Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho IAID = JBJC . Chứng minh rằng IJ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho $\frac{IA}{ID} = \frac{JB}{JC}$ . Chứng minh rằng IJ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Trả lời:

Qua I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại H, ta có:Suy ra HJ // ABNhư vậy mặt phẳng (IJH) song song với AB và CD.Gọi (α) là mặt phẳng qua AB và song song với CD, ta cóVậy IJ song song với mặt phẳng (α) cố định.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_1, G_2, G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng $\left(G_1{G}_2{G}_3\right) // \left(BCD\right).$

   Trả lời:

   Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và BD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.a) Chứng minh rằng (Ax,By) // (Cz,Dt) và (Ax,Dt) // (By,Cz)b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì?c) Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.a) Chứng minh rằng (Ax,By) // (Cz,Dt) và (Ax,Dt) // (By,Cz)b) Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì?c) Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′.

   Trả lời:

   a) Ta có:⇒ Ax // (Cz,Dt)Từ Ax, AB ⊂ (Ax,By) suy ra (Ax, By) // (Cz, Dt)Tương tự ta có (Ax, Dt) // (By,Cz)b) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.c) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’. Dễ thấy OO’ là đường trung bình của hình thang AA’, suy ra Tương tự ta có:

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minha) (ADF) // (BCE).b) M′N′ // DF.c) (DEF) // (MM′N′N) và MN // (DEF).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minha) (ADF) // (BCE).b) M′N′ // DF.c) (DEF) // (MM′N′N) và MN // (DEF).

   Trả lời:

   a)Mà AD, AF ⊂ (ADF)Nên (ADF) // (BCE)b) Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC = BF. Ta có:So sánh (1) và (2) ta được:c) Từ chứng minh trên suy ra DF // (MM′N′N)Mà DF,EF ⊂ (DEF) nên (DEF) // (MM′N′N)Vì MN ⊂ (MM′N′N) và (MM′N′N) // (DEF) nên MN // (DEF).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC'. Gọi I và I'tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B'C'.a) Chứng minh rằng AI // A'I'.b) Tìm giao điểm của IA' với mặt phẳng (AB'C').c) Tìm giao tuyến của (AB'C') và (A'BC).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi I và I’tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’.a) Chứng minh rằng AI // A’I’.b) Tìm giao điểm của IA’ với mặt phẳng (AB’C’).c) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC).

   Trả lời:

   a) Ta có II′ // BB′ và II’ = BB’Mặt khác AA′ // BB′ và AA’ = BB’ nên : AA′ // II′ và AA’ = II’⇒ AA’II’ là hình bình hành.⇒ AI // A′I′b) Ta có:⇒ A ∈ (AB′C′) ∩ (AA′I′I)Tương tự :I′ ∈ (AB′C′) ∩ (AA′I′I) ⇒ (AB′C′) ∩ (AA′I′I) = AI′Đặt AI′ ∩ A′I = E. Ta có:Vậy E là giao điểm của AI’ và mặt phẳng (AB’C’)c) Ta có:Tương tự:Vậy (AB′C′) ∩ (A′BC) = MN

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của A'B'.a) Chứng minh rằng CB′ // (AHC′)b) Tìm giao tuyến d của (AB'C') và (ABC)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.a) Chứng minh rằng CB′ // (AHC′)b) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (ABC)

   Trả lời:

   a) Ta có tứ giác AA’CC’ là hình bình hành suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường.Do đó IH // CB′ ( đường trung bình của tam giác CB’A’)Mặt khác IH ⊂ (AHC′) nên CB′ // (AHC′)b) Ta có:suy ra, ⇒ A là điểm chung của (AB’C’) và (ABC)MàNên (AB′C′) ∩ (ABC) = AxVà Ax // BC // B′C′

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====