Giải SGK Toán 8 Ôn tập chương 1 Hình học

Giải bài tập Toán lớp 8 Ôn tập chương 1 Hình học

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 110 Toán 8 Tập 1: Phát biểu định nghĩa tứ giác.

Trả lời:

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Câu hỏi 2 trang 110 Toán 8 Tập 1:Phát biểu định nghĩa hình thang, hình thang cân.

Trả lời:

– Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

– Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Câu hỏi 3 trang 110 Toán 8 Tập 1:Phát biểu các tính chất của hình thang cân.

Trả lời:

Tính chất:

– Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

– Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Câu hỏi 4 trang 110 Toán 8 Tập 1:Phát biểu các tính chất của đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang.

Trả lời:

– Đường trung bình của tam giác:

    + Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

    + Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

– Đường trung bình của hình thang:

    + Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

    + Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Câu hỏi 5 trang 110 Toán 8 Tập 1: Phát biểu định nghĩa hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Trả lời:

– Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

– Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

– Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

– Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Câu hỏi 6 trang 110 Toán 8 Tập 1:Phát biểu các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Trả lời:

Tính chất:

– Hình bình hành:

Trong hình bình hành:

a) Các cạnh đối bằng nhau.

b) Các góc đối bằng nhau.

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

– Hình chữ nhật:

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

– Hình thoi:

Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

– Hình vuông:

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Câu hỏi 7 trang 110 Toán 8 Tập 1:Nêu các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Trả lời:

Dấu hiệu nhận biết:

– Hình bình hành:

1) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

2) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

3) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

4) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

5) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

– Hình chữ nhật:

1) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

2) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

3) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

4) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

– Hình thoi:

1) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

2) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

3) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

4) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

– Hình vuông:

1) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

2) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

3) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

4) Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

5) Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Câu hỏi 8 trang 110 Toán 8 Tập 1:Thế nào là hai điểm đối xứng với nhau qua một đường thẳng? Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng nào?

Trả lời:

– Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

– Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân.

Câu hỏi 9 trang 110 Toán 8 Tập 1:Thế nào là hai điểm đối xứng với nhau qua một điểm? Tâm đối xứng của hình bình hành là điểm nào?

Trả lời:

– Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

– Tâm đối xứng của hình bình hành là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành đó.

Bài tập (trang 111)

Bài 87 trang 111 Toán 8 Tập 1:Sơ đồ ở hình 109 biểu thị quan hệ giữa các tập hợp hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Dựa vào sơ đồ đó, hãy điền vào chỗ trống:

a) Tập hợp các hình chữ nhật là tập hợp con của tập hợp các hình …

b) Tập hợp các hình thoi là tập hợp con của tập hợp các hình …

c) Giao của tập hợp các hình chữ nhật và tập hợp các hình thoi là tập hợp các hình …

Hình 109

Lời giải:

a) Tập hợp các hình chữ nhật là tập hợp con của tập hợp các hình bình hành, hình thang.

b) Tập hợp các hình thoi là tập hợp con của tập hợp các hình bình hành, hình thang.

c) Giao của tập hợp các hình chữ nhật và tập hợp các hình thoi là tập hợp các hình vuông.

Bài 88 trang 111 Toán 8 Tập 1:Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EFGH là:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?

c) Hình vuông?

Lời giải:

Xét $\Delta ABC$, có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

⇒ EF là đường trung bình của ΔABC

⇒ EF // AC và $FE=\frac{AC}{2}$ (1).

Xét $\Delta ADC$, ta có:

H là trung điểm của AD

G là trung điểm của CD

⇒ HG là đường trung bình của ΔADC

⇒ HG // AC và $HG=\frac{AC}{2}.$(2)

Từ (1) và (2) suy ra EF // HG, EF = HG

⇒ EFGH là hình bình hành.

a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF

Mà EF // AC

$\Rightarrow AC\perp EH$(3)

Xét $\Delta ABD$, có:

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

⇒ EH là đường trung bình của ΔABD

⇒ EH // BD và $EH=\frac{BD}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra AC ⊥ BD

b) Hình bình hành EFGH là hình thoi

⇔ EF = EH

⇔ AC = BD (Vì $\text{EF}=\frac{AC}{2},EH=\frac{BD}{2}$)

c) EFGH là hình vuông

⇔ EFGH là hình thoi và EFGH là hình chữ nhật

⇔ AC = BD và AC ⊥ DB.

Bài 89 trang 111 Toán 8 Tập 1:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm dối xứng với M qua D.

a) Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm M qua AB.

b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao?

c) Cho BC = 4cm, tính chu vì tứ giác AEBM.

d) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?

Lời giải:

a) Xét $\Delta ABC$, ta có:

MB = MC, DB = DA

⇒ MD là đường trung bình của ΔABC

⇒ MD // AC, $MD=\frac{AC}{2}$

Mà AC ⊥ AB

⇒ MD ⊥ AB.

Mà D là trung điểm ME

⇒ AB là đường trung trực của ME

⇒ E đối xứng với M qua AB.

b) + MD là đường trung bình của ΔABC

⇒ AC = 2MD (cmt).

E đối xứng với M qua D

⇒ D là trung điểm EM

⇒ EM = 2.MD

⇒ AC = EM.

Lại có AC // EM

⇒ Tứ giác AEMC là hình bình hành.

+ Tứ giác AEBM là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành AEBM lại có AB ⊥ EM nên là hình thoi.

c) Ta có: BC = 4cm ⇒ BM = 2cm

(vì M là trung điểm của BC)

Chu vi hình thoi AEBM bằng

4.BM = 4.2 = 8cm

d)- Cách 1:

Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ AB = EM

Mà EM = AC

⇔ AB = AC

Vậy nếu ABC vuông có thêm điều kiện AB = AC (tức tam giác ABC vuông cân tại A) thì AEBM là hình vuông.

– Cách 2:

Hình thoi AEBM là hình vuông

$\iff \widehat{AMB}={90}^0$

⇔ AM ⊥ BM

⇔ ΔABC có trung tuyến AM là đường cao

⇔ ΔABC cân tại A.

Vậy nếu ΔABC vuông có thêm điều kiện cân tại A thì AEBM là hình vuông.

Bài 90 trang 111 Toán 8 Tập 1:Đố. Tìm trục đối xứng và tâm đối xứng của:

a) Hình 110 (sơ đồ một sân quần vợt)

b) Hình 111 (Tháp Rùa là bóng của nó trên mặt nước)

Lời giải

a) Hình 110:

Sân quần vợt có dạng hình chữ nhật nên nó cũng là hình thang cân nên trục đối xứng chính là đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện.

– Hai trục đối xứng là AB và CD.

– Một tâm đối xứng là O.

b) Hình 111

– Hai trục đối xứng là MN và PQ

– Một tâm đối xứng là I.