Phương trình đường thẳng trong không gian – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 5.8 trang 28 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 2), B(1; 2; 1), C(2; 3; 4).

a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm C và song song với AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 2; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và đường thẳng AB đi qua A(0; 0; 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AB là $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2-\mathrm{t}\end{array}\right.$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là $\frac{\mathrm{x}}{1}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\frac{\mathrm{z}-2}{-1}$.

b) Theo đề bài, đường thẳng d song song với đường thẳng AB nên $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 2; −1) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và đường thẳng d đi qua C(2; 3; 4).

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4-\mathrm{t}\end{array}\right.$.

Bài 5.9 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 3y – z + 2 = 0 và điểm A(1; −1; −2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; −3; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-2-\mathrm{t}\end{array}\right.$.

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Do I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I có dạng I(1 + 2t; −1 – 3t; −2 – t), mà I cũng thuộc (P) nên ta có:

2(1 + 2t) – 3(−1 – 3t) – (−2 – t) + 2 = 0

⇔ 14t + 9 = 0

⇔ t = $-\frac{9}{14}$.

Do đó, I$\left(-\frac{2}{7};\frac{13}{14};-\frac{19}{14}\right)$.

Bài 5.10 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): x – y – z = 0.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trên mặt phẳng (P) sao cho d’ cắt và vuông góc với d.

Lời giải:

a) Theo đề, I là giao của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Gọi I(2 + 3t; −1 – t; – 3 + 2t), thay vào phương trình mặt phẳng (P) được

2 + 3t – (−1 – t) – (−3 + 2t) = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

Vậy I(−7; 2; −9).

b)  Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (1; −1; −1), vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}$ = (3; −1; 2).

Do d’ nằm trên (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với d nên đường thẳng d’ đi qua điểm I(−7; 2; −9) và nhận $\left[\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}\right]$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& -1\end{array}\right|\right)$ = (−1; −5; 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d’ là $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-7-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-5\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-9+2\mathrm{t}\end{array}\right.$.

Bài 5.11 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-2+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4-3\mathrm{t}\end{array}\right.$ và d’: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1-2\mathrm{s}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{s}\\ \mathrm{z}=5+3\mathrm{s}.\end{array}\right.$

a) Chứng minh rằng d // d’.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}$ = (2; 1; −3) và $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{d}}^{‘}}}$ = (−2; −1; 3) = −1(2; 1; −3) là hai vectơ cùng phương và điểm A(1; −2; 4) thuộc đường thẳng d nhưng không thuộc d’ (do thay A và d’ thì hệ $\left\{\begin{array}{l}1-2\mathrm{s}=1\\ 2-\mathrm{s}=-2\\ 5+3\mathrm{s}=4\end{array}\right.$ vô nghiệm).

Do đó, d ∥ d’.

b) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}$ = (2; 1; −3).

Lấy A(1; −2; 4) ∈ d và B(1; 2; 5) ∈ d’ ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (0; 4; 1).

Do (P) chứa hai đường thẳng d và d’ nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 4& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 4\end{array}\right|\right)$ = (13; −2; 8).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

13(x – 1) – 2(y + 2) + 8(z – 4) = 0

⇔ 13x – 2y + 8z – 49 = 0.

Bài 5.12 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và d’: $\frac{\mathrm{x}+2}{3}=\frac{\mathrm{y}+1}{2}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$.

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}$ = (−1; 1; 2), $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{d}}^{‘}}}$ = (3; 2; −1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d’.

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; −3), đường thẳng d’ đi qua B(−2; −1; 0)

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (−3; −3; 3).

Có $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{d}}^{‘}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 3& 2\end{array}\right|\right)$ = (−5; 5; −5).

Ta được $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{d}}^{‘}}}\right].\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = −5.(−3) + 5.(−3) + 3.(−5) = −15 ≠ 0.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

Bài 5.13 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một xe tải có chiều cao bằng 1, di chuyển trên mặt phẳng (Oxyz) và cần chui qua gầm của một cây cầu. Cây cầu đó thuộc đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2\end{array}\right.$. Hỏi chiều cao của gầm cầu có đủ để xe tải chui qua hay không?

Lời giải:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −1; 2) và đường thẳng song song với mặt phẳng (Oxy). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (Oxy) bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy).

Ta có: $\mathrm{d}\left(\mathrm{A},\left(\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{y}\right)\right)$ = 2 > 1, do đó xe tải có chiều cao bằng 1 thì chui qua được gầm cầu.

Bài 5.14 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một người ở trong một căn phòng, mắt người đặt tại vị trí A(1; 2; 3), nhìn ra ngoài khu vườn qua một khung của sổ có dạng hình tròn tâm O(0; 0; 0), bán kính 2 và thuộc mặt phẳng (Oyz). Hỏi qua khung cửa sổ, người đó có nhìn thấy bông hoa ở vị trí M(−2; 1; 1) hay không?

Lời giải:

Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (Oyz) ⇒ N(0; b; c).

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{N}}$ = (−1; b – 2; c – 3) và $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}$ = (−3; −1; −2) là hai vectơ cùng phương nên ta có $\frac{\mathrm{b}-2}{-1}=\frac{\mathrm{c}-3}{-2}=\frac{-3}{-1}=3$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-1\\ \mathrm{c}=-3\end{array}\right.$ ⇒ N(0; −1; −3).

Như vậy ON = $\sqrt{0+{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{10}$ > 2 nên mắt người đặt ở vị trí A không thể nhìn thấy bông hoa đặt ở vị trí M qua một đường tròn có tâm O bán kính bằng 2 nằm trên mặt phẳng (Oyz).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 14: Phương trình mặt phẳng

Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Bài 17: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 18: Xác suất có điều kiện