Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Hệ phương trình
Phương pháp hàm số
Bài 1. Giải hệ phương trinh \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{y^3} + 12{y^2} + 25y + 18 = (2x + 9)\sqrt {x + 4} (1)}\\{\sqrt {3x + 1} + 3{x^2} – 14x – 8 = \sqrt {6 – 4y – {y^2}} (2)}\end{array}} \right.\]
(Thi thử của THPT Nghi Sơn-Thanh Hóa)
Bài giải
Điều kiện\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – \frac{1}{3}}\\{6 – 4y – {y^2} \ge 0}\end{array}} \right.\)(*)
Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f(u) = f(v) )
\(\begin{array}{l}2{y^3} + 12{y^2} + 25y + 18 = (2x + 9)\sqrt {x + 4} \\ \Leftrightarrow 2{(y + 2)^3} + (y + 2) = 2{(\sqrt {x + 4} )^3} + \sqrt {x + 4} \end{array}\)(3)
Tại sao
– Xét hàm đặc trưng \(f(t) = 2{t^3} + t\) trên \(\mathbb{R}\) ta có:
\({f^\prime }(t) = 6{t^2} + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f(t){\rm{ dong bien tren }}\mathbb{R}\)
Nên:
\(\begin{array}{l}(3) \Leftrightarrow f(y + 2) = f(\sqrt {x + 4} )\\ \Leftrightarrow y + 2 = \sqrt {x + 4} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge – 2}\\{{{(y + 2)}^2} = x + 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge – 2}\\{x = 4y + {y^2}}\end{array}} \right.} \right.(4)\end{array}\)
– Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
\(\sqrt {3x + 1} – \sqrt {6 – x} + 3{x^2} – 14x – 8 = 0\)(5)
– Phương trình (5) có 1 nghiệm x = 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.
\((5) \Leftrightarrow (\sqrt {3x + 1} – 4) – (\sqrt {6 – x} – 1) + 3{x^2} – 14x – 5 = 0\)(Tách các biểu thức liên hợp)
\( \Leftrightarrow \frac{{3(x – 5)}}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{{x – 5}}{{\sqrt {6 – x} + 1}} + (x – 5)(3x + 1) = 0\quad \) (Nhân liên hợp)
\( \Leftrightarrow (x – 5)\left[ {\underbrace {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 – x} + 1}} + (3x + 1)}_{ > 0}} \right] = 0 \Leftrightarrow x = 5\)
– Với x = 5 => y = 1 ( thỏa mãn điều kiện *)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;1).
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)
Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số
+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x, y )
+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y )
Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).
Bài 2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} – {y^3} + 17x – 32y = 6{x^2} – 9{y^2} – 24(1)}\\{(y + 2)\sqrt {x + 4} + (x + 9)\sqrt {2y – x + 9} = {x^2} + 9y + 1(2)}\end{array}} \right.\)
( Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 4}\\{2y – x + 9 \ge 0}\end{array}\quad (*)} \right.\)
– Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f(u) = f(v) )
\(\begin{array}{l}{x^3} – {y^3} + 17x – 32y = 6{x^2} – 9{y^2} – 24\\ \Leftrightarrow {x^3} – 6{x^2} + 17x – 18 = {y^3} – 9{y^2} + 32y – 42\quad \end{array}\)
[Tại sao ?]
\( \Leftrightarrow {(x – 2)^3} + 5(x – 2) = {(y – 2)^3} + 5(y – 2)\)(3)
– Xét hàm đặc trưng \(f(t) = {t^3} + 5t\)trên \(\mathbb{R}\) ta có:
\({f^\prime }(t) = 3{t^2} + 5 > 0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f(t){\rm{ dong bien tr\^e n }}\mathbb{R}\)
Nên:
\((3) \Leftrightarrow f(x – 2) = f(y – 3) \Leftrightarrow x – 2 = y – 3 \Leftrightarrow y = x + 1\) (4)
– Thế (4) vào (2) để được phương trình 1 ẩn:
\((x + 3)\sqrt {x + 4} + (x + 9)\sqrt {x + 11} = {x^2} + 9x + 10\) (5)
– Phương trình (5) có 1 nghiệm là x=5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.
