Giải các phương trình bậc hai sau:
a) \({x^2} – 10x + 24 \ge 0\)
b) \( – 4{x^2} + 28x – 49 \le 0\)
c) \({x^2} – 5x + 1 > 0\)
d) \(9{x^2} – 24x + 16 \le 0\)
e) \(15{x^2} – x – 2 < 0\)
g) \( – {x^2} + 8x – 17 > 0\)
h) \( – 25{x^2} + 10x – 1 < 0\)
i) \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức bậc hai có trong bất đẳng thức
Bước 2: Xác định dấu của tam thức
Lời giải chi tiết
a) Tam thức \({x^2} – 10x + 24\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = 4;{x_2} = 6\)
Suy ra \({x^2} – 10x + 24 \ge 0\) khi và chỉ khi \(\left( { – \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { – \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
b) Tam thức \( – 4{x^2} + 28x – 49\) có \(a = – 4 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{7}{2}\)
Suy ra \( – 4{x^2} + 28x – 49 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)
c) Tam thức \({x^2} – 5x + 1\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = \frac{{5 – \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\)
Suy ra \({x^2} – 5x + 1 > 0\) khi và chỉ khi \(\left( { – \infty ;\frac{{5 – \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { – \infty ;\frac{{5 – \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)
d) Tam thức \(9{x^2} – 24x + 16\) có \(a = 9 > 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{4}{3}\)
Do đó \(9{x^2} – 24x + 16 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(9{x^2} – 24x + 16 \le 0\) có nghiệm khi \(9{x^2} – 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{ {\frac{4}{3}} \right\}\)
e) Tam thức \(15{x^2} – x – 2\) có \(a = 15 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = – \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{5}\)
Suy ra \(15{x^2} – x – 2 < 0\) khi và chỉ khi \(\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)
g) Tam thức \( – {x^2} + 8x – 17\) có \(a = – 1 < 0\) và \(\Delta = – 4 < 0\)
Do đó \( – {x^2} + 8x – 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra không có giá trị x thỏa mãn bất phương trình \( – {x^2} + 8x – 17 > 0\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm
h) Tam thức \( – 25{x^2} + 10x – 1\) có \(a = – 25 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{1}{5}\)
Do đó \( – {x^2} + 8x – 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \( – 25{x^2} + 10x – 1 < 0\) khi và chỉ khi \(x \ne \frac{1}{5}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{5}} \right\}\)
i) Tam thức \(4{x^2} + 4x + 7\) có \(a = 4 > 0\) và \(\Delta = – 96 < 0\)
Suy ra không có giá trị nào của x để \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm
— *****
Trả lời