Giải SGK Toán 8 Bài 29 (Kết nối tri thức): Hệ số góc của đường thẳng

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng

1. Hệ số góc của đường thẳng

HĐ1 trang 51 Toán 8 Tập 2: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ hai đường thẳng sau:

(d): y = 2x + 1 và (d’): y = –2x + 1.

a) So sánh góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox với 90°.

b) So sánh góc tạo bởi đường thẳng (d’) và trục Ox với 90°.

Lời giải:

+ Xét (d): y = 2x + 1

Cho y = 0 thì x = $\frac{-1}{2}$, ta được giao điểm của đồ thị với trục Ox là $A\left(\frac{-1}{2};0\right)$.

Cho x = 0 thì y = 1, ta được giao điểm của đồ thị với trục Oy là B(0; 1).

Đường thẳng (d) chính là đường thẳng AB.

+ Xét (d’): y = –2x + 1

Cho y = 0 thì x = $\frac{1}{2}$, ta được giao điểm của đồ thị với trục Ox là $C\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Cho x = 0 thì y = 1, ta được giao điểm của đồ thị với trục Oy là B(0; 1).

Đường thẳng (d’) chính là đường thẳng BC.

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, ta vẽ được hai đường thẳng như sau:

a) Góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox nhỏ hơn 90°.

b) Góc tạo bởi đường thẳng (d’) và trục Ox lớn hơn 90°.

HĐ2 trang 52 Toán 8 Tập 2: Từ kết quả của HĐ1, em có nhận xét gì về quan hệ giữa hệ số a của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox?

Lời giải:

Khi hệ số góc a dương thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc nhọn.

Khi hệ số góc a âm thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc tù.

Câu hỏi trang 52 Toán 8 Tập 2: Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau:

y = 3x – 1; y = 2 – x; $y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)$.

Lời giải:

Đường thẳng y = 3x – 1 có hệ số góc là a = 3.

Đường thẳng y = 2 – x có hệ số góc là a = – 1.

Ta có: $y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$nên đường thẳng $y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)$ có hệ số góc là $a=\frac{1}{2}$.

Luyện tập 1 trang 52 Toán 8 Tập 2: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –1.

Lời giải:

Gọi y = ax + b là hàm số bậc nhất cần tìm (a ≠ 0).

Vì hàm số có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 nên a = 3. Khi đó y = 3x + b.

Lại có đồ thị này cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 hay giao điểm giữa đồ thị và trục tung có tọa độ (0; – 1) nên thay x = 0 và y = – 1 vào y = 3x + b, ta được:

– 1 = 3 . 0 + b, suy ra b = – 1.

Vậy hàm số cần tìm là y = 3x – 1.

Tranh luận trang 52 Toán 8 Tập 2: Đường thẳng $y=\frac{2x+1}{2}$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Tròn: Đường thẳng này có hệ số góc a = 2.

Vuông: Không đúng, đường thẳng này có hệ số góc a = 1.

Theo em, bạn nào trả lời đúng, bạn nào trả lời sai? Vì sao?

Lời giải:

Ta có = $y=\frac{2x+1}{2}=\frac{2x}{2}+\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}$

Hệ số góc của đường thẳng bằng 1, vậy Vuông nói đúng.

2. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

HĐ3 trang 53 Toán 8 Tập 2: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ hai đường thẳng y = 2x và y = 2x + 1. Có nhận xét gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng này?

Lời giải:

Đường thẳng y = 2x đi qua hai điểm (0; 0) và (1; 2).

Đường thẳng y = 2x + 1 đi qua hai điểm $\left(\frac{-1}{2};0\right)$ và (0; 1).

Quan sát hình vẽ ta thấy hai đường thẳng này song song với nhau.

Câu hỏi trang 53 Toán 8 Tập 2: Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

a) y = 2x + 1;       b) y = –1 – 2x;     c) y = 2 + 2x;        d) y = –1 + 2x.

Lời giải:

Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = 2 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 1 ≠ 2).

Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 1 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 1 ≠ – 1).

