Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (Chân trời sáng tạo 2024)

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

– Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², là một số được tính theo công thức sau:

$s^{2} = \frac{m {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + . . . + m_{k} {(x_{k} - \bar{x})}^{2}}{n}$

Trong đó, $n = m_{1} + . . . + m_{k}$ ; $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ và $\bar{x} = \frac{m_{1} x_{1} + . . . + m_{k} x_{k}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

– Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt{s^{2}}$ .

2. Ý nghĩa

– Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

– Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Sơ đồ tư duy Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

B. Bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Yếu tố được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu là:

A. Khoảng biến thiên.

B. Khoảng tứ phân vị.

C. Phương sai.

D. Phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu.

Bài 2. Chọn phương sán sai:

A. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai của mẫu số liệu gốc.

B. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán.

C. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

D. Phương sai có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án sai là: Phương sai có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Bài 3. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Doanh thu	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)	[13; 15)
Số ngày	2	7	7	3	1

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Bảng thống kê có giá trị đại diện là

Doanh thu	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)	[13; 15)
Giá trị đại diện	6	8	10	12	14
Số ngày	2	7	7	3	1

Giá trị trung bình là

$\bar{x} = \frac{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}{20} = 9, 4$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$S^{2} = \frac{{2.6}^{2} + {7.8}^{2} + {7.10}^{2} + {3.12}^{2} + {1.14}^{2}}{20} - 9, 4^{2} = 4, 04$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$S = \sqrt{4, 04} \approx 2, 01$ .

Bài 4. Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được cho ở bảng sau:

Khoảng điểm	[6,5; 7)	[7; 7,5)	[7,5; 8)	[8; 8,5)	[8,5; 9)	[9; 9,5)	[9,5; 10)
Tần số	8	10	16	24	13	7	4

Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Bảng thông kê có giá trị đại diện

Khoảng điểm	[6,5; 7)	[7; 7,5)	[7,5; 8)	[8; 8,5)	[8,5; 9)	[9; 9,5)	[9,5; 10)
Giá trị đại diện	6,75	7,25	7,75	8,25	8,75	9,25	9,75
Tần số	8	10	16	24	13	7	4

Cỡ mẫu n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82.

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

$\bar{x} = \frac{8.6, 75 + 10.7, 25 + 16.7, 75 + 24.8, 25 + 13.8, 75 + 7.9, 25 + 4.9, 75}{82} \approx 8, 12$ .

Phương sai của mẫu số liệu là

$S^{2} = \frac{8.6, 75^{2} + 10.7, 25^{2} + 16.7, 75^{2} + 24.8, 25^{2} + 13.8, 75^{2} + 7.9, 25^{2} + 4.9, 75^{2}}{82} - 8, 12^{2} \approx 0, 64$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$S = \sqrt{0, 64} = 0, 8$ .

Bài 5. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở hai lô hàng A và B cho trong bảng sau:

Cân nặng (g)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Lô hàng A	1	7	12	3	2
Lô hàng B	2	5	10	4	4

a) Hãy so sánh cân nặng trung bình của 25 quả bơ của hai lô hàng A và lô hàng B.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cân nặng của 25 quả bơ của lô hàng nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Bảng thống kê có giá trị đại diện

Cân nặng (g)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Giá trị đại diện	152,5	157,5	162,5	167,5	172,5
Lô hàng A	1	7	12	3	2
Lô hàng B	2	5	10	4	4

a) Giá trị trung bình của lô A là

$\bar{x_{A}} = \frac{1.152, 5 + 7.157, 5 + 12.162, 5 + 3.167, 5 + 2.172, 5}{25} = 162, 1$ .

Giá trị trung bình của lô B là

$\bar{x_{B}} = \frac{2.152, 5 + 5.157, 5 + 10.162, 5 + 4.167, 5 + 4.172, 5}{25} = 163, 1$ .

Cân nặng trung bình của lô hàng B nặng hơn lô hàng A.

b) Phương sai của lô A

$S_{A}^{2} = \frac{1.152, 5^{2} + 7.157, 5^{2} + 12.162, 5^{2} + 3.167, 5^{2} + 2.172, 5^{2}}{25} - 162, 1^{2} = 21, 84$ .

Độ lệch chuẩn của lô A

$S_{A} = \sqrt{21, 84} \approx 4, 67$ .

Phương sai của lô B

$S_{B}^{2} = \frac{2.152, 5^{2} + 5.157, 5^{2} + 10.162, 5^{2} + 4.167, 5^{2} + 4.172, 5^{2}}{25} - 163, 1^{2} = 32, 64$ .

Độ lệch chuẩn của lô B

$S_{B} = \sqrt{32, 64} \approx 5, 71$ .

Vì S_B > S_A nên cân nặng của 25 quả bơ ở lô hàng A thì có sự phân bố đồng đều hơn.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Lý thuyết Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy