Cho \(\sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}.\)
a) Tính \(\sin {75^ \circ },\,\,\cos {105^ \circ },\,\,\tan {165^ \circ }.\)
b) Tính giá trị của biểu thức
\(A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }.\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3.39
Phương pháp giải
– Dùng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) để tính \(\cos \alpha \)và \(\tan \alpha .\)
– Áp dụng các công thức lượng giác của các góc phụ nhau, bù nhau để tính \(\sin {75^ \circ },\,\,\cos {105^ \circ },\,\,\tan {165^ \circ }.\)
– Thay các giá trị vừa tính được vào biểu thức \(A.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } = 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,{\cos ^2}{15^ \circ } = 1 – {\sin ^2}{15^ \circ } = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow \,\,\cos {15^ \circ } = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}} = \sqrt {\frac{{8 + 4\sqrt 3 }}{{16}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + 2.\sqrt 6 .\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{16}}} \\ \Rightarrow \,\,\cos {15^ \circ } = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{16}}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\end{array}\)
Ta có: \(\tan {15^ \circ } = \frac{{\sin {{15}^ \circ }}}{{\cos {{15}^ \circ }}} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}:\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} = 2 – \sqrt 3 \)
a) \(\sin {75^ \circ } = \sin \left( {{{90}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) = \cos {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\)
\(\cos {105^ \circ } = \cos \left( {{{180}^ \circ } – {{75}^ \circ }} \right) = – \cos {75^ \circ } = – \cos \left( {{{90}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) = – \sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt 6 }}{4}.\)
\(\tan {165^ \circ } = \tan \left( {{{180}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) = – \tan {15^ \circ } = \sqrt 3 – 2.\)
b) \(A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }.\)
Ta có: \(\cos {165^ \circ } = \cos \left( {{{180}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) = – \cos {15^ \circ } = – \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}.\)
Ta có: \(\sin {165^ \circ } = \tan {165^ \circ }.\cos {165^ \circ } = – \left( {\sqrt 3 – 2} \right).\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}.\)
\(\begin{array}{l}A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }\\A = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\left( { – \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 2 – \sqrt 6 }}{4}.\frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}\\A = \frac{{ – 4\sqrt 3 – 8}}{{16}} + \frac{{ – 8 + 16\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{ – 16}}{{16}} = – 1.\end{array}\)
— *****
Trả lời