Skip to content

Trang Học trực tuyến

  • Môn Toán

Trang Học trực tuyến

  • Home » 
  • Lý thuyết Toán 12 – Chân trời

Lý thuyết Toán 12 Chương 3 (Chân trời sáng tạo): Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

By admin 20/11/2024 0

Lý thuyết Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1.1 Khoảng biến thiên

● Định nghĩa

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Chú ý:

– Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Nếu n1 và nk cùng khác 0 thì R = uk + 1 – u1.

– Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

• Ý nghĩa của khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

– Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu.

– Khoảng biến thiên R = uk + 1 – u1 chưa phản ánh được đầy đủ mức độ phân tán của phần lớn các số liệu. Hơn nữa, giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác.

1.2. Khoảng tứ phân vị

Chú ý: Tứ phân vị thứ i, kí hiệu là Qi với i = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm (Bảng 1) được xác định như sau:

Qi=um+in4−Cnmum+1−um, trong đó:

+) n = n1 + n2 + …+ nk là cỡ mẫu;

+) [um; um + 1) là nhóm chứa tứ phân vị thứ i;

+) nm là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ i;

+) C = n1 + n2 + …+ nm – 1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cũng được xác định dựa trên tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba như đối với mẫu số liệu không ghép nhóm.

• Định nghĩa khoảng tứ phân vị

Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng 1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ∆Q, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q3 và tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là ∆Q = Q3 – Q1.

• Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu (tập hợp gồm 50% số liệu nằm chính giữa mẫu số liệu).

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

– Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q3 + 1,5∆Q hoặc x < Q1 – 1,5∆Q.

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.

2. Phương sai, độ lệch chuẩn

● Định nghĩa

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu S2, được tính bởi công thức

S2=1nn1c1−x¯2+n2c2−x¯2+…+nkck−x¯2,

trong đó: n = n1 + n2 + …+ nk là cỡ mẫu; x¯=1nn1c1+n2c2+…+nkck là số trung bình.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu S, là căn bậc hai số học của phương sai, nghĩa là S=S2.

Chú ý:

a) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có thể được tính theo công thức sau:

S2=1nn1c12+n2c22+…+nkck2−x¯2.

b) Trong thống kê, người ta còn dùng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:

s^2=1n−1n1c1−x¯2+n2c2−x¯2+…+nkck−x¯2.

• Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

– Phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán.

– Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

B. Bài tập Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Bài tập tự luận

Bài 1. Chiều cao của 42 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét) được cho trong bảng sau:

Nhóm

[40; 45)

[45; 50)

[50; 55)

[55; 60)

[60; 65)

[65; 70)

Tần số

5

10

7

9

7

4

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 42.

Giả sử x1; x2; …; x42 là chiều cao của 42 mẫu cây được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là x11 mà x11 thuộc nhóm [45; 50) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [45; 50).

Q1=45+424−510.50−45=47,75.

Tứ phân vị thứ ba là x32 mà x32 ∈ [60; 65) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [60; 65).

Q3=60+424.3−317.65−60≈60,36.

Có ∆Q = 60,36 – 47,75 = 12,6.

Bài 2. Một câu lạc bộ thể dục thể thao đã ghi lại số giờ các thành viên của mình sử dụng cơ sở vật chất của câu lạc bộ để tập luyện trong tháng. Kết quả thu được trong bảng sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 85.

Giả sử x1; …; x85 là thời gian sử dụng cơ sở vật chất của câu lạc bộ để tập luyện trong tháng của 85 thành viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là x21+x222 mà x21; x22 ∈ [5; 9) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [5; 9).

Ta có Q1=5+854−1014.9−5=11514.

Tứ phân vị thứ ba là x64+x652 mà x64; x65 ∈ [21; 25) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [21; 25).

Ta có Q3=21+854.3−6223.25−21=49023.

Do đó ΔQ=49023−11514=4215322≈13.

Bài 3. Số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mua sách của 60 khách hàng ở một cửa hàng trong một ngày được thống kê lại dưới bảng sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 3 Chân trời sáng tạo

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Trong 60 khách hàng mua sách có 1 khách hàng trả 40 nghìn đồng. Hỏi số tiền của khách hàng này có phải là giá trị ngoại lệ không?

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 90 – 40 = 50.

Cỡ mẫu n = 60.

Giả sử x1; x2; …; x60 là số tiền của 60 khách hàng mua sách được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là x15+x162 mà x15; x16  ∈ [60; 70) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [60; 70).

Ta có Q1=60+604−919.70−60=120019.

Tứ phân vị thứ ba là x45+x462 mà x45; x46 ∈ [70; 80) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [70; 80).

Ta có Q3=70+604.3−2823.80−70=178023.

Do đó ΔQ=178023−120019=6220437≈14,23.

b) Vì Q1−1,5ΔQ=120019−1,5.14,23≈41,81>40 nên số tiền mua sách của khách này là giá trị ngoại lệ.

Bài 4. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Doanh thu

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

[13; 15)

Số ngày

2

7

7

3

1

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Bảng thống kê có giá trị đại diện là

Doanh thu

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

[13; 15)

Giá trị đại diện

6

8

10

12

14

Số ngày

2

7

7

3

1

Giá trị trung bình là

x¯=2.6+7.8+7.10+3.12+1.1420=9,4.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

S2=2.62+7.82+7.102+3.122+1.14220−9,42=4,04.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

S=4,04≈2,01.

