15 câu Trắc nghiệm Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Câu 1. Cho hypebol (H): 4x² – y² = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hypebol có tiêu cự bằng $\frac{\sqrt{5}}{2}$;

B. Hypebol có một tiêu điểm là $F\left(\sqrt{5};0\right)$;

C. Hypebol có trục thực bằng 1;

D. Hypebol có trục ảo bằng $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có 4x² – y² = 1.

Suy ra $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{1}=1$

Hay $\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}-\frac{y^2}{1^2}=1$.

Khi đó ta có a = $\frac{1}{2}$, b = 1.

• Ta có $b=\sqrt{c^2-a^2}$

Suy ra $c=\sqrt{b^2+a^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Vậy hypebol (H) có tiêu cự là 2c = $\sqrt{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Do đó phương án A sai.

•Ta có $c=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Suy ra hai tiêu điểm của (H) là $F_1\left(-\frac{\sqrt{5}}{2};0\right),F_2\left(\frac{\sqrt{5}}{2};0\right)$.

Do đó phương án B sai.

•Ta có trục thực là: A₁A₂ = 2a = 2.$\frac{1}{2}$ = 1.

Do đó phương án C đúng.

•Ta có trục ảo là: 2b = 2.1 = 2 ≠ $\frac{1}{2}$.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2. Cho parabol (P): y² = 16x. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (P) có tiêu điểm F(4; 0);

B. (P) có tọa độ đỉnh O(0; 0);

C. Phương trình đường chuẩn ∆: x = 4;

D. (P) nhận Ox làm trục đối xứng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

•Ta có (P): y² = 16x nên 2p = 16.

Suy ra p = 8.

Do đó $\frac{p}{2}=\frac{8}{2}=4$.

Vì vậy (P) có tiêu điểm F(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có O(0; 0) là đỉnh của parabol (P) và Ox là trục đối xứng của parabol (P).

Do đó phương án B, D đúng.

Đến đây ta có thể chọn đáp án C.

• Phương trình đường chuẩn ∆ có dạng: $x=-\frac{p}{2}=-4$.

Do đó phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3. Elip có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64. Phương trình chính tắc của elip là:

A. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$;

B. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{12}=1$;

C. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$;

D. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$.

Suy ra $\frac{2b}{2c}=\sqrt{2}$

$\iff b=c\sqrt{2}$

$\iff \sqrt{a^2-c^2}=c\sqrt{2}$

⇔ a² – c² = 2c²

⇔ a² = 3c².

Lại có tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

Ta suy ra (2a)² + (2c)² = 64.

⇔ 4a² + 4c² = 64.

⇔ a² + c² = 16.

⇔ 3c² + c² = 16.

⇔ 4c² = 16.

⇔ c² = 4.

⇔ c = 2 (vì c > 0).

Với c = 2, ta có:

• a² = 3c² = 3.2² = 12.

•b = $c\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Suy ra b² = 8.

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 4. Cho elip (E): $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. (E) có các tiêu điểm F₁(–4; 0) và F₂(4; 0);

B. (E) có tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$;

C. (E) có đỉnh A₁(–5; 0);

D. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

•Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với a² = 25, b² = 9.

Ta suy ra a = 5, b = 3 (vì a, b > 0).

Ta có b = $\sqrt{a^2-c^2}$

⇔ b² = a² – c²

⇔ c² = a² – b² = 25 – 9 = 16.

⇔ c = 4.

Vậy các tiêu điểm của elip (E) là: F₁(–4; 0), F₂(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$.

Do đó phương án B đúng.

•Đỉnh A₁(–a; 0).

Suy ra A₁(–5; 0).

Do đó phương án C đúng.

• Độ dài trục nhỏ là 2b = 2.3 = 6 ≠ 3.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 5. Hypebol có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo và có tiêu cự bằng $4\sqrt{15}$. Phương trình chính tắc của hypebol là:

A. $\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{12}=1$;

B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{48}=1$;

C. $\frac{x^2}{48}+\frac{y^2}{12}=1$;

D. $\frac{x^2}{48}+\frac{y^2}{12}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo

Ta suy ra 2a = 2.2b.

