LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1.1. Khoảng cách từ má»t Äiá»m Äến má»t ÄÆ°á»ng thẳng
Äá»nh nghÄ©a
Cho ÄÆ°á»ng thẳng \( \Delta \) và Äiá»m M không thuá»c \( \Delta \). Gá»i H là hình chiếu của Äiá»m M trên ÄÆ°á»ng thẳng \( \Delta \). Äá» dà i Äoạn thẳng MH gá»i là khoảng cách từ Äiá»m M Äến ÄÆ°á»ng thẳng \( \Delta \), kà hiá»u \( d(M, \Delta ) \). |
– Trong Hình bên dÆ°á»i, ta có \(d(M, \Delta ) = MH\).
Chú ý: Khi Äiá»m M thuá»c ÄÆ°á»ng thẳng \( \Delta \) thì \(d(M, \Delta ) = 0\).
1.2. Khoảng cách từ má»t Äiá»m Äến má»t mặt phẳng
Äá»nh nghÄ©a
Cho mặt phẳng (P) và Äiá»m M không thuá»c mặt phẳng (P). Gá»i H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Äá» dà i Äoạn thẳng MH gá»i là khoảng cách từ Äiá»m M Äến mặt phẳng (P), kà hiá»u \( d(M, (P) \). |
Chú ý: Khi Äiá»m M thuá»c mặt phẳng (P) thì \( d(M, (P))=0 \).
1.3. Khoảng cách giữa hai ÄÆ°á»ng thẳng song song
Äá»nh nghÄ©a
Khoảng cách giữa hai ÄÆ°á»ng thẳng song song \( \Delta \), \( {\Delta}’ \) là khoảng cách từ má»t Äiá»m bất kì thuá»c ÄÆ°á»ng thẳng nà y Äến ÄÆ°á»ng thẳng kia, kà hiá»u \(d( \Delta, {\Delta}’).\) |
– Trong Hình bên dÆ°á»i, ta có \(d( \Delta, {\Delta}’) =AB\) vá»i \(A \in \Delta, B \in {\Delta}’\), \(AB \bot \Delta, AB \bot {\Delta}’ \) và \( \Delta // {\Delta}’\).
1.4. Khoảng cách giữa ÄÆ°á»ng thẳng và mặt phẳng song song
Äá»nh nghÄ©a
Cho ÄÆ°á»ng thẳng \( \Delta \) song song song vá»i mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa ÄÆ°á»ng thẳng \( \Delta \) và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ má»t Äiá»m bất kì thuá»c ÄÆ°á»ng thẳng \( \Delta \) Äến mặt phẳng (P), kà hiá»u \(d( \Delta , (P))\). |
– Trong hình dÆ°á»i, ta có: \(d( \Delta , (P))=MM’=h\), trong Äó \(M \in \Delta, M’ \in (P)\), \(MM’ \bot (P)\) và \(\Delta // (P)\).
1.5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Äá»nh nghÄ©a
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P),(Q) là khoảng cách từ má»t Äiá»m bất kì thuá»c mặt phẳng nà y Äến mặt phẳng kia, kà kiá»u \(d((P), (Q))\). |
– Trong hình dÆ°á»i, ta có: \(d((P),(Q)) = IK = h\) vá»i \(I \in (P), K \in (Q), IK \bot (P), IK \bot (Q)\) và \((P) // (Q)\).
1.6 Khoảng cách giữa hai ÄÆ°á»ng thẳng chéo nhau
Äá»nh nghÄ©a
Cho hai ÄÆ°á»ng thẳng a, b chéo nhau. – ÄÆ°á»ng thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai ÄÆ°á»ng thẳng a và b Äược gá»i là ÄÆ°á»ng vuông góc chung của hai ÄÆ°á»ng thẳng Äó. – Äoạn thẳng có hai Äầu mút là giao Äiá»m của ÄÆ°á»ng thẳng c vá»i hai ÄÆ°á»ng thẳng a, b Äược gá»i là Äoạn vuông góc chung của hai ÄÆ°á»ng thẳng Äó. – Äá» dà i Äoạn vuông góc chung của hai ÄÆ°á»ng thẳng a, b gá»i là khoảng cách giữa hai ÄÆ°á»ng thẳng Äó. Kà hiá»u là \(d(a, b)\). |
Nháºn xét:
– Gá»i mặt phẳng chứa b và song song vá»i a là (P), hình chiếu của a trên (P) là aâ, giao Äiá»m của aâ và b là K. Khi Äó, HK là Äoạn vuông góc chung của hai ÄÆ°á»ng thẳng chéo nhau a, b (Hình a). Ngoà i ra, ta cÅ©ng có \(d(a, b) = d(a, (P))\).