Hai đường thẳng y = 2 + 2x và y = – 1 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 2 ≠ – 1).

HĐ4 trang 53 Toán 8 Tập 2: Cho hai đường thẳng y = 2x – 1 và y = x – 3. Bằng cách so sánh hai hệ số góc, hãy cho biết hai đường thẳng này có song song hay trùng nhau không.

Lời giải:

Hệ số góc của đường thẳng y = 2x – 1 là 2.

Hệ số góc của đường thẳng y = x – 2 là 1.

Vì 2 ≠ 1 nên hai đường thẳng này không song song và cũng không trùng nhau.

Câu hỏi trang 53 Toán 8 Tập 2: Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau:

a) y = 2x + 1;       b) y = 2x;             c) y = 2 + 2x;                 d) y = 1 – 2x.

Lời giải:

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2x + 1 vì – 2 ≠ 2.

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2x vì – 2 ≠ 2.

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2 + 2x vì – 2 ≠ 2.

Luyện tập 2 trang 54 Toán 8 Tập 2: Cho hai hàm số bậc nhất y = 2mx + 1 và y = (m – 1)x + 2. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau.

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải:

Để hàm số y = 2mx + 1 là hàm số bậc nhất thì 2m ≠ 0, tức là m ≠ 0.

Để hàm số y = (m – 1)x + 2 là hàm số bậc nhất thì m – 1 ≠ 0, tức là m ≠ 1.

Vậy ta có điều kiện là m ≠ 0 và m ≠ 1.

a) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song khi a = a′ và b ≠ b’, tức là 2m = m – 1 và 1 ≠ 2 (luôn đúng).

Ta có 2m = m – 1, suy ra m = – 1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy m = – 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi a ≠ a′, tức là

2m ≠ m – 1 hay m ≠ – 1.

Kết hợp với điều kiện, ta được các giá trị m cần tìm là m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ – 1.

Thử thách nhỏ trang 54 Toán 8 Tập 2: Liệu hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc có thể có:

a) Cùng giao điểm với trục Ox không?

b) Cùng giao điểm với trục Oy không?

Lời giải:

a) Hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc tức là chúng song song với nhau nên không có cùng giao điểm với trục Ox.

b) Tương tự, hai đường thẳng này cũng không có cùng giao điểm với trục Oy.

Vận dụng trang 54 Toán 8 Tập 2: Em hãy trình bày cách làm của anh Pi để trả lời câu hỏi của bạn Vuông trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Muốn biết hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ song song hay cắt nhau ta xét các hệ số a; a’; b; b’.

+ Nếu a = a’; b ≠ b’ thì hai đường thẳng song song với nhau.

+ Nếu a ≠ a’ thì hai đường thẳng cắt nhau.

Bài tập

Bài 7.30 trang 54 Toán 8 Tập 2: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (1; – 2) và có hệ số góc là 3.

Lời giải:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0).

Vì đồ thị hàm số là đường thẳng có hệ số góc bằng 3 nên a = 3 hay y = 3x + b.

Hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (1; –2) , thay x = 1, y = –2 vào công thức hàm số, ta được:

– 2 = 3 . 1 + b, tức là b = – 5.

Vậy ta có hàm số là y = 3x – 5.

Bài 7.31 trang 54 Toán 8 Tập 2: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là –2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0).

Vì hàm số có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là –2 nên a = – 2 hay y = –2x + b.

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3, có nghĩa là đường thẳng đi qua điểm (3; 0).

Thay x = 3; y = 0 vào công thức hàm số ta có: 0 = –2 . 3 + b, hay b = 6.

Vậy ta có hàm số y = –2x + 6.

Bài 7.32 trang 54 Toán 8 Tập 2: Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau và các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau.

a) y = –x + 1;                            b) y = –2x + 1;

c) y = –2x + 2;                         d)  y = –x.

Lời giải:

+) Các cặp đường thẳng song song là: 

y = –x + 1 và y = –x (vì chúng có cùng hệ số góc là – 1); 

y = –2x + 1 và y = –2x + 2 (vì chúng có cùng hệ số góc là – 2).

