy ABC là tam giác vuông tại C, \(SA \bot (ABC).\)
a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).
b) Gá»i E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)
c) Gá»i (P) là mặt phẳng qua AE và vuông góc vá»i SB, (P) giao vá»i SB tại D. ÄÆ°á»ng thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)
HÆ°á»ng dẫn giải
a) Ta có: \(BC \bot AC{\rm{ }}(gt){\rm{ (1)}}\)
Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
b) Ta có: \(AE \bot SC{\rm{ (3) (gt)}}\)
Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC{\rm{ (4)}}\)
Từ (3) (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)
c) Ta có mặt phẳng (P) chÃnh là mặt phẳng (ADE).
Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA{\rm{ (5)}}\)
Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB{\rm{ (6)}}\).
Từ (5) (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)
================= HOCZ.NET ============
Để lại một bình luận