– Khi \(a \bot b\), ta có thá» là m nhÆ° sau: Gá»i mặt phẳng Äi qua b và vuông góc vá»i a là (P), giao Äiá»m của a và (P) là H, hình chiếu của H trên b là K. Khi Äó HK là Äoạn vuông góc chung của hai ÄÆ°á»ng thẳng chéo nhau a, b (Hình b).
===========
VÍ DỤ MINH HỌA
Bà i 1. Cho hình chóp S.ABCD có Äáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = \(a\sqrt2\). TÃnh khoảng cách giữa hai ÄÆ°á»ng thẳng chéo nhau AD và SC?
HÆ°á»ng dẫn giải
Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).
Ta có \(AO\cap (SBC)=C\) và \(\frac{CO}{CA}=\frac{1}{2}\), do Äó:
d(A,(SBC)) = 2.d(O,(SBC)).
\(SO \bot (ABCD)\) nên \(SO \bot BC\)
Kẻ \(SI \bot BC\) thì I là trung Äiá»m của BC.
Suy ra: \(BC \bot (SOI)\Rightarrow (SBC)\bot (SOI)\)
\((SBC)\cap (SOI)=SI\)
Kẻ \(OI \bot SI (H\in SI).\) Khi Äó \(d(O,(SBC)) = OH\)
Xét tam giác SOI vuông tại O, theo hỠthức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{J^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}}\) mà \(OJ = \frac{1}{2}.a;\,\,SO = \sqrt {S{C^2} – C{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Suy ra: \(OH = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}a.\)
Váºy: \(d(AD,SC) = 2.\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}a = \frac{{\sqrt {42} }}{7}.a.\)
Bà i 2. Cho tứ diá»n SABC có tam giác ABC vuông cân Äá»nh B, AB = a, SA vuông góc vá»i mặt phẳng (ABC) và SA = a.
a) Chứng minh (SAB) \(\bot\) (SBC) ?
b) TÃnh khoảng cách từ Äiá»m A Äến mp(SBC)?
c) Gá»i I là trung Äiá»m của AB. TÃnh khoảng cách từ Äiá»m I Äến mp(SBC)?
HÆ°á»ng dẫn giải
a) Theo giả thiết ta có: \(SA \bot (ABC)\).
Suy ra \(SA \bot BC\) (1).
Mà \(AB \bot BC\) (giả thiết) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(BC \bot (SAB)\Rightarrow (SBC) \bot (SAB).\)
b) Ta có: \((SAB)\cap (SBC)=SB\).
Kẻ \(AH \bot SB (H\in SB).\)
Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung Äiá»m của SB.
Khi Äó: \(AH \bot (SBC)\) nên \(d(A, (SBC))=AH\).
Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hỠthức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
c) Ta có: \(AB\cap (SBC)=B\) và \(\frac{BI}{BA}=\frac{1}{2}\) (do I là trùng Äiá»m của AB) nên:
\(d(I,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)
Bà i 3. Cho mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), Äiá»m A không thuá»c mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), E là Äiá»m thuá»c AM sao cho: \(\frac{{ME}}{{MA}} = k.\)
a) TÃnh khoảng cách từ A Äến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\)?
b) TÃnh khoảng cách từ E Äến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), từ Äó suy ra khoảng cách từ I â trung Äiá»m của AM Äến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\)?
c) Gá»i d là ÄÆ°á»ng thẳng qua I song song vá»i mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). Lấy J thuá»c d, tÃnh khoảng cách từ J Äến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\)?
d) Gá»i C là chân ÄÆ°á»ng vuông góc của J lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). D là trung Äiá»m của JC. TÃnh khoảng cách từ D Äến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\)?
HÆ°á»ng dẫn giải
a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\) nên: d(A,\(\left (\alpha \right )\)) = AH = h.
b) Gá»i P là chân ÄÆ°á»ng vuông góc của E lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).
Khi Äó: d(E, \(\left (\alpha \right )\)) = EP.
Ta có : EP // AH (Äá»u vuông góc vá»i mp \(\left (\alpha \right )\)) và M, P, H thẳng hà ng.
Theo Äá»nh là Tallet ta có:
\(\frac{{EP}}{{AH}} = \frac{{ME}}{{MA}}=k\)
Khi Äó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).
Vì I là trung Äiá»m của AM nên:
\(d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h\) (áp dụng kết quả (1) vá»i \(k=\frac{1}{2}\)).
c) Ta có: IJCQ là hình chữ nháºt nên IQ=JC
Do Äó: \(d(J,\left( \alpha \right)) = d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h.\)
d) D là trung Äiá»m của JC nên \(\frac{CD}{CJ}=\frac{1}{2}.\)
Suy ra: \(d(Q,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}d(J,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.h = \frac{1}{4}.h\).
================= HOCZ.NET ============