\((5) \Leftrightarrow (x + 3)(\sqrt {x + 4} – 3) + (x + 9)(\sqrt {x + 11} – 4) = {x^2} + 2x – 35\)(Tách thành các biểu thức liên hợp)
\[ \Leftrightarrow (x + 3) \cdot \frac{{x – 5}}{{\sqrt {x + 4} + 3}} + (x + 9) \cdot \frac{{x – 5}}{{\sqrt {x + 11} + 4}} = (x – 5)(x + 7)\](Nhân liên hợp)
\[ \Leftrightarrow (x – 5)\left[ {\frac{{x + 3}}{{\sqrt {x + 4} + 3}} + \frac{{x + 9}}{{\sqrt {x + 11} + 4}} – (x + 7)} \right] = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x – 5 = 0}\\{\frac{{x + 3}}{{\sqrt {x + 4} + 3}} + \frac{{x + 9}}{{\sqrt {x + 11} + 4}} – (x + 7) = 0}\end{array}} \right.\)(6)
– Chứng minh (6) vô nghiệm
\((6) \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{\sqrt {x + 4} + 3}} – \frac{{x + 5}}{2} + \frac{{x + 9}}{{\sqrt {x + 11} + 4}} – \frac{{x + 9}}{2} = 0\)
[Tại sao ?]
\( \Leftrightarrow \underbrace {(x + 5)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 3}} – \frac{1}{2}} \right)}_{ < 0} + \underbrace {(x + 9)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 11} + 4}} – \frac{1}{2}} \right)}_{ < 0}\underbrace { – \frac{2}{{\sqrt {x + 4} + 3}}}_{ < 0} = 0:\) phương trình VN
– Với x = 5 => y = 6 (thỏa điều kiện (*))
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) = (5;6)
Bài tập tương tự
Giải các hệ phương trình
1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + {y^3} = 3{x^2} – 6x – 3y + 4}\\{{x^2} + {y^2} – 6x + y – 10 = \sqrt {y + 5} – \sqrt {4x + y} }\end{array}} \right.\)
2) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(53 – 5x)\sqrt {10 – x} + (5y – 48)\sqrt {9 – y} = 0}\\{\sqrt {2x – y + 6} + {x^2} – 2x – 66 = \sqrt { – 2x + y + 11} }\end{array}} \right.\)
3) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(2012 – 3x)\sqrt {4 – x} + (6y – 2009)\sqrt {3 – 2y} }\\{2\sqrt {7x – 8y} + 3\sqrt {14x – 18y} = {x^2} + 6x + 13}\end{array}} \right.\)
4) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \sqrt[3]{x} – y\sqrt {y – 1} = 0}\\{{x^4} + \sqrt {{x^3} – {x^2} + 1} = x{{(y – 1)}^3} + 1}\end{array}} \right.\)
Bài 3. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x + 3} + \sqrt[4]{{x – 2}} – \sqrt {{y^4} + 5} = y(1)}\\{{x^2} + 2x(y – 2) + {y^2} – 8y + 4 = 0(2)}\end{array}} \right.\)
(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu, Đồng Tháp – THTT số 2)
Bài giải
– Điều kiện: \(x \ge 2\quad (*)\)
– Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
\(\begin{array}{l}\sqrt {x + 3} + \sqrt[4]{{x – 2}} – \sqrt {{y^4} + 5} = y\quad \\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{x – 2}} + \sqrt {(x – 2) + 5} = y + \sqrt {{y^4} + 5} \end{array}\)(3)
Xét hàm đặc trưng \(f(t) = t + \sqrt {{t^4} + 5} \) trên nữa khoảng \([0; + \infty )\).
