Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau
– Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
– Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
– Hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
1.2. Tổng và hiệu của hai vectơ
a) Tổng của hai vectơ
– Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Lấy một điểm A tuỳ ý và vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \) (Hình bên dưới). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và được kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \).
– Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
– Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bắt kì A, B, C, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
– Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là một hình binh hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
– Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tuỳ ý:
-
Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \)
-
Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)
-
Tính chất của vectơ-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a \)
b) Hiệu của hai vectơ
– Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \). Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(-\overrightarrow a \).
– Vectơ \(\overrightarrow 0 \) được coi là vectơ đối của chính nó.
– Vectơ \(\overrightarrow a + \left( { – \overrightarrow b } \right)\) được gọi là hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và được kí hiệu là \(\overrightarrow a – \overrightarrow b \). Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
– Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} – \overrightarrow {OM} \)
1.3. Tích của một vectơ với một số
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k > 0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(k\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k <0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(-k\left| {\overrightarrow a } \right|\).
– Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) và hai số thực k, t, ta luôn có:
\(\begin{array}{l}
*k\left( {t\overrightarrow a } \right) = \left( {kt} \right)\overrightarrow a \\
*\left( {k + t} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\
*k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a – k\overrightarrow b .\\
*1\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\left( { – 1} \right)\overrightarrow a = – \overrightarrow a
\end{array}\)
1.4. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
a) Tọa độ của vectơ
Với mỗi vectơ ứ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u = {x_0}\overrightarrow i + {y_0}\overrightarrow j \). Ta nói vectơ \(\overrightarrow u \) có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và viết \(\overrightarrow u = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) hay \(\overrightarrow u \left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Các số \({{x_0},{y_0}}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).
b) Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
– Cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {x;y} \right)\). Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{*\vec u + \vec v = \left( {x + x’;y + y’} \right);}\\
{*\vec u – \vec v = \left( {x – x’;y – y’} \right);}\\
{*k\vec u = \left( {kx;ky} \right),k \in R}
\end{array}\)
– Nếu điểm M có toạ độ (x; y) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có toạ độ (x; y) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
– Với hai điểm M(x; y) và N(x’; y’) thì \(\overrightarrow {MN} = \left( {x’ – x;y’ – y} \right)\) và khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x’ – x} \right)}^2} + {{\left( {y’ – y} \right)}^2}} \)
1.5. Tích vô hướng của hai vectơ
a) Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \({\vec 0}\). Từ một điểm A tuỳ ý, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \) (Hình cho bên dưới). Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay đơn giản là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).
b) Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \), được xác định bởi công thức sau:
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)
c) Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {x’;y’} \right)\) được tính theo công thức: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = xx’ + yy’\)
Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) bất kì và mọi số thực k. ta có:
* \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u \) (tính chất giao hoán);
* \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow {\rm{w}} } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow {\rm{w}} \) (tính chất phân phối đối với phép cộng);
* \(\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u \left( {k.\overrightarrow v } \right)\).
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
Hướng dẫn giải
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.\), hay \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Do đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = (2; – 3),\;\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; – 12)\)
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \)
b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u \)
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a \)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow u = (2; – 3)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j \)
Tương tự ta có: \(\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; – 12)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j ;\;\;\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j \end{array} \right.\)(theo câu a)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4\left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + 4.\;\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4.2.\;\overrightarrow i + 4.\left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = 6.\;\overrightarrow i + \left( { – 2} \right).\;\overrightarrow j \\4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}\)
c) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\) nên ta suy ra \(4.\;\overrightarrow u = \overrightarrow a \)
Câu 3: Xét các vectơ cùng phương trong hình cho sau. Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \)được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow x \) được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) và các vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Hướng dẫn giải
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng: có giá song song và cùng hướng với nhau.
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow x \) ngược hướng: có giá song song và ngược hướng với nhau.
Vectơ \(\overrightarrow z \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow z \) ngược hướng với nhau.
Vectơ \(\overrightarrow y \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow y \) cùng hướng với nhau.
Vectơ \(\overrightarrow b \) có giá không song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương với nhuau. Do vậy không xét chúng cùng hướng hay ngược hướng với nhau.