Tìm các giá trị của tham số m để:
a) \(f\left( x \right) = \left( {m – 3} \right){x^2} + 2mx – m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
b) \(f\left( x \right) = \left( {m – 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m – 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm
c) Phương trình \(2{x^2} + \left( {3m – 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm
d) Bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m – 3} \right)x + 3\left( {{m^2} – 3} \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7
Phương pháp giải
a) \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\)
b, c, d)
Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} – 4ac\) hoặc \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\) với \(b = 2b’\)
Bước 2: Xét dấu của delta
+) \(\Delta > 0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt
+) \(\Delta = 0\) phương trình có 1 nghiệm duy nhất
+) \(\Delta < 0\) phương tình vô nghiệm
Lời giải chi tiết
a) \(f\left( x \right) = \left( {m – 3} \right){x^2} + 2mx – m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m\left( {m – 3} \right) < 0\\m – 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} – 3m < 0\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < \frac{3}{2}\\m < 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow 0 < m < \frac{3}{2}\)
Vậy khi \(m \in \left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m – 3} \right){x^2} + 2mx – m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
b) \(f\left( x \right) = \left( {m – 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m – 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ \ge 0\\a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} – 5\left( {m – 2} \right)\left( {m – 3} \right) \ge 0\\m – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4{m^2} + 31m – 21 \ge 0\\m \ne 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{4} \le m \le 7\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Vậy khi \(m \in \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m – 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m – 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm
c) Phương trình \(2{x^2} + \left( {3m – 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta < 0\)
hay \({\left( {3m – 1} \right)^2} – 4.2.2\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 9{m^2} – 22m – 15 < 0 \Leftrightarrow – \frac{5}{9} < x < 3\)
Vậy khi \(m \in \left( { – \frac{5}{9};3} \right)\) thì phương trình \(2{x^2} + \left( {3m – 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm
d) Bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m – 3} \right)x + 3\left( {{m^2} – 3} \right) \ge 0\) có \(a = 2 > 0\) nên để bất phương trình có tập nghiệm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta ‘ < 0\)
hay \({\left( {m – 3} \right)^2} – 2.3\left( {{m^2} – 3} \right) < 0 \Leftrightarrow – 5{m^2} – 6m + 27 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < – 3\\m > \frac{9}{5}\end{array} \right.\)
Vậy khi \(m \in ( – \infty ; – 3) \cup \left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right)\) thì bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m – 3} \right)x + 3\left( {{m^2} – 3} \right) \ge 0\) có tập nghiệm trên \(\mathbb{R}\)
— *****
Trả lời