Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Toán 7 – CD

Trong tam giác ABC, đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

+ Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ví dụ: Trong ba đoạn thẳng AM, DN, CP (Hình 98), đoạn thẳng nào là đường trung tuyến của tam giác ABC?

Giải

+ Đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của tam giác ABC vì A là đỉnh của tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh BC.

+ Đoạn thẳng DN không là đường trung tuyến của tam giác ABC vì cả D và N không là đỉnh của tam giác ABC.

+ Đoạn thẳng CP không là đường trung tuyến của tam giác ABC vì C là đỉnh của tam giác ABC mà P không là trung điểm của cạnh AB.

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

Chú ý: Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến AA, BN, CP cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G (Hình 102). Do đó, để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến 8N và CP cắt nhau tại G. Đường thẳng AG cắt BC tại ẤM (Hình 103).

Chứng minh rằng AM là trung điểm của cạnh BC.

Giải

Hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì G \(\in\) AM nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vậy M là trung điểm của cạnh BC. 

Câu 1: Trong Hình sau, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?

Hướng dẫn giải

Đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác: KAC (đỉnh K và trung điểm H của cạnh AC) và HBC (đỉnh H và trung điểm K của cạnh BC).

Câu 2: Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Ta có G là giao điểm của hai đường trung tuyến QM và RK.

Mà I là trung điểm của QR nên PI cũng là đường trung tuyến trong tam giác PQR.

Vậy PI giao với QM và RK tại G

Do đó, G thuộc PI hay ba điểm P, G, I thẳng hàng.