LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1.1. Äá»nh nghÄ©a
Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bá»n góc nhá» diá»n. Nếu má»t trong các góc nhá» diá»n Äó là góc nhá» diá»n vuông thì hai mặt phẳng Äã cho gá»i là vuông góc vá»i nhau. |
– Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc vá»i nhau, ta kà hiá»u \((P)\bot (Q)\) hoặc \((Q)\bot (P)\).
1.2. Äiá»u kiá»n Äá» hai mặt phẳng vuông góc
Äá»nh là 1
Nếu mặt phẳng nà y chứa má»t ÄÆ°á»ng thẳng mà ÄÆ°á»ng thẳng Äó vuông góc vá»i mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng Äó vuông góc vá»i nhau. |
Chứng minh
– Giả sá» có hai mặt phẳng (P) và (Q) thoả mãn \(a \subset (P)\) và \(a\bot (Q)\). Gá»i O là giao Äiá»m của a và (Q).
– Do hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng chứa O nên hai mặt phẳng Äó cắt nhau theo giao tuyến d Äi qua O. Trong mặt phẳng (Q), qua O kẻ ÄÆ°á»ng thẳng b vuông góc vá»i d.
– Lấy hai Äiá»m M, N lần lượt thuá»c ÄÆ°á»ng thẳng a, b. Ta thấy ÄÆ°á»ng thẳng d vuông góc vá»i hai tia OM, ON, suy ra góc MON là góc phẳng nhá» diá»n của góc nhá» diá»n \([M, d, N]\).
– Do \(a\bot (Q)\), \(ON \subset (Q)\) nên \(a\bot (ON)\), suy ra \(\widehat{MON}={{90}^{0}}\). Vì thế, góc nhá» diá»n \([M, d, N]\) là góc nhá» diá»n vuông hay \((P)\bot (Q)\).
1.3. TÃnh chất
Äá»nh là 2
Nếu hai mặt phẳng vuông góc vá»i nhau thì bất cứ ÄÆ°á»ng nà o nằm trong mặt phẳng nà y và vuông góc vá»i giao tuyến cÅ©ng vuông góc vá»i mặt phẳng kia. |
Chứng minh
– Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc vá»i nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Cho ÄÆ°á»ng thẳng \(a \subset (P)\) sao cho \(a\bot d\). Gá»i O là giao Äiá»m của a và d.
– Lấy hai Äiá»m M, N lần lượt trên hai mặt phẳng (P), (Q) sao cho M, N không thuá»c ÄÆ°á»ng thẳng d. Gá»i góc aOb là góc phẳng nhá» diá»n của góc nhá» diá»n \([M, d, N]\).
– Do góc nhá» diá»n Äó là góc nhá» diá»n vuông nên \(\widehat{aOb}={{90}^{0}}\), tức là \(a\bot Ob\). ÄÆ°á»ng thẳng a vuông góc vá»i hai ÄÆ°á»ng thẳng cắt nhau của mặt phẳng (Q) là d và Ob nên \(a\bot (Q)\).
Äá»nh là 3
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc vá»i mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc vá»i mặt phẳng thứ ba Äó. |
Chứng minh
– Giả sá» hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d; (P) và (Q) cùng vuông góc vá»i mặt phẳng (R).
– Gá»i a, b lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng (R) vá»i hai mặt phẳng (P), (Q). Xét Äiá»m M thuá»c ÄÆ°á»ng thẳng d.
– Trong mặt phẳng (P), gá»i \({d_1}\) là ÄÆ°á»ng thẳng Äi qua Äiá»m M và vuông góc vá»i ÄÆ°á»ng thẳng a. Theo Äá»nh là 2, ta có: \({d_1}\bot (R)\).
– Trong mặt phẳng (Q), gá»i \({d_2}\) là ÄÆ°á»ng thẳng Äi qua Äiá»m M và vuông góc vá»i ÄÆ°á»ng thẳng b. Theo Äá»nh là 2, ta có: \({d_2}\bot (R)\).
– Suy ra \({d_1}\) trùng \({d_2}\) nên hai ÄÆ°á»ng thẳng Äó cùng nằm trên cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Cho nên \({d_1},{d_2}\) và d trùng nhau. Váºy \(d\bot (R)\).
===========
VÍ DỤ MINH HỌA
Bà i 1. Cho hình lÄng trụ Äứng ABC.AâBâCâ, Äáy ABC là tam giác cân AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = {120^0}\), BBâ = a, I là trung Äiá»m của CCâ. TÃnh cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (ABâI)?
HÆ°á»ng dẫn giải
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác ABâI lên mặt phẳng (ABC).
Gá»i Ï là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABâI).
Theo công thức hình chiếu ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}}\).
Ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(AB’ = \sqrt {A{B^2} + BB{‘^2}} = a\sqrt 2\)
\(IB’ = \sqrt {B’C{‘^2} + IC{‘^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Suy ra: Tam giác ABâI vuông tại A nên \({S_{AB’I}} = \frac{1}{2}.AB’.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Váºy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)
Bà i 2. Cho hình láºp phÆ°Æ¡ng ABCD.AâBâCâDâ có cạnh bằng a. TÃnh sá» Äo của góc giữa (BAâC) và (DAâC)?
HÆ°á»ng dẫn giải
Kẻ \(BH \bot A’C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A’C)}}\) (1).
Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)
\(AA’ \bot (ABCD) \Rightarrow AA’ \bot BD{\rm{ }}\)
\(\Rightarrow BD \bot (ACA’) \Rightarrow BD \bot A’C\) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
\(A’C \bot (BDH) \Rightarrow A’C \bot DH\)
Do Äó: \((\widehat {(BA’C),(DA’C)}) = (\widehat {HB,HD})\).
Xét tam giác BCA’ ta có:
\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{‘^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)
Ta có:
\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} – B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\).
Váºy: \(\widehat {((BA’C),(DA’C))} =180^0-120^0= {60^0}.\)
================= HOCZ.NET ============