Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(7;5).\)
a) Tìm tọa độ của điểm \(C\) thuộc trục hoành sao cho \(C\) cách đều \(A\) và \(B.\)
b) Tìm tọa độ của điểm \(D\) thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4.36
Phương pháp giải
– Tính các vectơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {CB} \)
– Giải phương trình \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\) để tìm tọa độ điểm \(C\)
– Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)
– Chứng minh \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DM} \) ngắn nhất
Lời giải chi tiết
a) Vì điểm \(C\) thuộc trục hoành nên tạo độ điểm \(C\) là: \(C(x;0)\)
Ta có: \(\overrightarrow {CA} = (1 – x;1)\) và \(\overrightarrow {CB} = (7 – x;5)\)
Để điểm \(C\) cách đều \(A\) và \(B\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,AC = BC\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {1 – x} \right)^2} + 1 = {\left( {7 – x} \right)^2} + {5^2}\\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} – 2x + 2 = {x^2} – 14x + 74\\ \Leftrightarrow \,\,12x = 72\\ \Leftrightarrow \,\,x = 6\end{array}\)
Vậy \(C(6;0)\)
b) Vì điểm \(D\) thuộc trục tung nên \(D(0;y)\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(M(4;3).\)
Ta có: \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DM} \)
Để \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất
\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {DM} \) có độ dài ngắn nhất
\( \Leftrightarrow \) \(D\) là hình chiếu của \(M\) trên trục \(Oy\)
\( \Leftrightarrow \) \(D(0;3)\)
— *****
Trả lời