Do đó a = 2b.

Hypebol có tiêu cự bằng $4\sqrt{15}$.

Ta suy ra $2c=4\sqrt{15}$.

Do đó $c=2\sqrt{15}$.

$\iff \sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{15}$

⇔ 4b² + b² = 60.

⇔ 5b² = 60.

⇔ b² = 12.

$\iff b=2\sqrt{3}$.

Với $b=2\sqrt{3}$, ta có: $a=2b=4\sqrt{3}$.

Suy ra a² = 48.

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{12}=1$.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1$;

B. y² = 2x;

C. $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{49}=1$;

D. x² = 21y.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình parabol có dạng: y² = 2px.

Ta thấy chỉ có phương trình của đáp án B có dạng phương trình parabol trên.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 7. Cho elip (E): $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$. Nếu điểm M nằm trên (E) có hoành độ bằng –13 thì độ dài MF₁ và MF₂ lần lượt là:

A. 10 và 6;

B. 8 và 18;

C. $13\pm \sqrt{5}$;

D. $13\pm \sqrt{10}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với a = 13, b = 12.

Ta có $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{169-144}=5$.

Khi đó F₁(–5; 0) và F₂(5; 0).

Với M(x_M; y_M) ta có:

$\overrightarrow{F_{1}M}=\left(x_M+5;y_M\right)$ nên $F_{1}M=\sqrt{{\left(x_M+5\right)}^2+y_M^2}$

$F_{1}M=\sqrt{{\left(x_M+5\right)}^2+144.\left(1-\frac{x_M^2}{169}\right)}$

$F_{1}M=\sqrt{169+10x_M+\frac{25}{169}{x}_M^2}$

$F_{1}M=\sqrt{{\left(13+\frac{5}{13}{x}_M\right)}^2}$

$F_{1}M=13+\frac{5}{13}{x}_M$ (do F₁M > 0).

Tương tự ta có $F_{2}M=13-\frac{5}{13}{x}_M$

Mà theo bài x_M = –13 nên ta có:

• MF₁ = $13+\frac{5}{13}.\left(-13\right)=8$.

• MF₂ = $13-\frac{5}{13}.\left(-13\right)=18$.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 8. Cho hypebol (H): $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$. Tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực bằng:

A. 2;

B. $\frac{1}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$;

D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

(H): $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$.

Ta có a = 6, b = 3.

Suy ra:

⦁ Độ dài trục ảo là: 2.3 = 6;

⦁ Độ dài trục thực là: 2.6 = 12.

Khi đó tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực $\frac{2b}{2a}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 9. Cho điểm A(3; 4) thuộc parabol (P). Phương trình chính tắc của parabol (P) là:

A. $y^2=\frac{3}{16}x$;

B. $y^2=\frac{16}{3}x$;

C. $y^2=\frac{8}{3}x$;

D. $y^2=\frac{2}{3}x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của parabol (P) có dạng: y² = 2px.

Ta có A(3; 4) ∈ (P).

Suy ra 4² = 2.p.3

Do đó 16 = 6p

Khi đó ta có $p=\frac{8}{3}$ suy ra 2p = $\frac{16}{3}$

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P): $y^2=\frac{16}{3}x$.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 10. Cho hypebol (H): $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$. Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực bằng:

A. 1;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$;

D. $\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

(H): $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$ nênta có a = b = 2.

Suy ra $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.

Khi đó ta có:

⦁ Tiêu cự là: 2c = $2.2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$;

⦁ Độ dài trục thực là: 2a = 2.2 = 4.

Khi đó $\frac{2c}{2a}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 11. Cho điểm M(5; 8) nằm trên parabol (P): $y^2=\frac{64}{5}x$. Độ dài FM bằng:

A. $\frac{41}{10}$;

B. $\frac{41}{5}$;

C. $\frac{51}{5}$;

D. $\frac{57}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $2p=\frac{64}{5}$.

Suy ra $p=\frac{32}{5}$.

