Tìm giá trị của tham số m để:
a) \(x = 3\) là một nghiệm của bất phương trình \(\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + 2mx – 15 \le 0\)
b) \(x = – 1\) là một nghiệm của bất phương trình \(m{x^2} – 2x + 1 > 0\)
c) \(x = \frac{5}{2}\) là một nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} + 2mx – 5m \le 0\)
d) \(x = – 2\) là một nghiệm của bất phương trình \(\left( {2m – 3} \right){x^2} – \left( {{m^2} + 1} \right)x \ge 0\)
e) \(x = m + 1\) là một nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + 2mx – {m^2} – 2 < 0\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
Bất phương trình bậc lai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0\) với \(a \ne 0\).
Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bắt đẳng thúc đúng.
Lời giải chi tiết
a) \(x = 3\) là nghiệm của bất phương trình \(\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + 2mx – 15 \le 0\) khi và chỉ khi:
\(\left( {{m^2} – 1} \right){.3^2} + 2m.3 – 15 \le 0 \Leftrightarrow 9{m^2} + 6m – 24 \le 0\)
Tam thức \(9{m^2} + 6m – 24\) có \(a = 9 > 0\) và hai nghiệm là \(m = – 2\) và \(m = \frac{4}{3}\)
Do đó \(9{m^2} + 6m – 24 \le 0 \Leftrightarrow – 2 \le m \le \frac{4}{3}\)
Vậy \(m \in \left[ { – 2;\frac{4}{3}} \right]\)
b) \(x = – 1\) là nghiệm của bất phương trình \(m{x^2} – 2x + 1 > 0\) khi và chỉ khi:
\(m.{\left( { – 1} \right)^2} – 2.\left( { – 1} \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > – 3\)
Vậy khi \(m \in \left( { – 3; + \infty } \right)\)
c) \(x = \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} + 2mx – 5m \le 0\) khi và chỉ khi:
\(4.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2m.\left( {\frac{5}{2}} \right) – 5m \le 0 \Leftrightarrow 25 \le 0\) (vô lí)
Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu
d) \(x = – 2\) là nghiệm của bất phương trình \(\left( {2m – 3} \right){x^2} – \left( {{m^2} + 1} \right)x \ge 0\) khi và chỉ khi:
\(\left( {2m – 3} \right).{\left( { – 2} \right)^2} – \left( {{m^2} + 1} \right).\left( { – 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2{m^2} + 8m – 10 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le – 5\\m \ge 1\end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left( { – \infty ; – 5} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
e) \(x = m + 1\) là nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + 2mx – {m^2} – 2 < 0\) khi và chỉ khi:
\(2.{\left( {m + 1} \right)^2} + 2m.\left( {m + 1} \right) – {m^2} – 2 < 0 \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m < 0 \Leftrightarrow – 2 < x < 0\)
Vậy \(m \in \left( { – 2;0} \right)\)
— *****
Trả lời