f liên tục trên \([0; + \infty )\) và \({f^\prime }(t) = 1 + \frac{{2{t^3}}}{{\sqrt {{t^4} + 5} }} > 0,\forall t \in [0; + \infty ) \Rightarrow f(t)\) đồng biến trên \([0; + \infty )\)
Do \(\sqrt[4]{{x – 2}} \ge 0\) và \(4y = {(x + y – 2)^2} \Rightarrow y \ge 0\) nên
\(\begin{array}{l}(3) \Leftrightarrow f(\sqrt[4]{{x – 2}}) = f(y)\\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{x – 2}} = y \Leftrightarrow x = {y^4} + 2\end{array}\)(4)
– Thế (4) vào (2) để được phương trình 1 ẩn
\(\begin{array}{l}4y = {\left( {{y^4} + y} \right)^2} \Leftrightarrow y\left( {{y^7} + 2{y^4} + y – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{{y^7} + 2{y^4} + y – 4 = 0}\end{array}} \right.\left( 5 \right)\end{array}\)
– giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số.
Xét hàm số \(g(y) = {y^7} + 2{y^4} + y – 4\)trên nữa khoảng \([0; + \infty )\).
Do g liên tục trên \([0; + \infty )\) và \({{\rm{g}}^\prime }(y) = 7{y^6} + 8{y^3} + 1 > 0,\forall y \in [0; + \infty ) \Rightarrow g(y)\) đồng biến trên \([0; + \infty )\)
Nên: \(\quad (5) \Leftrightarrow g(y) = g(1) \Leftrightarrow y = 1\)
Với \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) [thỏa (*) ]
Với \(y = 1 \Rightarrow x = 3\) [thỏa (*) ]
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2 ; 0) và (3 ; 1)
Bài 4: Giải hệ phương trình:
(Thi thử của THPT Chuyen Vĩnh Phúc)
Bài giải
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x – 1}}{{y + 1}} > 0}\\{x – 3 > 0}\\{y > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 3}\\{y > 0}\end{array}} \right.} \right.\)
– Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
– \((1) \Leftrightarrow {(x – 1)^3} + 3{(x – 1)^2} + \ln (x – 1) = {(y + 1)^3} + 3{(y + 1)^2} + \ln (x + 1)\) (3)
– Xét hàm đặc trưng \(f(t) = {t^3} + 3{t^2} + \ln t\) trên khoảng \((0; + \infty )\)
\({f^\prime }(t) = 3{t^2} + 6t + \frac{1}{t} > 0\forall t > 0 \Rightarrow f(t){\rm{ d?ng bi?n tr\^e n kho?ng }}(0; + \infty )\)
Do \(x – 1 > 0\) và \(y + 1 > 0\) nên
\({\rm{ (3) }} \Leftrightarrow f(x – 1) = f(y + 1) \Leftrightarrow x – 1 = y + 1 \Leftrightarrow y = x – 2\)(4)
– Thế (4) vào (2) để được phương trình 1 ẩn
\((x – 2)\left[ {{{\log }_2}(x – 3) + {{\log }_3}(x – 2)} \right] = x + 1\)(5)
\(\begin{array}{l}(5) \Leftrightarrow {\log _2}(x – 3) + {\log _3}(x – 2) = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}(x – 3) + {\log _3}(x – 2) – \frac{{x + 1}}{{x – 2}} = 0\end{array}\)(6)
– Xét hàm số \(g(x) = {\log _2}(x – 3) + {\log _3}(x – 2) – \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\) trên khoảng \((3; + \infty )\)
\({g^\prime }(x) = \frac{1}{{(x – 3)\ln 2}} + \frac{1}{{(x – 2)\ln 3}} + \frac{3}{{{{(x – 2)}^2}}} > 0\forall x > 3\)
\( \Rightarrow g(x)\) đồng biến trên khoảng \((3; + \infty )\).
Nên
\((6) \Leftrightarrow g(x) = g(5) \Leftrightarrow x = 5\mathop \to \limits^{(4)} y = 3\quad \) [thỏa mãn (*)]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (5 ; 3)
Xem thêm