Cho tứ giác ABCD có AB \(\bot \) CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5. Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Giải bài 6.22 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Cho tứ giác ABCD có AB \(\bot \) CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5. Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
– Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD = \(\sqrt{25-x^{2}}\)
– Xét tam giác BHC vuông tại H có: \(HB^{2}+HC^{2}=BC^{2}\)
– Từ đó ta có và giải phương trình \((x+2)^{2}+\left ( \sqrt{25-x^{2}} +8\right )^{2}=13^{2}\)
+ Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta thực hiện như sau:
- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;
- Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
– Suy ra diện tích tam giác HAD là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}AH.HD\)
– Suy ra diện tích tam giác HBC là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}HB.HC\)
Lời giải chi tiết
+) Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD = \(\sqrt{25-x^{2}}\) (áp dụng định lí Pytago).
+ Xét tam giác BHC vuông tại H có: \(HB^{2}+HC^{2}=BC^{2}\)
=> \((x+2)^{2}+\left ( \sqrt{25-x^{2}} +8\right )^{2}=13^{2}\)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt{25-x^{2}}=19-x\)
Bình phương hai vế ta được:
\(16.(25-x^{2}) =361 – 38x +x^{2}\)
\(\Leftrightarrow 17x^{2}-38x-39=0\)
\(\Leftrightarrow\) x = 3 hoặc \(x= \frac{-13}{17}\)
Thử lại phương trình và điều kiện x > 0, giá trị x =3 thỏa mãn.
Vậy AH = x = 3.
+) Diện tích tam giác HAD là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}AH.HD=6\)
Diện tích tam giác HBC là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}HB.HC=36\)
Vậy diện tích tứ giác ABCD là: 36 – 6 = 30 (đơn vị diện tích).
Giải bài 6.20 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Giải bài 6.21 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Giải bài 6.23 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT