Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: 12 + 22 + 32 + …. + n2 = nn+12n+16

Câu hỏi:

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: $1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + n^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Trả lời:

+ Với n = 1 :⇒ (3) đúng với n = 1+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:Thật vậy:

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3n < n + 100” và Q(n): "2n > n" với n ∈ N*.a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): $“3n < n + 100”$ và Q(n): $“2n > n“$ với $n \in N*$.a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

   Trả lời:

   a) Xét P(n) : “3n < n + 100”:+ Với n = 1, P(1) trở thành: “31 < 1 + 100”. Mệnh đề đúng vì 31 = 3 < 1 + 100 = 101.+ Với n = 2, P(2) trở thành: “32 < 2 + 100”. Mệnh đề đúng vì 32 = 9 < 2 + 100.+ Với n = 3, P(3) trở thành: “33 < 3 + 100”. Mệnh đề đúng vì 33 = 27 < 3 + 100.+ Với n = 4, P(4) trở thành: “34 < 4 + 100”. Mệnh đề đúng vì 34 = 81 < 4 + 100.+ Với n = 5, P(5) trở thành: “35 < 5 + 100”. Mệnh đề sai vì 35 = 243 > 5 + 100.Xét Q(n): “2n > n”.+ Với n = 1, Q(1) trở thành: “21 > 1”. Mệnh đề đúng vì 21 = 2 > 1.+ Với n = 2, Q(2) trở thành: “22 > 2”. Mệnh đề đúng vì 22 = 4 > 2.+ Với n = 3, Q(3) trở thành: “23 > 3”. Mệnh đề đúng vì 23 = 8 > 3.+ Với n = 4, Q(4) trở thành: “24 > 4”. Mệnh đề đúng vì 24 = 16 > 4.+ Với n = 5, Q(5) trở thành: “25 > 5”. Mệnh đề đúng vì 25 = 32 > 5.b)+ Nhận thấy P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).+ Với mọi n ∈ N*, Q(n) luôn đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Chứng minh rằng với n ∈ N* thì 1 + 2 + 3 + … + n = nn+12
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với $n \in N*$ thì $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n\left(n+1\right)}{2}$

   Trả lời:

   – Khi n = 1, VT = 1;⇒ VT = VP , do đó đẳng thức đúng với n = 1.- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Cho hai số 3n và 8n với n ∈ N*.a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số $3^n$ và 8n với $n \in N*$.a) So sánh $3^n$ và 8n khi $n = 1, 2, 3, 4, 5.$b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

   Trả lời:

   a)n = 1 ⇒ 31 = 3 < 8 = 8.1n = 2 ⇒ 32 = 9 < 16 = 8.2n = 3 ⇒ 33 = 27 > 24 = 8.3n = 4 ⇒ 34 = 81 > 32 = 8.4n = 5 ⇒ 35 = 243 > 40 = 8.5b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3n > 8n với mọi n ≥ 3- n = 3, bất đẳng thức đúng- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:3k > 8kTa phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:3(k + 1) > 8(k + 1)Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:3(k + 1) = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16kk ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8Suy ra: 3(k + 1) > 8k + 8 = 8(k + 1)Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: 2 + 5 + 8 + … + 3n-1 = n3n+12
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với $n \in N*$, ta có đẳng thức: $2 + 5 + 8 + ... + 3n–1 = \frac{n\left(3n+1\right)}{2}$

   Trả lời:

   + Với n = 1, ta có:VT = 3 – 1 = 2⇒ VT = VP⇒ (1) đúng với n = 1+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :Thật vậy :Ta có :

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: 12 + 14 + 18 + … + 12n =2n-12n
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với $n \in N*$, ta có đẳng thức: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} =\frac{2^n–1}{2^n}$

   Trả lời:

   + Với n = 1 :Vậy (2) đúng với n = 1+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là: Thật vậy, ta có :

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====