+) Các cặp đường thẳng cắt nhau là: 

y = –x + 1 và y = –2x + 2; 

y = –x và y = –2x + 1; 

y = –x + 1 và y = –2x + 1; 

y = –x và y = –2x + 2.

Bài 7.33 trang 54 Toán 8 Tập 2: Cho hàm số bậc nhất y = mx – 5 và y = (2m + 1)x + 3. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau.

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải:

Hàm số y = mx – 5 là hàm số bậc nhất khi m ≠ 0.

Hàm số y = (2m + 1)x + 3 là hàm số bậc nhất khi 2m + 1 ≠ 0 hay m ≠ $-\frac{1}{2}$.

Vậy ta có điều kiện là m ≠ 0 và m ≠ $-\frac{1}{2}$

a) Hai đường thẳng đã cho song song khi m = 2m + 1, suy ra m = –1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện m ≠ 0 và m ≠ $-\frac{1}{2}$. Vậy giá trị m cần tìm là m = –1.

b) Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi m ≠ 2m + 1, suy ra m ≠ –1.

Kết hợp với điều kiện, ta được m ≠ 0, m ≠ $-\frac{1}{2}$ và m ≠ –1.

Bài 7.34 trang 54 Toán 8 Tập 2: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng y = –3x + 1 và đi qua điểm (2; 6) .

Lời giải:

Gọi y = ax + b là hàm số cần tìm (a ≠ 0).

Vì đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = –3x + 1 nên a = –3 và b ≠ 1.

Suy ra y = – 3x + 1 (b ≠ 1).

Lại có, đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua điểm (2; 6) nên ta có: 

6 = –3 . 2 + b, suy ra b = 12 (thỏa mãn điều kiện b ≠ 1).

Vậy hàm số cần tìm là y = –3x + 12.

Bài 7.35 trang 54 Toán 8 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng y = x và y = –x + 2.

a) Vẽ hai đường thẳng đã cho trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm giao điểm A của hai đường thẳng đã cho.

c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng y = –x + 2 và trục Ox. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại A, tức hai đường thẳng y = x và y = –x + 2 vuông góc với nhau.

d) Có nhận xét gì về tích hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho?

Lời giải:

a)

* Xét đường thẳng y = x

Cho x = 1 suy ra y = 1 nên điểm (1; 1) thuộc đường thẳng y = x.

Đường thẳng y = x đi qua 2 điểm O(0; 0) và (1; 1).

* Xét đường thẳng y = –x + 2

Cho y = 0 thì x = 2 nên điểm (2; 0) thuộc đường thẳng y = – x + 2.

Cho x = 0 thì y = 2 nên điểm (0; 2 ) thuộc đường thẳng y = –x + 2.

Đường thẳng y = – x + 2 đi qua hai điểm (2; 0) và (0; 2).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là:

x = –x + 2

Giải phương trình này ta được x = 1. Từ đó suy ra y = 1.

Vậy tọa độ giao điểm A(1; 1).

c) Giao điểm của đường thẳng y = –x + 2 và trục Ox là B(2; 0).

Gọi C là giao điểm của đường thẳng y = –x + 2 và trục Oy. Suy ra C(0; 2).

Dễ thấy tam giác OBC vuông cân tại O (vì OB = OC = 2).

Xét hai tam giác OAB và OAC có:

Cạnh OA chung;

OB = OC;

$\widehat{OBA}$= $\widehat{OCA}=45°$.

Do đó ΔOAB = ΔOAC, từ đó suy ra AB = AC.

Điều này chứng tỏ A là trung điểm của BC, mà ΔOBC cân tại O nên OA ⊥ AB, tức là ΔOAB vuông tại A.

d) Đường thẳng y = x có hệ số góc bằng 1.

Đường thẳng y = – x + 1 có hệ số góc bằng –1.

Tích của hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho bằng –1.

Từ câu c), ta có nhận xét:

Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng –1.