Lý thuyết Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
=============
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Đường trung trực của tam giác
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó. |
---|
Chú ý: Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.
Ví dụ: Trong ba đường thẳng d, e, g (Hình 123), đường thẳng nào là đường trung trực của tam giác ABC?
Giải
+ Đường thẳng d là đường trung trực của tam giác ABC vì đường thẳng d vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của cạnh đó.
+ Đường thẳng e không là đường trung trực của tam giác ABC vì đường thẳng e không vuông góc với bất kì cạnh nào của tam giác đó.
+ Đường thẳng g không là đường trung trực của tam giác ABC vì đường thẳng g không đi qua trung điểm của bất kì cạnh nào của tam giác đó.
Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường trung trực.
1.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. |
---|
Nhận xét:
+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cân vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.
+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có đường trung trực của hai cạnh AB và BC cất nhau tại O. Điểm O có nằm trên đường trung trực của cạnh AC không? Vì sao?
Giải
Vì ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường trung trực của các cạnh AB và BC cũng thuộc đường trung trực của cạnh AC. Vậy điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh AC.
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm. Chứng minh G cũng là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Giải
Vì G là trọng tâm của tam giác A8C nên các đường thẳng AG, BG, CG lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh này.
Tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại đỉnh A. Suy ra AB = AC.
Do AB =AC, MB = MC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Vì thế, đường trung tuyến AM cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Tương tự các đường trung tuyến BN, CP cũng là các đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Vậy G cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
AD là phân giác của góc A nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).
Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A);
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\);
AD chung
Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.g.c) nên \(BD = CD\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\) D là trung điểm của cạnh BC.
Vì \(\Delta ABD = \Delta ACD\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) ( 2 góc tương ứng).
Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC}=180^0\) (2 góc kề bù) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \Rightarrow AD \bot BC\).
Vậy AD là đường trung trực của tam giác ABC.
Câu 2: Trong hình sau, điểm O có phải là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC không?
Hướng dẫn giải
Trong hình, đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AC nên O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Trả lời