Tóm tắt lý thuyết
1.1. Tập hợp các số hữu tỉ
– Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0)\). Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q
– Vì các số thập phân đã biết đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều là các số hữu tỉ.
– Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) là số hữu tỉ -\(\frac{a}{b}\)
*Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ
– Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh 2 phân số đó.
– Với 2 số hữu tỉ a và b bất kì, ta luôn có hoặc a = b, hoặc a < b, hoặc a > b. Cho 3 số hữu tỉ a, b, c. Nếu a < b; b < c thì a < c ( Tính chất bắc cầu)
– Trên trục số, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b.
1.2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ
a) Cộng và trừ hai số hữu tỉ
Cách cộng và trừ hai số hữu tỉ: Ta có thể viết cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.
* Tính chất của phép cộng số hữu tỉ:
+ Giao hoán: a + b = b + a
+ Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c
+ Cộng với số 0 : a + 0 = a
+ 2 số đối nhau luôn có tổng là 0: a + (-a) = 0
b) Nhân và chia hai số hữu tỉ
Cách nhân và chia hai số hữu tỉ: Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia hai phân số.
* Tính chất của phép nhân số hữu tỉ:
+ Giao hoán: a . b = b . a
+ Kết hợp: a . (b . c) = (a . b) . c
+ Nhân với số 0 : a . 0 = 0
+ Nhân với số 1 : a . 1 = a
+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a . ( b + c) = a.b + a.c
1.3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ
a) Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x , kí hiệu xn , là tích của n thừa số x ( n là số tự nhiên lớn hợn 1)
\({x^n} = \underbrace {x \cdot x \cdot x \cdot … \cdot x}_{n{\kern 1pt} \;thua\;{\kern 1pt} so}\left( {x \in Q,n \in N,n > 1} \right)\)
xn đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x.
x gọi là cơ số, n gọi là số mũ
Quy ước: x0 = 1 ( x \( \ne \) 0); x1 = x
b) Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số
+ Khi nhân 2 lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng 2 số mũ
\({x^m}\;.{\rm{ }}{x^n}\; = {\rm{ }}{x^{m + n}}\)
+ Khi chia 2 lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi lũy thừa của số chia
\({x^m}:{x^n} = {x^{m – n}}(x \ne 0;m \ge n)\)
c) Lũy thừa của lũy thừa
Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.
\({({x^m})^n}\; = {\rm{ }}{x^{m.n}}\)
1.4. Thứ tự thực hiện các phép tính – Quy tắc chuyển vế
a) Thứ tự thực hiện các phép tính
* Với các biểu thức chỉ có phép cộng và phép trừ hoặc chỉ có phép nhân và phép chia, ta thực hiện các phép tính từ trái sang phải.
* Với các biểu thức không có dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự:
* Với các biểu thức có dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.
b) Quy tắc chuyển vế
Đẳng thức:
Khi biến đổi các đẳng thức, ta thường áp dụng các tính chất sau:
Nếu a = b thì b = a ; a + c = b + c
Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ +” đổi thành dấu “ – “; dấu “ – “ đổi thành dấu “ +”.
Bài tập minh họa
Câu 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số rồi so sánh:
a) -1,5 và \(\frac{5}{2}\);
b) -0,375 và \( – \frac{5}{8}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \( – 1,5 = \frac{{ – 15}}{{10}} = \frac{{ – 3}}{2}\)
Vì -3 < 5 nên \(\frac{{ – 3}}{2} < \frac{5}{2}\)hay -1,5 < \(\frac{5}{2}\)
b) Ta có: \( – 0,375 = \frac{{ – 375}}{{1000}} = \frac{{ – 3}}{8}\)
Vì 3 < 5 nên -3 > -5, do đó \(\frac{{ – 3}}{8} > \frac{{ – 5}}{8}\)
Vậy -0,375 > \( – \frac{5}{8}\)
Câu 2: Tính:
\(\begin{array}{l}
a)\left( { – \frac{9}{{13}}} \right).\left( { – \frac{4}{5}} \right)\\
b) – 0,7:\frac{3}{2}
\end{array}\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}a)\left( { – \frac{9}{{13}}} \right).\left( { – \frac{4}{5}} \right)\\ = \frac{9}{{13}}.\frac{4}{5}\\ = \frac{{36}}{{65}}\\b) – 0,7:\frac{3}{2}\\ = \frac{{ – 7}}{{10}}.\frac{2}{3}\\ = \frac{{ – 7}}{{15}}\end{array}\)
Câu 3: Tìm x, biết:
\(\begin{array}{l}a)x + 7,25 = 15,75;\\b)\left( { – \frac{1}{3}} \right) – x = \frac{{17}}{6}\end{array}\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}a)x + 7,25 = 15,75\\x = 15,75 – 7,25\\x = 8,5\end{array}\)
Vậy x = 8,5
\(\begin{array}{l}b)\left( { – \frac{1}{3}} \right) – x = \frac{{17}}{6}\\\left( { – \frac{1}{3}} \right) – \frac{{17}}{6} = x\\\frac{{ – 2}}{6} – \frac{{17}}{6} = x\\\frac{{ – 19}}{6} = x\\x = \frac{{ – 19}}{6}\end{array}\)
Vậy \(x = \frac{{ – 19}}{6}\)
Câu 4: Tính và so sánh:
a) \({( – 3)^2}.{( – 3)^4}\) và \({( – 3)^6}\);
b) \(0,6{}^3:0,{6^2}\) và \(0,{6}\)
Hướng dẫn giải
a)
\(\begin{array}{l}{( – 3)^2}.{( – 3)^4} = 9.81 = 729\\ {( – 3)^6} = ( – 3).( – 3).( – 3).( – 3).( – 3).( – 3)\\ = 9.9.9 = 729\end{array}\)
Vậy \({( – 3)^2}.{( – 3)^4}\) = \({( – 3)^{6}}\)
b)
\(\begin{array}{l}0,6{}^3:0,{6^2} = 0,216:0,36 = 0,6\end{array}\)
Vậy \(0,6{}^3:0,{6^2}\) = \(0,{6}\)