Do đó $\frac{p}{2}=\frac{16}{5}$

Khi đó ta có tiêu điểm $F\left(\frac{16}{5};0\right)$.

Với $F\left(\frac{16}{5};0\right)$ và M(5; 8) ta có $\overrightarrow{FM}=\left(\frac{9}{5};8\right)$.

Suy ra $FM=\sqrt{{\left(\frac{9}{5}\right)}^2+8^2}=\frac{41}{5}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 12. Cho parabol (P) có đường chuẩn là đường thẳng ∆: x + 5 = 0. Điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của parabol (P) bằng 6. Tọa độ điểm M là:

A. $M\left(1;-2\sqrt{5}\right)$; $M\left(1;-2\sqrt{5}\right)$ ;

B. $M\left(1;2\sqrt{5}\right)$;

C. $M\left(-1;-2\sqrt{5}\right)$;

D. $M\left(-1;2\sqrt{5}\right)$; $M\left(-1;-2\sqrt{5}\right)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường chuẩn ∆: x + 5 = 0

Do đó ta có $\frac{p}{2}=5$.

Suy ra p = 10.

Từ đó ta thu được phương trình parabol (P): y² = 20x.

Tiêu điểm F của (P) là F(5; 0).

Giả sử điểm M(x_M; y_M) là điểm thuộc (P).

Khi đó y²_M = 20x_M

Với F(5; 0) và M(x_M; y_M) ta có $\overrightarrow{FM}=\left(x_M-5;y_M\right)$

⇒ $FM=\sqrt{{\left(x_M-5\right)}^2+y_M^2}$

$FM=\sqrt{x_M^2-10x_M+25+20x_M}$

$FM=\sqrt{x_M^2+10x_M+25}$

$FM=\sqrt{{\left(x_M+5\right)}^2}=x_M+5$

Theo đề, ta có FM = 6.

⇔ x_M + 5 = 6

⇔ x_M = 1.

Với x_M = 1, ta có y²_M = 20.1 = 20.

Suy ra $y_M=2\sqrt{5}$ hoặc $y_M=-2\sqrt{5}$

Vậy $M\left(1;2\sqrt{5}\right)$ và $M\left(1;-2\sqrt{5}\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 13. Bác An dự định xây một cái ao hình elip ở giữa khu vườn. Biết trục lớn có độ dài bằng 4 m, độ dài trục nhỏ bằng 2 m. Gọi F₁, F₂ là các tiêu điểm của elip. Khi đó độ dài F₁F₂ bằng:

A. $2\sqrt{3}$;

B. $\sqrt{3}$;

C. $\sqrt{5}$;

D. $2\sqrt{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài trục lớn bằng 4 m. Suy ra 2a = 4.

Khi đó a = 2.

Lại có độ dài trục nhỏ bằng 2m. Suy ra 2b = 2.

Khi đó b = 1.

Ta có c² = a² – b² = 2² – 1² = 3.

Suy ra $c=\sqrt{3}$.

Vì vậy F₁F₂ = 2c = $2\sqrt{3}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 14.Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{49}=1$. Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng:

A. 43,28 m;

B. 22,25 m;

C. 28,31 m;

D. 57,91 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{r^2}{36}-\frac{{\left(-25\right)}^2}{49}=1$.

$\iff \frac{r^2}{36}=1+\frac{{\left(-25\right)}^2}{49}=\frac{674}{49}$.

$\iff r^2=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}$.

Suy ra $r=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx \mathrm{22,25}$ (m).

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 15. Một anten gương đơn hình parabol có phương trình y² = 20x. Ống thu của anten được đặt tại tiêu điểm của nó. Ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ là:

A. (0; 10);

B. (0 ; 5);

C. (10; 0);

D. (5; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình parabol có dạng y² = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2}=\frac{10}{2}=5$.

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 9

Trắc nghiệm Bài 1. Không gian mẫu và biến cố

Trắc nghiệm Bài 2. Xác suất của biến cố

Trắc nghiệm Ôn tập chương 10