Bài 5. Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được cho ở bảng sau:

Khoảng điểm

[6,5; 7)

[7; 7,5)

[7,5; 8)

[8; 8,5)

[8,5; 9)

[9; 9,5)

[9,5; 10)

Tần số

8

10

16

24

13

7

4

Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Bảng thông kê có giá trị đại diện

Khoảng điểm

[6,5; 7)

[7; 7,5)

[7,5; 8)

[8; 8,5)

[8,5; 9)

[9; 9,5)

[9,5; 10)

Giá trị đại diện

6,75

7,25

7,75

8,25

8,75

9,25

9,75

Tần số

8

10

16

24

13

7

4

Cỡ mẫu n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82.

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

x¯=8.6,75+10.7,25+16.7,75+24.8,25+13.8,75+7.9,25+4.9,7582≈8,12.

Phương sai của mẫu số liệu là

S2=8.6,752+10.7,252+16.7,752+24.8,252+13.8,752+7.9,252+4.9,75282−8,122≈0,64

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

S=0,64=0,8.

Bài 6. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở hai lô hàng A và B cho trong bảng sau:

Cân nặng (g)

[150; 155)

[155; 160)

[160; 165)

[165; 170)

[170; 175)

Lô hàng A

1

7

12

3

2

Lô hàng B

2

5

10

4

4

a) Hãy so sánh cân nặng trung bình của 25 quả bơ của hai lô hàng A và lô hàng B.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cân nặng của 25 quả bơ của lô hàng nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Bảng thống kê có giá trị đại diện

Cân nặng (g)

[150; 155)

[155; 160)

[160; 165)

[165; 170)

[170; 175)

Giá trị đại diện

152,5

157,5

162,5

167,5

172,5

Lô hàng A

1

7

12

3

2

Lô hàng B

2

5

10

4

4

a) Giá trị trung bình của lô A là

xA¯=1.152,5+7.157,5+12.162,5+3.167,5+2.172,525=162,1.

Giá trị trung bình của lô B là

xB¯=2.152,5+5.157,5+10.162,5+4.167,5+4.172,525=163,1.

Cân nặng trung bình của lô hàng B nặng hơn lô hàng A.

b) Phương sai của lô A

SA2=1.152,52+7.157,52+12.162,52+3.167,52+2.172,5225−162,12=21,84.

Độ lệch chuẩn của lô A

SA=21,84≈4,67.

Phương sai của lô B

SB2=2.152,52+5.157,52+10.162,52+4.167,52+4.172,5225−163,12=32,64.

Độ lệch chuẩn của lô B

SB=32,64≈5,71a.

Vì SB > SA nên cân nặng của 25 quả bơ ở lô hàng A thì có sự phân bố đồng đều hơn.

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Giá trị x được gọi là giá trị ngoại lệ nếu:

A. x < Q3 + 1,5∆Q.

B. x < Q3 − 1,5∆Q.

C. x > Q1 − 1,5∆Q.

D. x > Q3 + 1,5∆Q.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q3 + 1,5∆Q hoặc x < Q1 – 1,5∆Q.

Bài 2. Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 80.

B. 60.

C. 90.

D. 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 100 – 0 = 100.

Bài 3. Yếu tố được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu là:

A. Khoảng biến thiên.

B. Khoảng tứ phân vị.

C. Phương sai.

D. Phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu.

Bài 4. Chọn phương sán sai:

A. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai của mẫu số liệu gốc.

B. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán.

C. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

D. Phương sai có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án sai là: Phương sai có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Lý thuyết Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

Lý thuyết Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Lý thuyết Chương 6: Xác suất có điều kiện

Tags : Tags 1. Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1   chi tiết)   Tập 2 (hay
Share
facebookShare on FacebooktwitterShare on TwitteremailShare on Email
Post navigation
Previous post

Lý thuyết Hệ trục toạ độ trong không gian (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 12

Next post

Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 12

Bài liên quan:

Lý thuyết Toán 12 Chương 1 (Chân trời sáng tạo): Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Lý thuyết Tính đơn diệu và cực trị của hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Chương 2 (Chân trời sáng tạo): Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Vectơ và các phép toán trong không gian (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toạ độ của vectơ trong không gian (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Leave a Comment Hủy

Mục lục

  1. Lý thuyết Toán 12 Chương 1 (Chân trời sáng tạo): Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
  2. Lý thuyết Tính đơn diệu và cực trị của hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  3. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  4. Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  5. Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  6. Lý thuyết Toán 12 Chương 2 (Chân trời sáng tạo): Vectơ và hệ tọa độ trong không gian
  7. Lý thuyết Vectơ và các phép toán trong không gian (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  8. Lý thuyết Toạ độ của vectơ trong không gian (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  9. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  10. Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  11. Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12
  12. Lý thuyết Toán 12 Chương 4 (Chân trời sáng tạo): Nguyên hàm. Tích phân
  13. Lý thuyết Toán 12 Chương 5 (Chân trời sáng tạo): Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu
  14. Lý thuyết Toán 12 Chương 6 (Chân trời sáng tạo): Xác suất có điều kiện

Copyright © 2025 Trang Học trực tuyến
  • Sach toan
  • Giới thiệu
  • LOP 12
  • Liên hệ
  • Sitemap
  • Chính sách
Back to Top
Menu
  • Môn Toán