Lý thuyết Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
=============
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy. |
---|
Ví dụ: Trong Hình 89, quan sát ba cặp đoạn thẳng và đường thẳng: CD và a, EG và b, PQ và c. Đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng tương ứng trong ba cặp trên? Vì sao?
Giải
Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng CD vì a là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng CD tại trung điểm H của đoạn thẳng CD.
Đường thẳng b không là đường trung trực của đoạn thẳng EG vì b không đi qua trung điểm của đoạn thẳng EG.
Đường thẳng c không là đường trung trực của đoạn thẳng PQ vì c không vuông góc với đoạn thẳng PQ.
1.2. Tính chất
+ Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. + Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. |
---|
Ví dụ: Cho các điểm M, N thuộc đường trung trực của đoạn thắng AB, M và N không thuộc đường thắng AB. Chứng minh rằng \(\Delta \)MNA = \(\Delta \)MNB.
Giải
Xét hai tam giác MNA và MNB, ta có:
MA = MB (vì M thuộc đường trung trực của AB):
NA = NB (vì N thuộc đường trung trực của AB);
MN là cạnh chung.
Suy ra \(\Delta \)MNA = \(\Delta \)MNB (c.c.c).
1.3. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng
Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AZ, ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm
Bước 2. Vẽ một phân đường tròn tâm A bán kính 2 cm
Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm bán kính 2 cm, cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D
Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\). Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Hướng dẫn giải
M là trung điểm của BC nên B, M, C thằng hàng → \(\widehat {BMC} = 180^\circ \). Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\)nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 180^\circ :2 = 90^\circ \)→ \(AM \bot BC\).
Vậy AM đi qua trung điểm M của đoạn thẳng BC và AM vuông góc với BC. Hay AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Câu 2: Hình sau mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn giải
O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vậy suy ra mái nhà bên trái dài 3 m nên mái nhà bên phải cũng dài 3 m.